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1、数学建模（Mathematical Modeling),第二章 初等模型,理学院,线性代数模型,极限、最值、积分问题的初等模型,经济问题中的初等模型,重点:各种简单的初等模型,难点:简单初等模型的建立和求解,生活中的问题,理学院,建模举例,2.1 生活中的问题,2.1.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,理学院,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连
2、线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,理学院,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0,数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,理学院,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转9
3、00，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()g(),则h(0)0和h(/2)0.由 f,g的连续性知 h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()g()=0,所以f(0)=g(0)=0.,评注和思考,建模的关键,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(),g()的确定,理学院,2.1.2 分蛋糕问题,妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给你。哥哥利用高等数学
4、知识解决了这个问题，你知道他用的是什么办法吗？,理学院,只证明了直线的存在性，你能找到它么？,若S1 S2 不妨设S1S2(此时l与x轴正向的夹角记为),以点P为旋转中心，将l按逆时针方向旋转，面积S1，S2就连续依赖于角 的变化，记为,理学院,2.1.3出租车收费问题,某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记一次价。,理学院,请回答下列问题假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍，请建立车费与行程的数学模型。若行驶12km，停车等候5min,
5、应付多少车费？若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？,理学院,数学模型为,计算起来很简单。,理学院,2.1.4 蚂蚁逃跑问题,一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1），（5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？,解：板上任一点（x,y）处的温度为,理学院,2.2极限问题中的初等模型2.3最值问题中的初等模型2.4积分问题中的初等模型,理学院,细菌繁殖问题,求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长下去，
6、假定细菌无死亡，60天后细菌的个数大概是多少？,理学院,解:建立数学模型将时间间隔t分成n等分，在第一段时间 内，细菌繁殖的数量为，在第一段时间末细菌的数量为，同样，第二段时间末细菌的数量为；以此类推，最后一段时间末细菌的数量为，经过时间t后，细菌的总数是,设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：,理学院,海报设计问题,现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？,最小,令此式对x的导数为0，解得：x=16,此时y=8,可使空白面积最小。,理学院,工人上班效率问题,工作效率最高，即生产率最大，此题
7、中，工人在t时刻的生产率为产量Q关于时间t的变化率：Q(t)，则问题转化为求Q(t)的最大值,理学院,最大利润问题,想一想高等数学中二元函数求最值的方法,解：每天的总收益为二元函数：,令，则有驻点x=53,y=55判断可知（53，55）为最大值点。,理学院,商品的贮存费问题,将区间0t5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间【tj,tj+1】，区间长度为tj+1-tj=t，在这个小区间中，每公斤贮存费用=0.01 t,第j个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)t 总的贮存费=,由定积分定义：总贮存费=,解：令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数，则 Q(t)=10000-2000t,理学院,车
8、辆平均行驶速度问题,解：平均车辆行驶速度为,此题是求函数s(t)在区间【1，6】内的平均值,理学院,2.5 经济问题中的初等模型,理学院,理学院,例1,某品牌收音机每台售价90元，成本为60元，厂家为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分（例如某商行订购300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01200=2元，商行可按每台88元的价格购进300台）。但最低价格为75元/台。（1）建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型。（2）建立利润L与订购量x的数学模型。（3）当一商行订购了1000台时，厂家可获利润多少？,理学院,例2 一房地产公
9、司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。（1）建立总收入R与租金x之间的数学模型。（2）当房租定为多少时可获得最大收入？,理学院,例3 某不动产商行能以5%的年利率借得贷款，然后它又把此款贷给顾客。若他能贷出的款额与他贷出的利率的平方成反比（利率太高无人借贷）。(1)建立年利率x与利润p间的数学模型。(2)当以多大的年利率贷出时，能使商行获得利润最大？,理学院,2.6 线性代数模型,所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，
10、应如何具体实现？,在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为1，而在彼岸时则取 为0，例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸，而狗和米则在对岸。,理学院,（i）可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：,（ii）可取运算：状态转移需经状态运算来实现。在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、
11、（1，0，0，1）四个。,人在此岸 人在对岸(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，0，1，0)(0，1，0，1),总共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充要条件。,理学院,规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，且规定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。,在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为：由初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数次上述运算转化为（0，0，0，0）的转移过程。,我
12、们可以如下进行分析：（第一次渡河）,理学院,（第二次渡河）,以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。,理学院,例2 夫妻过河问题,这一问题的状态和运算与前一问题有所不同，根据题意，状态应能反映出两岸的男女人数，过河也同 样要反映出性别,理学院,问题归结为由状态(3,3)经奇数次可取运算，即由可取状态到可取状态的转移，转化 为(0,0)的转移问题。和上题一样，我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还可用作图方法来求解。,在HW平面坐标中，以“”表示可取状态，从A(3,3)经奇数次转移到 达O(0,0)。奇数次转移时向左或下移
13、 动1-2格而落在一个可取状态上，偶数次转移时向右或上移 动1-2格而落在一个可取状态上。为了区分起见,用红箭线表示奇数次转移，用蓝箭线表示第偶数 次转移,下图给出了一种可实现的方案,故,这三对夫妻是可以过河的。假如按这样的方案过 河,共需经过十一次摆渡。不难看出,在上述规则下,4对夫妻就无法过河了,读者可以自行证明之.类似可以讨论船每次可载三人的情况,其结果 是5对夫妻是可以过河的,而六对以上时就 无法过河了。,理学院,常染色体遗传模型,下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如 表所示。,双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例。,
14、理学院,（a）假设：令n=0,1,2,。（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比。令x(n)为第n代植物的基因型分布：,当n=0时,表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）,理学院,（b）建模根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n1代的AA型与AA型结合。后代全部是AA型；第n1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n1代的aa型与AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2时,即,类似可推出,cn=0,显然有（ii）第n代的分布与 第n1代的分布之间的关系是通过表确定的。,(2),(3),
15、(4),理学院,(1),将（2）、（3）、（4）式相加，得,根据假设(I)，可递推得出：,对于(2)式.(3)式和(4)式，我们采用矩阵形式简记为,其中,（注：这里M为转移矩阵的位置）,(5),理学院,由（5）式递推，得,(6),（6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角库D，使 M=PDP-1因而有 Mn=PDnP-1,n=1,2,其中,这里，是矩 阵M的三个特征值。对于(5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量：=1，=1/2，=0,理学院,因此,所以,通过计算，P-1=P，因此有,理学院,即,理学院,所以有,即在极限的情况下，
16、培育的植物都 是AA型。若在上述问题中，不选用基 因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如 表所示。,理学院,（7）,M的特征值为,通过计算，可以解出与、相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2，及与相对应的特征内 量e3：,因此,理学院,解得：,，所以,因此，如果用基因 型相同的植物培育 后代，在极限情况 下，后代仅具有基 因AA和aa。,理学院,2.7 建模举例（人员疏散问题）,考虑学校的一座教学楼，其中一楼有一排四间相同的教室，学生们可以沿教室外的走廊一直走到尽头的出口。试建立数学模型来分析人员疏散所用的时间。,理学院,建立模型 根据假
17、设，疏散撤离的队伍中人与人之间的距离是常数，记为d(米)；队列行进的速度也是常数，记为v(米/秒)。设第i个教室中的人数为ni+1,第i个教室的门口到前一个教室的门口的距离为Li(米)，教室门的宽度为D(米)。疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计。,考虑第一个教室人员的疏散：这个教室撤空的时间为n1d/v(秒),是指最后一个人离开教室，到达教室门口所用的时间,而最后一个人到达出口所用的时间是所用的时间是,类似地，第二个教室撤空的时间为n2d/v(秒)，而最后一个人到达出口所用的时间是所用的时间是：,理学院,两个教室的人员完全撤出教学（单队）楼所用的时间的数学模型为：,类似可得出四个教室的人员完全撤出教学（单队）楼所用的时间的数学模型（略）,模型分析及改进：疏散时间主要由两部分构成：,队伍的排尾走一个队伍的长度达到排头的位置所用的时间。,队伍的排头从教室门口走出教学楼的时间,如果队列十分紧密使得d=0,那么疏散时间就与教室内的人数无关了！,理学院,设人的身体厚度是相同的，记为W,则模型可修改为：,队列最大的行进速度是队列密集程度的函数，记为v(d)，则模型可修正为：,理学院,本章小结,本章介绍了一些与实际问题相关的简单的数学模型、旨在使大家对数学建模问题有一个初步的了解，通过建模举例对数学建模的基本思想和步骤有一个初步的了解。,
