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1、第26章帕斯卡定理帕斯卡()定理设内接于圆（与顶点次序无关，即无需为凸六边形），直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，则、三点共线证法l设直线与交于点，直线与交于点直线与交于点对及截线、分别应用梅涅劳斯定理，有，将上述三式相乘，并运用圆幂定理，有，从而，其中、分别在直线、上对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知、三点共线证法2设过、的圆交直线于点，交直线于点连接、，则与相补（或相等）又与相等，从而与相补或相等，即知飘理，于是，与为位似图形由于位似三角形三对对应顶点的连线共点（共点于位似中点），这里，直线与交于点，则另一对对应的点、的连线也应过点，故，、三点共线证法3连、，过分别作上于，作于，作于，
2、过分别作于，作于则同理，注意到，所以，即，于是有连、，则、及、分别四点共圆，从而，亦即有，故、三点共线证法4如图，连、在圆内接四边形中，有与相等；在圆内接四边形中，有与相等或相补；在圆内接四边形中，与相补或相补故可以在的边上或其延长线上取一点，使，从而，设与相交于另一点，则，所以与相等或相补故、三点共线又于是，知、四点共圆所以， (或 (或)从而、三点共线故、三点共线注：此定理中，当内接于圆的六边形的六顶点改变其宇序，两两取对边、共有60种不同情形，相应有60条帕斯卡直线六个取定的点，有15条连线，相交产生另外45个点，这些点中每一点有4条帕斯卡线这些帕斯卡线，每3条共点，产生20个其他的点，
3、称为斯坦纳点，每条线上一个，而且这些帕斯卡线，每3条共点，还产生其他60个点，称为寇克曼点，每3个在一条直线上20个斯坦纳点在15条其他直线上，每条线上4个点60个寇克曼点在20条其他直线上，每条线上3个 单墫译美约翰逊近代欧式几何学上海：上海教育出版社，2000；208当六边形中有两顶点重合，即对于内接于圆的五边形，亦有结论成立；圆内接五边形中（与重合）处的切线与的交点、与的交点、与的交点三点共线，如图 (1)当六边形变为四边形或等时，如图 (2)、(3)，结论仍成立当六边形变为三角形时，三组边、变为点，如图 (4)，仍有结论成立此时三点所共的线也称为莱莫恩线（参见第10章性质19）下面从四
4、个方面看一些应用的例子1指出在圆上的六点应用帕斯卡定理例1如图，过的顶点、各作一直线使之交于一点而交外接圆于、又在外接圆上任取一点，则、与、对应的交点、三点共线证明在圆内接六边形中，其三双对边与、与、与的交点分别为、，由帕斯卡定理知、三点共线在圆内接六边形中，其三双对边与、与、与的交点务别为、，由帕斯卡定理知、三点共线故、三点共线例2（预选题）已知为确定的三角形，分别为边、的中点为外接圆上的动点，、分别与的外接圆交于另外的点、若、是不同的点，则直线、交出一个三角形证明：这个三角形的面积不依赖于点证明如图，设、是直线、交出的三角形的三个顶点下面，我们证明有，这便可说明的面积不依赖于点的选取注意到
5、图中的圆内接六边形，由帕斯卡定理，知三双对边与、与、与的交点、三点共线，即知点在的中位线上类似地，可证点、分别在直线、上由，得，有同理，由，有从而，于是故2作出一些点构成圆上六点应用帕斯卡定理例3（2004年国家队培训题）设与的外接圆内切并与边、相切的圆为，记为圆的半径，类似地定义、，是的内切圆半径，证明： 证明如图，设圆与、的外接圆分别切于点、，设、分别为、中点，为的内心这时，为圆与的位似中心，且过的切线平行于，因而、为一双对应点，于是、三点共线（也可设直线交于，则证得为的中点）同理，、三点共线而、分别为、的平分线，则知其交点为注意到圆内接六边形，由帕斯卡定理知、三点共线记圆的圆心为，由，有
6、同理，由有因此故例4（2007年国家集训队测试题）凸四边形内接于圆，与边相交的一个圆与圆内切，且分别与、相切于点，求证：的内心与的内心皆在直线上证明如图，设圆的圆心为，与相交且与相内切的圆的圆心为，切点为，显然、三点共线设与交于点，直线交于，直线交于，交于，直线交于这时，存在一个以点为位似中心的位似变换使得变为，因此，直线变为过点且平行于的的切线，所以为的中点由，有，即又及截线应用梅涅劳斯定理，有，即又又、知，即知是弧的中点显然，的内心为与的交点注意到圆内接六边形，由帕斯卡定理，知、三点共线所以的内心在上同理，的内心也在上3证明六点共圆应用帕斯卡定理例5（2005年国家集训队测试题）如图，点在
7、内部，点在边、上的射影分别为、，过点分别作直线、的蚕线，垂足分别为、求证：、三线共点证明由题设，有，从而，、六点都在以为直径的圆上于是，对于圆内接六边形，它的三组对边与、与、与的交点分别为、，由帕斯卡定理，知、三点共线，从而点在上故、三线共点例6（2002年澳大利亚国家数学竞赛题）已知为锐角三角形，以为直径的分别交、于点、分别过和作的两条切线交于点，分别过和作的两条切线交于点证明：点在线段上证明如图，设与、与、与分别交于、，连接、则，由此知、四点共圆又是的切线，于是同理，因此，、在以为直径的圆上，即、六点共圆在这个圆内接六边形中，应用帕斯卡定理，三双对边与、与、与的交点、共线故点在线段上4注意
8、特殊情形时帕斯卡定理的应用例7（2005年第18届韩国数学奥林匹克题）在中，是的外接圆的圆心，、是的两条切线，切点分别为、设，又设是上的点，且使得，是与的交点，是与的交点，令证明证明如图，设的延长线与过点的的切线交于点，对应用帕斯卡定理，知、三点共线，从而与重合因此，点、的位置如图所示由切割线定理，有，即设与交于点，对及截线、分别应用梅涅劳斯定理，有，由上述三式并注意相交弦定理：，则有练习题二十六1点在的外接圆上，是任意一点，直线，分别交外接圆于点，证明：直线和，和，和的交点在过点的一条直线上2已知和某个点，设和是由点分别向直线和引垂线的垂足，而和是由点分别向直线和引垂线的垂足证明：直线和的交
9、点在直线上3四边形内接于圆中，是任意一点，和是直线和与圆的第二个交点直线和，和相交于点和证明：直线和的交点在直线上4四边形内接于，点使得证明：四边形对角线的交点在直线上5点和在的内部，且关于对称，射线和共线，射线和也共线（其中点，均在上）证明：直线和的交点在直线上6点，在圆上，而点，分别在直线，上，且满足，证明：7（试题，去掉了条件）设在中，有一圆内切于的外接圆，且与和分别切于点和证明：点和连线的中点是的内切圆圆心8（2005年捷克波兰斯洛伐克竞赛题）设凸四边形的外接圆和内切圆的圆心分别为、，对角线、相交于点证明：、三点共线9(2006年第9届香港数学奥林匹克题)凸四边形的外接圆的圆心为，已知，与交于点若为四边形内部一点，使得，求证：、三点共线10（2003年国家集训队培训题）在等腰直角中，为的中点，、为上另两点，为的外接圆和的外接圆的另一个交点；为直线与的外接圆的另一个交点；为直线与的外接圆的另一个交点，求的长度11(2009年国家集训队测试题)在凸四边形中，与的外角平分线分别是边与，分别为，的延长线上的点，且，四点共圆平面上的一点使得是的外角平分线，是的外角平分线边与所在直线交于点求证：点在边上的充分必要条件是点在线段上
