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1、等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比2、通项公式：，首项：；公比：推广：3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列是等比数列4、等比数列的前项和公式：（1）当时，（2）当时，（为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数列（2）等比中项：为等比数列（3）通项公式：为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。（3）若，则。特别的，当时，得 注：等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义递推公式；通项公
2、式（）中项（）（）前项和重要性质经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1等比数列中，, ,求.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.总结升华： 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【变式2】为等比数列，0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列，若，求。类型二：等比数列的前n项和公式例2
3、设等比数列的前n项和为，若S36=2S9，求数列的公比q.举一反三：【变式1】求等比数列的前6项和。【变式2】已知：为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【变式3】在等比数列中，求和。类型三：等比数列的性质例3. 等比数列中，若,求. 举一反三：【变式1】正项等比数列中，若a1a100=100; 则12+100.【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中，已知，求。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然
4、成等比数列。举一反三：【变式1】等比数列中，公比2, S4=1,则S8.【变式2】已知等比数列的前n项和为, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【变式3】等比数列的项都是正数，若80, S26560，前n项中最大的一项为54，求n.【变式4】等比数列中，若a12=324, a34=36, 则a56.【变式5】等比数列中，若a123=7456=56, 求a789的值。类型五：等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数
5、，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为, a, ；若三数成等比数列，可设此三数为，x, 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二
6、个数与第三个数的和为12，求这四个数.类型六：等比数列的判断与证明例6已知数列的前n项和满足：5(1)(n),求出数列的通项公式，并判断是何种数列？思路点拨：由数列的前n项和可求数列的通项公式，通过通项公式判断类型.举一反三：【变式1】已知数列，其中23n，且数列1为等比数列，求常数p。【答案】2或3；【证明】设数列、的公比分别为p, q，且pq【变式3】判断正误：(1)为等比数列a73a4；(2)若b2，则a，b，c为等比数列；(3)，均为等比数列，则为等比数列；(4)是公比为q的等比数列，则、仍为等比数列；(5)若a，b，c成等比，则，成等差.类型七：与的关系例7已知正项数列，其前n项和满
7、足，且a1，a3，a15成等比数列，求数列的通项.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1：若数列的前n项和(a1)，则数列是等比数列；命题2：若数列的前n项和，则数列既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1等比数列中，, ,求.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.解析：法一：设此数列公比为，则由(2)得：.(3) .由(1)得： , .(4)(3)(4)得：， ,解得或当时
8、，；当时，.法二：,又, 、为方程的两实数根， 或 , 或.总结升华： 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】96法一：设公比为q，则7681q8，q8=256，2，a6=96；法二：a521a9a5=482，a6=96。【变式2】为等比数列，0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【答案】64；，又0，a45=4。【变式3】已知等比数列，若，求。【答案】或；法一：，从而解之得，或，当时，
9、；当时，。故或。法二：由等比数列的定义知，代入已知得将代入（1）得，解得或由（2）得或 ，以下同方法一。类型二：等比数列的前n项和公式例2设等比数列的前n项和为，若S36=2S9，求数列的公比q.解析：若1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a10，得S362S9，显然1与题设矛盾，故q1.由得，整理得q3(2q63-1)=0，由q0，得2q63-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因q31，故，所以。举一反三：【变式1】求等比数列的前6项和。【答案】；，。【变式2】已知：为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】；，则a1=1或a1=9.【变式3】在等
10、比数列中，求和。【答案】或2，；，解方程组，得 或将代入，得，由，解得；将代入，得，由，解得。或2，。类型三：等比数列的性质例3. 等比数列中，若,求.解析： 是等比数列， 举一反三：【变式1】正项等比数列中，若a1a100=100; 则12+100.【答案】100；123+100(a1a2a3a100)而a1a1002a993a98=50a51 原式(a1a100)50=50(a1a100)=50100=100。【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为。【答案】216；法一：设这个等比数列为，其公比为，。法二：设这个等比数列为，公比为，则，加入的三项分别为，
11、由题意，也成等比数列，故，。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中，已知，求。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：令b148, b2260-48=12，b332n观察b112+,b212+2(a12+)，b32122+32n(a12+)易知b123成等比数列，S3323+60=63.法二：，由已知得得，即 代入得，。法三：为等比数列，也成等比数列，。举一反三：【变式1】等比数列中，公比2, S4=1,则S8.【答案】17；S84567841q42q43q44q4
12、44(a1234)44S44(14)=1(1+24)=17【变式2】已知等比数列的前n项和为, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【答案】130；法一：S10，S2010，S3020构成等比数列，(S2010)210(S3020) 即302=10(S30-40),S30=130.法二：2S10S20，, , .【变式3】等比数列的项都是正数，若80, S26560，前n项中最大的一项为54，求n.【答案】 ，(否则)=80 .(1)=6560.(2)，(2)(1)得：182,81.(3)该数列各项为正数，由(3)知q1为递增数列，为最大项54.11=54,a154q,81a1=54
13、q.(4)代入(1)得，3,4.【变式4】等比数列中，若a12=324, a34=36, 则a56.【答案】4；令b1121(1)，b2341q2(1)3561q4(1), 易知：b1, b2, b3成等比数列，b34,即a56=4.【变式5】等比数列中，若a123=7456=56, 求a789的值。【答案】448；是等比数列，(a456)=(a123)q3,q3=8, a789=(a456)q3=568=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设
14、元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为, .则, a, 32成等比数列，, 4, 成等比数列.由(2)得.(3)由(1)得322+32d .(4)(3)代(4)消a，解得或8.当时,；当8时10原来三个数为,或2,10,50.法二：设原来三个数为a, , 2，则a, 2-32成等差数列，a, 4, 2-32成等比数列由(2)得，代入(1)解得5或13当5时2；当13时.原来三个数为2，10，50或，,.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为, a, ；若三数成等比数列，可设此三数
15、为，x, 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】为2，6，18或；设所求的等比数列为a，2；则 2(4)2，且(4)2(2+32)；解得2，3或，5；故所求的等比数列为2，6，18或.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。【答案】1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1设这三个数分别为，由已知得得，所以或，即或故所求三个数为：1、3、
16、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；设四个数分别是,12,16由(1)得312，代入(2)得144-242(16-312)144-2423y2+28y, 4y2-52144=0, y2-1336=0, 4或9， 0或15，四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明例6已知数列的前n项和满足：5(1)(n),求出数列的通项公式，并判断是何种数列？思路点拨：由数列的前n项和可求数列的
17、通项公式，通过通项公式判断类型.解析：5(1),1=5n,51 (n), a11=51-1=4,当n2时，1=(51)-(51-1)=551=51(5-1)=451而1时，451=451-1=41, n时，451由上述通项公式，可知为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列，其中23n，且数列1为等比数列，求常数p。【答案】2或3；1是等比数列，对任意nN且n2，有(1)2=(21)(1)23n,(21+31)(23n)2=(22+32)(21+31)(23n)(21+31)即(2)2(3)3n2=(2)21+(3)31(2)21+(3)31整理得：,解得：2或3,显然10，
18、故2或3为所求.【变式2】设、是公比不相等的两个等比数列，,证明数列不是等比数列.【证明】设数列、的公比分别为p, q，且pq为证不是等比数列，只需证.,又 pq, a10, b10,即数列不是等比数列.【变式3】判断正误：(1)为等比数列a73a4；(2)若b2，则a，b，c为等比数列；(3)，均为等比数列，则为等比数列；(4)是公比为q的等比数列，则、仍为等比数列；(5)若a，b，c成等比，则，成等差.【答案】(1)错；a71q6，a3a41q2a1q312q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例：02=00，不能说0，0，0成等比；(3)对；首项为a1b1，公比为q1q2；
19、(4)对；(5)错；反例：-2，-4，-8成等比，但(-2)无意义.类型七：与的关系例7已知正项数列，其前n项和满足，且a1，a3，a15成等比数列，求数列的通项.解析：， ，解之得a1=2或a1=3.又， 由-得，即10，1=5(n2).当a1=3时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列a13；当a1=2时，a3=12，a15=72，有a321a15，a1=2，53.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1：若数列的前n项和(a1)，则数列是等比数列；命题2：若数列的前n项和，则数列既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.【答案】0；由命题1得，a1，当n2时，1=(1)1.若是等比数列，则，即，所以只有当1且a0时，此数列才是等比数列.由命题2得，a11，当n2时，11，显然是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当10，即a1时数列才又是等比数列.
