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1、合情推理,温州市龙湾中学 陈华云,1、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，则一切金属都具有怎样的特性？,导电,该类事物的部分对象,部分对象具有的共同特征,该类事物的整体,全部对象都具有的特征,1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,1+3+5+(2n-1)=n2,个别的式子,一般的式子,2、,1，,2，,3、根据我所给出的数列的前几项，请你猜猜这个数列的通项公式可能是什么？,4,2n-1,个别项,一般项,7,1、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，则一切金属都能导电。,2、,3、,1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32
2、,1+3+5+(2n-1)=n2,1，2，4，7，,由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。,归纳推理,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,大胆地猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.,6=3+3，8=3+5，10=5+5,12=5+7，14=7+7，16=5+11,1000=29+971，1002=139+863,10=3+720=3+1730=13+17,哥德巴赫,例1.已知数列an 第一项a1=2，且（n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式.,对自然数n，考察的结果情况：,11,11,13,31
3、,17,23,思考：,大胆猜想 小心求证,归纳推理的基础,归纳推理的作用,归纳推理,观察、分析,发现新事实、获得新结论,由部分到整体、个别到一般的推理,注意,归纳推理的结论不一定成立,可能有生命存在,有生命存在,火星上是否存在生命,视频,火星与地球类比的思维过程：,火星,地球,存在类似特征,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.,类比推理,我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”.,你是否想过“等和数列”、“等积数列”？,从第二项起，每一项与其前一项的差等于一个常数的数列是等差数列.,从第二项起，每一项与其前一项的和等于一个常数
4、的数列是等和数列.,试根据等式的性质猜想不等式的性质.,类比推理的结论不一定成立.,让我们一起来类比推理,探究,球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心连线垂直于截面圆.,与球心距离相等的两截面圆面积相等;与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.,以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.,类比推理,类比推理,以旧的知识为基础,推测新的结果，具有发现的功能,由特殊到特殊的推理,类比推理的结论不一定成立,注意,类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,结论不一定成立.,归纳推理,由部分到
5、整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,归纳推理和类比推理的过程,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.,传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.1.每次只能移动1个圆环；2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.请你试着推测：把 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,1,2,3,游戏：河内塔（Tower of
6、 Hanoi）,1,2,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,2时，,1,2,3,第1个圆环从1到3.,前1个圆环从1到2;第2个圆环从1到3;第1个圆环从2到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1,1时，,3,2时，3,1时，1,3时，,1,2,3,第1个圆环从1到3.,前1个圆环从1到2;第2个圆环从1到3;前1个圆环从2到3.,前2个圆环从1到2;第3个圆环从1到3;前2个圆环从2到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,7,推理有两种：论证（演绎）推理和合情推理（归纳、类比）,恩格思说：“归纳和演绎，
7、正如分析和综合一样是必然相互联系着的。”,克莱因也说过：“最初建立某一个假设的人所做的归纳工作，跟最初证明这个假设的人所做的演绎工作，当然具有同样的价值。”,1.归纳的方法与态度,第一，“理智的勇气”：我们应当随时准备修正 我们的任何一个猜测或信仰。,第二，“理智上的诚实”：把事实摆在优先地位,第三，“理智的克制”：如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率的改变一个信念,例1：设正数列,例2：,例3：，确定，试问：该数列中任意连续n项之和，是否可作为另一项？,例4.分解因式：,猜想：,2 类比是一个伟大的引路人思维能力包括“会用归纳，演绎和类比进行推理”这三种推理的区别是：归纳从特殊到一般，结论
8、是似真的；演绎从一般到特殊，结论是必真的；类比从特殊到特殊，结论是似真的。类比的思维结构是：A有性质：a，b，c，d B也有性质（类似于d）B有性质：,例6 分析等差数列与等比数列内容的类似性。分析：以通项公式为例。乘 乘方 加 乘,例7（2000上海）在等差数列 中，若,则有 成立；类比上述性质，相应地，在等比数列 中若=1，则有等式 成立。,例8：求证：x、y、z,中必有两个互相相等,例9.求证,例10 求证：,例11平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行而与其他的边垂直;”“长方体的每一面与另一面平行，而与其他的面垂直。”请用类比的方法写出更多相似的
9、命题。,（平面）在 中，斜边是AB，则（立体）二面角,（2）（平面）在平行四边形中，各对角线平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线平方和等于各棱长的平方和。（3）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍：（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。,（4）（平面）余弦定理:（立体）异面直线上两点间距离公式：,例12在平面几何里有勾股定理：“设 的两边AB、AC互相垂直，则”,拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直，则（2003全国）,3“大胆猜想，小心求证”,
10、“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”（爱因斯坦）,“数学家的创造性工种成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”（波利亚）“猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种，归纳也好，类比也好，都包含着猜想的成分”（波利亚）,例13：已知数列，其中 数列 是 中那些3的倍数由小到大排列而成的数列。试用k表示 和。,中的偶数项即 恰是 中序号为3的倍数的项，而奇数项 是 中序号比3的倍数小1的项。于是猜想：，即，（以下用数学归纳法证明）。,例14.下面是一个“倒三角形”数表1，2，3，4，5，1984，1985，1986，1987 3，5，7，9，3969，3971，3973 8，12，16，.7940，7944 20，28，15884.这个数表的结构是：第一行是从1开始的1987个连续正整数；从第二行起每一行中的各数都等于它肩上两数之和；表中最下面一行只有一个数，求最下面的这个数。,
