《微分中值定理课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分中值定理课件.ppt（44页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、1,第三章 微分中值定理与导数的应用,因为导数是函数随自变量变化的瞬时变,所以可借助导数来研究函数.,但每一点,的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新,的“桥梁”.,中值定理(mean value theorem),化率,2,Rolle定理,Lagrange中值定理,小结 思考题 作业,Chauchy中值定理,3.1 微分中值定理,推广,泰勒公式(第三节),3,本节的几个定理都来源于下面的明显的,至少有,与连接此曲线两端点的弦,平行.,几何事实:,一点处的切线,连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线.,有水平的切线,4,Rolle定理,(1),
2、(2),(3),罗尔 Rolle,(法)1652-1719,使得,如,一、罗尔(Rolle)定理,5,几何解释:,6,Fermat引理,费马 Fermat,(法)1601-1665,有定义,如果对,有,那么,函数导数为0的点也称为驻点、稳定点或临界点。,7,Rolle定理,(1),(2),(3),使得,证,所以最值不可能同时在端点取得.,使,有,由 Fermat引理,8,(1)定理条件不全具备,结论不一定成立.,Rolle定理,(1),(2),(3),使得,这三个条件只是充分条件，而非必要条件,(2)罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点,有的函数这样的点可能不止一个.,9,例1,证
3、,(1),(2),定理的假设条件满足,结论正确,验证Rolle定理的正确性.,10,例2,证,由零点定理得,即为方程的小于1的正实根.,(1)存在性,11,(2)唯一性,对可导函数 f(x),f(x)=0的两实根之间,在方程,的一个实根.,Rolle定理还指出,至少存在方程,满足Rolle定理的条件.,矛盾,故假设不真!,12,练习 不求导数 判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个实根 以及其所在范围 解 f(1)=f(2)=f(3)=0 f(x)在1 2 2 3上满足Rolle定理的三个条件 在(1 2)内至少存在一点x1 使 f(x1)=0 x1是 f(x)的一个实根
4、 在(2 3)内至少存在一点x2 使f(x2)=0 x2也是f(x)的一个实根 f(x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间(1 2)及(2 3)内,13,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,显然,在,上连续.,证：设,例3.设,由Rolle定理得,14,现在，微积分里面最著名的定理之一，就要登场了。只要该定理一出场，真可以让一大堆定理顿时黯然失色。不错，我们所说的不是别的，正是中值定理。你大概做梦也不会想到，大名鼎鼎的中值定理，不过只是朴实无华的罗尔定理转个角度，歪斜一下而已。你在看罗尔定理时，若是把脑袋歪向一边，看到的就是中值定理！,15,Rolle定
5、理,Lagrange中值定理,16,拉格朗日 Lagrange(法)1736-1813,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,Meal Value Theorem,17,证,作辅助函数,由此得,Lagrange中值公式,且,易知,微分中值定理,18,微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧为“最有价值定理”（MVT）。,Meal Value Theorem,它表明了函数在两点处的函数值,的单调性及某些等式与不等式的证明.,在微分学中占有,极重要的地位.,与导数间的关系.,今后要多次用到它.,尤其可利用它研究函数
6、,19,几何解释:,物理解释:,20,Lagrange公式可以写成下面的各种形式:,它表达了函数增量和某点的,但是增量、,这是十分方便的.,由(3)式看出,导数之间的直接关系.,导数是个等式关系.,Lagrange中值定理又称,Lagrange中值公式又称,有限增量公式.,有限增量定理.,21,还有什么？,22,推论 1,推论 2,(C 为常数),推论 3,用来证明一些重要的不等式,推论 4,用来判断函数的单调性,23,例4,证,由推论,自证,说明,欲证,只需证在,上,且,使,24,例5 试证明下列不等式,(1)设,显然f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，,由拉格朗日定理得,由于,故,
7、证,25,在(0,x)（或(x,0)）内可导.,即,(介于0与x之间).,则 f(t)在0,x（或x,0）上连续，,(2)令f(t)=e t,于是，,由拉格朗日定理得,26,例6,证：,所以由拉格朗日中值定理得,命题得证,27,柯西 Cauchy(法)1789-1859,Chauchy中值定理,(1),(2),使得,三、柯西(Cauchy)中值定理,28,这两个,错!,柯西定理的下述证法对吗?,讨论,不一定相同,29,前面对Lagrange中值定理的证明,构造了,现在对两个给定的函数 f(x)、F(x),构造,即可证明Cauchy定理.,辅助函数,辅助函数,分析,上式写成,用类比法,30,Ca
8、uchy定理的几何意义,注意,弦的斜率,切线斜率,31,例7,证,分析,结论可变形为,即,满足柯西中值定理,32,四、小结,罗尔定理,Lagrange中值定理,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:,推广,推广,这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,33,应用三个中值定理常解决下列问题,(1)验证定理的正确性;,(2)证明方程根的存在性;,(3)引入辅助函数证明等式;,(4)证明不等式;,(5)综合运用中值定理(几次运用).,关键 逆向思维,
9、找辅助函数,34,思考与练习,1.填空题,1)函数,在区间 1,2 上满足Lagrange定理,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,上.,方程,35,2.,试证：方程,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,3.设,4.,36,2.,试证方程,分析,注意到:,37,证,设,且,由Rolle定理得,即,试证方程,38,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足Rolle定理条件.,设,3.设,39,作业,习题3-1(132页),2.7.8.10.11.12.13.,40,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余
10、爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的Fermat大定理:,Fermat大定理1994年得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究,最大值与最小值的方法中提炼出来的.,41,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,42,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,43,例3,证,如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.,记,利用微分中值定理,得,44,例6,证,从而,
