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1、第五章,角动量与角动量定理,教学基本要求,一 理解质点对固定点的角动量、力 矩的概念。,二 理解角动量守恒定律及适应条件，并能用该定律分析计算有关的问题。,在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。,在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用，这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。,角动量与动量一样，是一个重要概念。,5.1 质点的角动量定理,一、质点的角动量(Angular momentum of particl),对于作匀速直线运动的质点，既可以用动量也可用角动量的概念进行描述。,设质点沿 AB 作
2、匀速直线运动，在相等的时间间隔t 内，走过的距离 S=vt 都相等。,由于各三角形具有公共高线 OH，,选择O 为原点，从O 到质点处引位矢。在单位时间内扫过的面积，称为掠面速度。,引例,因此掠面速度相等:,式中,相当于质点绕O点转动的角速度。,由上式可得：,写成矢量式：,因此角动量保持守恒。,再来看有心力场的简单情形。,质点在向心力的作用下作匀速圆周运动,此时动量,因速度的方向一直在改变而不守恒，,但质点的位矢与动量的矢量积,是一个常矢量,方向始终垂直于纸面向外。,就是质点的角动量，,它的大小为，,显然，位矢 的掠面速度vr/2在圆周上各点相等。,但在两种情况下，相对于某点 O的位矢的掠面速
3、度都相等，都相应存在一个守恒量，这就是角动量。因此我们引入角动量的概念。,我们已经看到，角动量概念与线动量类似，但它是描述质点绕某一固定参照点的转动状态的物理量。,也有时称其为动量矩。,角动量,(矢量),的大小为：,为 和 的夹角，,的方向为 和 的右旋。,定义：,关于角动量,角动量与位矢有关，谈到角动量时必须指明是对哪一参照点而言。,当质点作圆周运动时，=/2,角动量大小为：,当质点作一般平面运动时，,角动量为：,讨论,在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：,角动量的单位为:kg m2/s,二、质点系对固定点的角动量,质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点的角动量的矢量和。,三、角动量
4、定理,类比质点的动量定理,于是有,引起转动状态改变的原因是由于力矩的作用,可见:,令,力矩,对此式分离变量积分,在应用角动量定理时，一定要注意等式两边的力矩和角动量必须都是对同一固定点。,比较,角动量定理的微分形式,与动量定理在形式、结构上一致。,角动量定理的积分形式,四、力矩,其中为 和 的夹角,力对某一固定点的力矩的大小等于此力和力臂的乘积。,有心力对力心的力矩为零。,在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：,力矩的单位为：Nm,关于力矩,上式也称为力对轴的力矩。,始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。,讨论,五、角动量守恒定律,则有：,若质点或质点系所受外力对某固定参照点的矩的
5、矢量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。,角动量守恒定律,例如：质点在有心力作用下角动量守恒。,由：,若,law of conservetion of Angular momentum,摆球受力如图,逆时针,顺时针,重力矩,张力矩,例题 一颗地球卫星，近地点181km，速率8.0km/s，远地点327km，求该点的卫星速率。,解：,角动量守恒,近地点,远地点,则,且,行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？,用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为 r0，角速度为0。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。(1)求当半径缩为 r 时的角速度。(2)这一过程中绳子对木
6、块的拉力所做的功。,解：,例题：,以小孔 o 为原点,绳对小球的拉力为有心力，,则小球对o 点的角动量守恒。,其力矩为零。,初态,末态,角动量守恒,所以,或,计算一下这个力的的功，可用动能定理,由此例可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。,星系的形状可能与此有关。,星系（银河系）的早期可能是具有动量矩的大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像银河系这样的星系呈扁平状。,银河系,银河系（模拟）,5.2 刚体的定轴转动,质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。,刚体（rigid body）是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体。,刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。,
