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1、专题二,规律探索型问题,规律探索型问题也是归纳猜想型问题，,其特点是：,给出一组具有某种特定关系的数、式、图形；或是给,出与图形有关的操作变化过程；或是给出某一具体的,问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的,规律，进而归纳或猜想出一般性的结论规律探索型,问题包括两类问题：数字类规律探索问题、图形类规,律探索问题,1,数字类规律探索问题,解答数字类规律探索问题，应在读懂题意、领会,问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳，,得出的规律要具有一般性，而不是一些只适合于部分,数据的“规律”,2,图形类规律探索问题,解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征,和图形变换规律，一要合理猜想，
2、二要加以实际验证,考点一,数字类规律探索问题,例,1(2015,巴中,),定义：,a,是不为,1,的有理数，我们把,1,1,a,称为,a,的差倒数，如,2,的差倒数是,1,1,2,1,，,1,的差倒数是,1,1,?,1,?,1,2,.,已知,a,1,1,2,，,a,2,是,a,1,的差倒数，,a,3,是,a,2,的差倒数，,a,4,是,a,3,的差倒数，?，以此类推，,则,a,2 015,_.,【点拨】,a,1,1,2,，,a,2,1,1,?,?,?,?,1,2,2,3,，,a,3,1,1,2,3,3,，,a,4,1,1,3,1,2,，观察发现，数的循环周期为,3,2 015,3,671,?,
3、2,，,a,2 015,a,2,2,3,【答案】,2,3,方法总结：,数字类规律一般分为两类：一类是每个数与序号,有关系，另一类是循环类，即几个数后就会出现循环,.,因此解决数字类问题，一般是计算前面几个简单的数,的结果，观察结果的变化是哪一类，若和序号有关，,则第,n,个数用含有,n,的式子表示；若是循环类，则找,出循环节，用,n,除以循环节，找出余数即可找到对应,的结果,.,考点二,图形类规律探索问题,例,2,(2015,益阳,),如图是用长度相等的小棒按一定规,律摆成的一组图案，第,1,个图案中有,6,根小棒，第,2,个,图案中有,11,根小棒，?，则第,n,个图案中有,_,根小棒,【点
4、拨】,第,1,个图案中有,6,根小棒，第,2,个图案,比第,1,个图案多一个,，在接下来的图案都依次,增加一个,，可知第,1,个图案有,6,根小棒，,第,2,个图案有,(6,5),根小棒，第,3,个图案有,(6,5,5),根小棒，,第,4,个图案有,(6,5,5,5),根小棒，,?,，,则,第,n,个图案中有,6,5(,n,1),6,5,n,5,(5,n,1),根小,棒，故答案为,5,n,1.,【答案】,5,n,1,方法总结：,解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征,和图形变化规律，一要合理猜想，二要加以实际验证,.,专题训练,一、选择题,(,每小题,4,分，共,32,分,),1,请你计算
5、：,(1,x,)(1,x,),，,(1,x,)(1,x,x,2,),，,?，,猜想,(1,x,)(1,x,x,2,?,x,n,),的结果是,(,),A,1,x,n,1,B,1,x,n,1,C,1,x,n,D,1,x,n,答案：,A,2,(2015,十堰,),如图，分别用火柴棍连续搭建正三,角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍如果搭建,正三角形和正六边形共用了,2 016,根火柴棍，,并且正三,角形的个数比正六边形的个数多,6,个，那么能连续搭,建正三角形的个数是,(,),A,222,B,280,C,286,D,292,【解析】,设能连续搭建正三角形的个数是,n,，则,正六边形的个数为,(,n,
6、6),，,观察图形可知，,搭建一个正,三角形用,3,根火柴棍，搭建,n,个正三角形用,(2,n,1),根,火柴棍；搭建一个正六边形用,6,根火柴棍，搭建,(,n,6),个正六边形用,5(,n,6),1,根火柴棍，正三角形,和正六边形共用了,2,016,根火柴棍，故可得,2,n,1,5(,n,6),1,2 016,，解得,n,292.,故选,D.,答案：,D,3,根据下图中箭头的指向规律，,从,2 014,到,2 015,再到,2 016,，箭头的方向是下面图示中的,(,),A,B,C,D,【解析】,通过观察，每,4,个数为一个循环组，,又,2 014,4,503,?,2,，,2 014,为第,
7、504,循环组的第,三个数，因此箭头方向为,.,故选,B.,答案：,B,4,(2015,宜宾,),如图，,以点,O,为圆心的,20,个同心圆，,它们的半径从小到大依次是,1,2,3,4,，?，,20,，阴影部分,是由第,1,个圆和第,2,个圆，第,3,个圆和第,4,个圆，?，,第,19,个圆和第,20,个圆形成的所有圆环，则阴影部分的,面积为,(,),A,231,B,210,C,190,D,171,【解析】,第,1,个圆和第,2,个圆之间的阴影部分的,面积为,(2,2,1,2,),3,；第,3,个圆和第,4,个圆之间的阴,影部分的面积为,(4,2,3,2,),7,；第,5,个圆和第,6,个圆,
8、之间的阴影部分的面积为,(6,2,5,2,),11,；,?,，第,19,个圆和第,20,个圆之间的阴影部分的面积为,(20,2,19,2,),39,；,阴影部分的面积为,3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,210.,故选,B.,答案：,B,二、填空题,(,每小题,4,分，共,20,分,),1,(2015,安,徽,),按,一,定,规,律,排,列,的,一,列,数,：,2,1,2,2,2,3,2,5,2,8,2,13,，?，若,x,，,y,，,z,表示这列数中的连续,三个数，猜测,x,，,y,，,z,满足的关系式是,xy,z,.,2,如图，在等腰,Rt,OAA,1,中，,OAA,
9、1,90,，,OA,1,，以,OA,1,为直角边作等腰,Rt,OA,1,A,2,，以,OA,2,为直角边作等腰,Rt,OA,2,A,3,，,?，,则,OA,6,的长度为,.,【解析】,在等腰,Rt,OAA,1,中，,OAA,1,90,，,OA,1,，,OA,1,2.,同理可求,OA,2,(,2),2,，,OA,3,(,2),3,.,依此类推,OA,6,(,2),6,8.,答案：,8,3,(2015,安顺,),如图所示是一组有规律的图案，第,1,个图案是由,4,个基础图形组成，第,2,个图案是由,7,个基础图形组成，?，第,n,(,n,是正整数,),个图案中的,基础图形的个数为,(,用含,n,的
10、式子表示,),(1),(2),(3),【解析】,认真观察图形，确定图形变化规律：第,1,个图案是由,4,个基础图形组成，第,2,个图案是由,7,个基,础图形组成，以后每个图案都比前一个图案多,3,个基,础图形，,第,n,(,n,是正整数,),个图案中的基础图形的个,数为,3,n,1.,答案：,3,n,1,三、解答题,(,共,28,分,),1,(8,分,),观察下列关于自然数的等式：,(1)3,2,4,1,2,5,(2)5,2,4,2,2,9,(3)7,2,4,3,2,13,?,根据上述规律解决下列问题：,(1),完成第四个等式：,9,2,4,(_),2,(_),；,(2),写出你猜想的第,n,
11、个等式,(,用含,n,的式子表示,),，,并验证其正确性,解：,(1)4,17,(2)(2,n,1),2,4,n,2,4,n,1.,证明如下：,左边,4,n,2,4,n,1,4,n,2,4,n,1,右边，,等式成立,2,(2015,六盘水,),毕达哥拉斯学派对”数”与”,形”的巧妙结合作了如下研究：,请写出第六层各个图形的几何点数，,并归纳出第,n,层各个图形的几何点数,第六层的几何点数分别为,6,11,16,21,；,第,n,层的几何点数分别为,n,2,n,1,3,n,2,4,n,3.,2,(2015,烟台,),如图，正方形,ABCD,的边长为,2,，,其面积标记为,S,1,，以,CD,为斜
12、边作等腰直角三角形，,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方,形，其面积标记为,S,2,，?，按照此规律继续下去，,则,S,2 015,的值为,(,),A.,?,?,?,?,?,?,2,2,2 012,B.,?,?,?,?,?,?,2,2,2 013,C.,?,?,?,?,1,2,2 012,D.,?,?,?,?,1,2,2 013,【解析】,S,1,4,，,S,2,2,，,S,3,1,，,S,4,1,2,，,可推,知从第,2,个正方形起，每一个正方形的面积是上一个,正方形面积的,1,2,，,S,2,015,2,2,?,?,?,?,1,2,2,015,1,?,?,?,?,1,2,2,01
13、2,.,故,选,C.,答案：,C,3,将一组数,3,，,6,，,3,2,3,，,15,，?，,3,10,，按下面的方法进行排列：,3,，,6,，,3,2,3,，,15,；,3,2,，,21,，,2,6,，,3,3,，,30,；,?,若,2,3,的位置记为,(1,4),，,2,6,的位置记为,(2,3),，则,这组数中最大的有理数的位置记为,(,),A,(5,2),B,(5,3),C,(6,2),D,(6,5),【解析】,易发现这组数的规律为从第,2,个数开始，,每个数都比上个数的被开方数大,3,；,位置排列规律为每,一行有,5,个数，每个数的位置用一对有序数对表示，,其中第,1,个数代表行数，
14、第,2,个数代表列数所给的,这组数中最大的有理数为,81,，,即,9.,由于,81,3,27,，,所以,81,为这组数的第,27,个数，,所以,81,位于第,6,行，,第,2,列，记为,(6,2),故选,C.,答案：,D,4,(2015,潍坊,),如图，正,ABC,的边长为,2,，以,BC,边上的高,AB,1,为边作正,AB,1,C,1,，,ABC,与,AB,1,C,1,公共,部分的面积记为,S,1,；,再以正,AB,1,C,1,边,B,1,C,1,上的高,AB,2,为边作正,AB,2,C,2,，,AB,1,C,1,与,AB,2,C,2,公共部分的面积记为,S,2,；,?，,以此类推，,则,S
15、,n,.(,用含,n,的式子表示,),【解析】,由,AB,1,B,AB,2,B,1,90,，,BAB,1,B,1,AB,2,，可得,AB,1,B,2,ABB,1,，故,S,1,S,ABB,1,?,?,?,?,AB,1,AB,2,?,?,?,?,?,?,3,2,2,3,4,，故,S,1,3,4,S,ABB,1,.,由题意可知,AB,2,，,BB,1,1,，故,AB,1,3,，故,S,ABB,1,1,2,1,3,3,2,.,故,S,1,3,4,3,2,.,同理可得,S,2,3,4,S,1,?,?,?,?,3,4,2,3,2,，,S,3,3,4,S,2,?,?,?,?,3,4,3,3,2,，故,S,n,?,?,?,?,3,4,n,3,2,.,答案：,?,?,?,?,3,4,n,3,2,
