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1、1.3.1 函数的单调性与导数,（4）.对数函数的导数:,（5）.指数函数的导数:,（3）.三角函数：,（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；,（2）.幂函数：(xn)/nxn1,一、复习回顾：基本初等函数的导数公式,函数 y=f(x)在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f(x 1)f(x 2)，,则 f(x)在G 上是增函数；,2）都有 f(x 1)f(x 2)，,则 f(x)在G 上是减函数；,若 f(x)在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x)在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G=(
2、a,b),二、复习引入:,在（，0）和（0,）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。,在（，1）上是减函数，在（1,）上是增函数。,在(,)上是增函数,概念回顾,画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间,(1)函数的单调性也叫函数的增减性；,(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。,(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。,高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入
3、水这两段时间的运动状态有什么区别?,观 察:,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,(1),(2),x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y=x,y=x2,y=x3,观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,在某个区间(a,b)内,如果,那么函数 在这个区间内单调递增;如果,那么函数 在这个区间内单调递减.,如果恒有，则 是常数函数。,题1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4,或 x 1时,当 x=4,或 x=1时,试画出函数 的图象的大致形状.,题1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4,或 x 1时,当 x=4,或 x
4、=1时,试画出函数 的图象的大致形状.,解:,当1 x 4 时,可知 在此区间内单调递增;,当 x 4,或 x 1时,可知 在此区间内单调递减;,当 x=4,或 x=1时,综上,函数 图象的大致形状如右图所示.,题2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:,题2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:,解:,(1)因为,所以,因此,函数 在 上单调递增.,(2)因为,所以,当,即 时,函数 单调递增;,当,即 时,函数 单调递减.,题2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:,解:,(3)因为,所以,因此,函数 在 上单调递减.,(4)因为,所以,当,即 时,函数 单调递增;,当,即 时,函数
5、 单调递减.,练习,4.求证:函数 在 内是减函数.,练习,4.求证:函数 在 内是减函数.,解:,由,解得,所以函数 的递减区间是,即函数 在 内是减函数.,1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f(x)(2)解不等式f(x)0(或f(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）,2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f(x)(2)确认f(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论,作业：已知函数f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。,例3 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应
6、的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,练习,判断下列函数的单调性,并求出单调区间:,一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓.,练习,2.函数 的图象如图所示,试画出导函数 图象的大致形状,练习,3.讨论二次函数 的单调区间.,解:,由,得,即函数 的递增区间是;相应地,函数的递减区间是,由,得,即函数 的递增区间是;相应地,函数的递减区间是,
