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1、2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-历史,微积分是经过了长时间的酝酿才产生的。积分的思想，在阿基米德时代已经萌芽。16、17世纪之交，开普勒、卡瓦列里、费马、沃利斯，特别是巴罗等人作了许多准备工作。因而微分学的起点远远落在积分学之后。Leibniz 莱布尼兹（16461716）31岁时，作为巴黎外交官，结识惠更斯、巴罗、牛顿等名流，开始对微积分进行研究。1684年，莱布尼茨发表关于极大极小 以及切线的新方法,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-历史,牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。任何一项重大发明，都不可能一开始便完整无
2、瑕。17世纪的微积分带有严重的逻辑困难，以致受到多方面的非议，它的主要原因之一就是无穷小问题。,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-历史,莱布尼兹发现微分和积分是一对互逆的运算，并建立微积分基本定理，从而使微积分学成为统一整体。牛顿从运动学角度出发，以“瞬”（无穷小的“o”）的观点创建了微积分。莱布尼兹认为dx和x相比，如同点和地球，或地球半径与宇宙半径相比。牛顿、莱布尼茨的极限观念是十分模糊的。究竟极限是什么，无穷小是什么，在当时是带有根本性质的难题。现在，无穷小理论也是大家学习微积分的关键。,2023/3/21,冯国臣,无穷小的定义,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,2023
3、/3/21,冯国臣,无穷小的性质-无穷小的运算,性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小.,性质2 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,性质4 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.,性质5 常数与无穷小的乘积是无穷小.,性质6 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,2023/3/21,冯国臣,无穷小与无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,定理 同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数，为无穷大.,2023/3/21,冯国臣,无穷小与函数极限,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷
4、小的唯一的数.,3.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,4.,2023/3/21,冯国臣,无穷小理论,一切极限问题均可以表示为无穷小问题,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-从极限计算开始,解,商的法则不能用,例,所以,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-1,解,例,(消去零因子法),2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-1,例,解,(无穷小因子分出法),2023/3/21,冯国臣,无穷小推广极限法,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用,求下列各极限,2023/3/21,冯国臣,无穷小的比较,2023/3/21,冯国臣,2023/3/21,冯国臣,常用等价
5、无穷小,2023/3/21,冯国臣,两个重要极限,(1),(2),用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,例如,2023/3/21,冯国臣,无穷小到底有多少小,从中学的无穷等比数列求和谈起,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-1,常用函数公式,2023/3/21,冯国臣,特别提示：,证明,此处，也成立,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-1,例,解,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-1,例 计算,解 令,2023/3/21,冯国臣,例,解,无穷小及其应用-1,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-1,例,解,2023/3/21,冯国臣,例,解,原极限=,无穷小及其
6、应用-1,2023/3/21,冯国臣,无穷小及其应用-1,解,2023/3/21,冯国臣,解,2023/3/21,冯国臣,解,2023/3/21,冯国臣,例,解,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,2023/3/21,冯国臣,部分应用例题,2023/3/21,冯国臣,无穷小应用-洛必塔法则,定理,
