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1、第一章 行列式习题课,一、要点复习,二、典型例题介绍,第一章 行列式,一、要点复习,行列式,定义,性质,特殊形式,常用计算方法,克莱姆法则,定理,推论,1.排列与逆序数,定义：由1,2，n组成的一个有序数组称为一个n阶排列。,定义：一个排列中，如果一个大数排在一个小数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。记作：,定义：逆序数是偶数的n阶排列称为偶排列；逆序数是奇数的n阶排列称为奇排列。,定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。,定理：排列经过1次对换，其奇偶性改变。,推论：奇排列调成自然排列的对换次数
2、为奇数，偶排列调成自然排列的对换次数为偶数。,2.行列式的定义,无论是哪种定义，其本质相同，即,阶行列式是一个数，是所有取自不同行、不同列元素,3.行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等。此性质说明在行列式中行和列的地位是同等的，即对行成立的性质对列也同样成立。性质2 互换行列式的两行(列)，行列式改变符号。推论 若行列式中两行(列)对应元素完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外面。推论1 若行列式某一行(列)的元素全为零，则该行列式为零。推论2 若行列式某两行(列)对应元素成比例，则该行列式为零。,性质4 若行列式的某一行(列)的每一个元
3、素都可表示为两数的和，则该行列式可以表示为两行列式之和,性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数再加到另一行(列)对应的元素上去，则该行列式的值不变。,性质6(Laplace展开法则),4.几种常见的行列式,上三角行列式,下三角行列式,对角行列式,范德蒙(Vandermonde)行列式,三角行列式与对角行列式是指对主对角线而言,5.行列式常用计算方法,首先观察行列式元素的规律（数字规律与排列规律），常用计算方法有：利用行列式的定义；利用行列式的性质化为三角形行列式；利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现尽量多的零元素，然后按零元素最多的行或列展开；拆行列式为几个行列式的和；递推
4、公式法；数学归纳法；应用范德蒙行列式；加边法。,6.克莱姆法则,定理：如果线性方程组,的系数行列式,那么此线性方程组有惟一解，且：,推论：如果齐次线性方程组,的系数行列式,，则它只有零解,推论：如果齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式,解,二、典型例题,1.,解,在,的4阶行列式中,位于不同行不同列的4个元素乘积含,的项只有1项,而含,的项有2项,2,解,（行和相等的行列式）,3、,4、,注：此题也可按第n行展开计算.在行列式的计算中，这是一类比较典型的题目.,5、,6、,7、,注：1.利用行列式按行（列）展开定理，可以得到关于所求行列式值的递推式.一般来说，递推式的形式多种多样，如例4、例
5、6、例7中介绍的，不同的递推式有不同的解法，应注意这一点.2.当行列式的某一行（列）中零较多时，考虑将行列式按行（列）展开，目的是将行列式降阶，以计算出行列式的值.,利用矩阵的一些性质，可简化方阵行列式的计算.,8、,注：一般而言，|A+B|A|+|B|，故没有公式求|A+B|，通常是用矩阵恒等变形的技巧，将其化为乘积的形式.,9、,10、,11、,12,解,（拆分行列式）,13、,解,14、,（展开法则）,解,15、,解,16、,又按定义知,证,利用行列式性质,有,17、,略,略,19、,20、,解,推论：若齐次线性方程组的系数行列式D0，则方程组仅有零解,21、,22、求行列式,解,23、求行列式,按第一列展开,得,解,24、求行列式,时，,时，,时，,解,25、证明,证,本题可以分别计算等式左右的行列式，得到数值相等，但这样比较繁琐。注意到左边行列式的形式，考虑应用矩阵的乘法，根据乘法运算规则可知：,26、证明,证,与,形式相同，记为,（递推公式）,根据递推公式,27、证明,证,应用数学归纳法,命题成立,假设对于,阶行列式命题成立,即：,则,按第一列展开:,将归纳法假设代入,得,因此,对任意正整数,都有,28、证明,证,提取公因子,应用范德蒙行列式,得,29、证明,，其中,证,应用加边法,得,又,利用矩阵乘法的结合律有：,30、,
