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1、摘 要信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，对于确定性信号，可以用Fourier变换来考察其频谱性质，而对于广义平稳随机信号，由于它一般既不是周期的，又不满足平方可积，严格来说不能进行Fourier变换，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱估计在近30年中获得了飞速发展。涉及到信号与系统、随机信号分析、概率统计、随机过程、矩阵代数等一系列学科，广泛应用于雷达、声纳、通信、地质、勘探、天文、生物医学工程等众多领域。实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计。经典谱估计的两个主
2、要方法为周期图法和自相关法。针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计。现代谱估计大致可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR模型、MA模型、ARMA模型，其中基于AR模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法。理论分析及MATLAB仿真结果表明：经典谱估计方法得到的功率谱出现了许多虚假的谱峰，频率分辨率很低，而现代谱估计方法得到的功率谱较为真实，没有明显的频率偏移和假峰，并且具有较高的频率分辨率，尤其是频率带宽性能得到了明显的改善。关键词：功率谱估计；AR模
3、型；MATLAB；Levinson-Durbin算法；Burg算法ABSTRACTSignal spectral analysis is one of the most important means to examine the characteristics of signal. Fourier transform can be used to study the quality of the spectrum of the certainty signal. For general stochastic signal, it is neither a cycle in general,
4、nor in line with the square integration .Strictly speaking, general stochastic signal cannot be transformed by Fourier transform. So the power spectrum is generally used for signal spectral analysis. In the last 30 years Power spectral estimation was rapidly developed. It related to a range of disci
5、plines such as Signals and systems, stochastic signal analysis, probability and statistics, stochastic processes and Matrix algebra. And it is widely used in radar, sonar, communications, geology, exploration, astronomy, biomedical engineering and many other fields.Actually, the power spectrum of di
6、gital signal can only be estimated by finite length data derived from the limited records, which produced the study area of power spectrum estimation. Power spectral estimation can be broadly divided into classical power spectral estimation and modern power spectral estimation. Two main methods of C
7、lassical power spectral estimation are period gram method and auto-correlation method. For the issues such as low resolution and poor variance performance in Classical spectral estimation, modern spectral estimation is proposed. Modern Spectral Estimation can be broadly classified into non-parametri
8、c spectral estimation and spectral estimation model. Modeling based on parameter estimation of the power spectrum is important content of modern power spectral estimation, and its purpose is to improve the problem of frequency resolution in classical power spectral estimation, which mainly includes
9、the AR model, MA model, ARMA model. Modern power spectral estimation based on AR model is the most commonly used methods.Theoretical analysis and MATLAB simulation results demonstrate that: the power spectrum approached by the classic spectral estimation has many false peaks, and the frequency resol
10、ution is very low, while the power spectrum approached by the modern spectral estimation methods to be more true .And in the modern spectral estimation methods there is no significant frequency deviation and false peak, and have a high frequency resolution, especially the frequency bandwidth perform
11、ance significantly improved.Keywords: power spectrum estimation, AR model, MATLAB, Levinson-Durbin algorithm, Burg algorithm目 录第1章 绪论11.1 功率谱估计概述及发展现状11.1.1 功率谱估计概述11.1.2 功率谱估计的发展现状11.2论文结构2第2章 MATLAB简介32.1 MATLAB的发展概述32.2 MATLAB的功能32.3 MATLAB的技术特点42.4 GUI5第3章 经典谱估计73.1 自相关函数的估计73.1.1 自相关函数的直接估计73.1
12、.2 自相关函数的快速计算73.2经典谱估计简介83.3 直接法及MATLAB仿真结果83.3.1 直接法理论分析83.3.2 直接法的MATLAB仿真结果93.4 间接法及MATLAB仿真结果113.4.1 间接法理论分析113.4.2 间接法的MATLAB仿真结果113.5 直接法和间接法的关系143.6 直接法估计的改进153.6.1 Bartlett法153.6.2 Welch法16第4章 现代谱估计174.1现代谱估计简介174.2平稳随机信号的参数模型174.3 AR模型的构建194.4 AR模型阶数的选择204.5 AR模型的稳定性分析204.6 Levinson-Durbin算
13、法及MATLAB仿真224.6.1 Levinson-Durbin算法的理论分析224.6.2 Levinson-Durbin算法的MATLAB仿真234.7 Burg算法及MATLAB仿真244.7.1 Burg算法的理论分析244.7.2 Burg算法的MATLAB仿真254.8 经典谱估计与现代谱估计性能比较274.8.1经典谱估计与现代谱估计性能比较的理论分析274.8.2经典谱估计与现代谱估计性能比较的MATLAB仿真27第5章 总结与展望295.1 总结295.2 不足之处与未来展望29参考文献31致 谢32附 录： 部分程序代码33第1章 绪论1.1 功率谱估计概述及发展现状1.
14、1.1 功率谱估计概述信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，对于确定性信号，可以用Fourier变换来考察其频谱性质，而对于广义平稳随机信号，由于它一般既不是周期的，又不满足平方可积，严格来说不能进行Fourier变换，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成分功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，应用及其广泛。例如，在语音信号识别、雷达杂波分析、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑号子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限
15、长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计问题。1.1.2 功率谱估计的发展现状功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法，一般分成两大类：一类是经典谱估计；另一类是现代谱估计。经典谱估计的两个主要方法为周期图法和自相关法。直接法又称周期图法，它是把随机信号x(n)的N点观察数据视为一能量有限信号，直接取的傅里叶变换，得，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为对x(n)真实的功率谱的估计。以表示用周期图法估计出的功率谱，则在FFT问世之前，由于该方法的计算量过大而无法运用。自1965年FFT出现之后，此方法就变成了谱估计中的一个常用的方法。将在单位圆上等间隔取值，得由于可以用
16、FFT快速计算，所以也可以方便地求出。间接法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，又称为自相关法，或BT法。这种方法先由估计出自相关函数，然后对求傅里叶变换，便得到的功率谱，记之为，以此作为对的估计，即 当M较小时，上式的计算量不是很大，因此，该方法是在FFT问世之前（即周期图被广泛应用之前）常用的谱估计方法。现代谱估计的提出主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好的问题。现代谱估计的内容非常丰富，涉及的学科及应用领域也相当广泛。从现代谱估计的方法上，大致可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等；后者有最小方差方法、多分量的M
17、USIC方法等。从信号的来源分，又可分为一维谱估计、二维谱估计及多通道谱估计；从所用的统计量来分，目前大部分工作是建立在二阶距（相关函数、方差、谱密度）基础上的，但由于功率谱密度是频率的实函数，缺少相位信息，因此，建立在高阶距基础上的谱估计方法正引起人们的注意。从信号的特征来分，在这之前所说的方法都是对平稳随机信号而言，其谱分量不随时间变化。对非平稳随机信号，其谱是时变的，近十五年，以Wigner分布为代表的时频分析引起了人们广泛的兴趣，形成了现代谱估计的一个新的研究领域。基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR模型、MA模型
18、、ARMA模型，其中基于AR模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA和ARMA模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。在利用AR模型进行功率谱估计时，必须计算出AR模型的参数和激励白噪声序列的方差。这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。本文主要针对采用AR模型的两种方法：Levinson-Durbin递推算法、Burg递推算法。1.2论文结构第1章简单的介绍了功率谱估计及其发展现状；第2章简单阐述了MATLAB的相关内容，其中包括它
19、的发展史、特点、功能、图像用户界面等方面；第3章则讨论了谱估计相关算法：自相关函数的估计，并且主要介绍了经典谱估计方法：直接法和间接法、它们之间的关系、以及直接估计法的改进，并对经典谱估计方法MATLAB仿真结果进行分析；第4章主要介绍了现代谱估计方法：信号建模、AR模型以及AR模型参数求解的Levinson-Durbin算法和Burg算法，阶数的确定方法和原则，以及AR模型的稳定性，并对其MATLAB仿真结果进行分析，最后对经典谱估计和现代谱估计进行了比较。第5章对基于MATLAB的AR模型谱估计进行总结，并对其应用进行展望。实验仿真结果表明：经典谱估计方法得到的功率谱出现了许多虚假的谱峰，
20、频率分辨率很低，而现代谱估计方法得到的功率谱较为真实，没有明显的频率偏移和假峰，并且具有较高的频率分辨率，尤其是频率带宽性能得到了明显的改善。第2章 MATLAB简介MATLAB语言是由美国Math Works 公司推出的计算机软件，从1984年正式版本的推出到现在，MATLAB经受住了用户的多年考验，现已成为国际公认的最优秀的科学计算与数学应用软件之一。其内容涉及矩阵代数、微积分、应用数学、有限元法、科学技术、信号与系统、神经网络、小波分析及其应用、数字图像处理、计算机图形学、电子线路、电机学、自动控制与通信技术、物理、力学和机械振动等方面。在高等院校，MATLAB已经成为学生必须掌握的基本
21、技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB已经走出实验室，并被广泛应用于研究和解决各种具体的工程问题。2.1 MATLAB的发展概述MATLAB是Matrix Laboratory(矩阵实验室的缩写)，最初由美国Cleve Moler博士在70年代末讲授矩阵理论和数据分析等课程时编写的软件包Linpack与Eispack组成，旨在使应用人员免去大量经常重复的矩阵运算和基本数学运算等繁琐的编程工作。1984年成立的Math Works 公司正式把MATLAB推向市场，并从事MATLAB的研究和开发。1990年，该公司推出了以框图为基础的控制系统仿真工具Simulink，它方便了系统的研究与开发
22、，使控制工程师可以直接构造系统框图进行仿真，并提供了控制系统中常用的各种环节的模块库。1993年，Math Works公司推出的MATLAB4.0版在原来的基础上又作了较大改进，并推出了Windows版，使命令执行和图形绘制可以在不同窗口进行。1994年推出了MATLAB4.2版本，并得到广泛的重视和应用。1999年，推出了MATLAB5.3版本，真正实现了32位运算，其速度更快、功能更完善、界面更友好，并提供了Internet搜索引擎，可以协助用户寻求在线帮助。版本6.0、6.1又作了更精细的改进，增加了许多新的功能。版本7.0、7.1包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包。工具包又可
23、以分为功能性工具包和学科工具包。功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算，可视化建模仿真,文字处理及实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包，控制工具包,信号处理工具包,通信工具包等都属于此类。2.2 MATLAB的功能MATLAB之所以成为世界流行的科学计算与数学应用软件，是因为它有着强大的功能。(1) 高质量、强大的数值计算功能。为满足复杂科学计算任务的需要，MATLAB汇集了大量常用的科学和工程计算算法，如矩阵求逆、矩阵特征值以及快速傅立叶变换等。(2) 数据分析和科学计算可视化功能。MATLAB不但科学计算功能强大，而且在数值计算结果的分析和数据可视化方面也远远优于其他同类软件
24、。在科学计算和工程应用中，经常需要分析大量的原始数据和数值计算结果，MATLAB能将这些数据以图形的方式显示出来，使数据间的关系清晰明了。(3) 强大的符号计算功能。在MATLAB的发展过程中，Math Works 公司以Maple的核心部分作为其符号计算功能的引擎，依靠Maple已有的库函数，实现了MATLAB环境下符号的计算功能。(4) 强大的非线性动态系统建模和仿真功能。MATLAB提供了一个模拟动态系统的交互式程序Simulink，允许用户通过绘制框图来模拟一个系统，并动态地控制该系统。(5) 灵活的程序接口功能。应用程序接口(API)是一个允许用户编写的与MATLAB互相配合的C或F
25、ortran程序的文件库。用户可以在MATLAB环境下直接调用已经编译过的C和Fortran子程序，同样，在C和Fortran程序中也可以调用MATLAB的函数或命令，使得这些语言可以充分利用MATLAB的矩阵运算功能和方便的绘图功能。(6) 文字处理功能。MATLAB记事本成功地将MATLAB与文字处理系统Microsoft Word集成为一个整体，为用户进行文字处理、科学计算、工程设计创造了一个统一的工作环境。2.3 MATLAB的技术特点MATLAB具有支持科学计算标准的开放式可扩充结构和跨平台兼容的特点，能够很好地解决科学和工程领域内的复杂问题。(1) 界面友好，编程效率高。MATLA
26、B是一种以矩阵为基本变量单元的可视化程序设计语言，语法结构简单，数据类型单一，指令表达方式非常接近于常用的数学公式。即使对于那些不太熟悉计算机编程的用户，只要有一点Windows操作的经验，在短时间内就能快速掌握MATLAB的主要内容和基本操作，甚至能解决大量复杂的手工难以完成的工作。MATLAB不仅能使用户免去大量经常重复的基本数学运算，收到事半功倍之效， 而且其编译和执行速度都远远超过了采用 C和Fortran语言设计的程序。可以说，MATLAB在科学计算与工程应用方面的编程效率远远高于其他高级语言。(2) 功能强大，可扩展性强。MATLAB语言不但为用户提供了科学计算、数据分析与可视化、
27、系统仿真等强大的功能， 而且还具有独树一帜的可扩展性特征。MathWorks 公司针对不同领域的应用，推出了自动控制、信号处理、图像处理、模糊逻辑、神经网络、小波分析、通信、最优化、数理统计、偏微分方程、财政金融等 30 多个具有专门功能的具箱中的函数可以链装，也可以由用户更改。MATLAB 支持用户自由地进行二次开发，用户的应用程序既可以作为新的函数添加到相应的工具箱中，也可以扩充为新的工具箱。这些年来，国外许多不同应用领域的专家使用MATLAB 开发出了相当多的应用程序。(3) 图形功能，灵活且方便。MATLAB 具有灵活的二维与三维绘图功能，在程序的运行过程中，可以方便迅速地用图形、图像
28、、声音、动画等多媒体技术直接表述数值计算结果，可以选择不同的坐标系，可以设置颜色、线型、视角等，可以在图中加上比例尺、标题等标记，可以在程序运行结束后改变图形标记、控制图形句柄等，并且还可以将图形嵌入到用户的Word 文件中。(4) 在线帮助，有利于自学。MATLAB 提供了丰富的库函数，用户可以借助于MATLAB 环境下的“在线帮助”学习各种函数的用法及其内涵。对于有条件上网的用户， 还可以直接访问MathWorks 公司的网站，以获得诸如常见问题解答 (FAQ )、产品指南、MATLAB书籍等更丰富的帮助信息。 总之，MATLAB语言已经成为科学计算、系统仿真、信号与图像处理的主流软件。2
29、.4 GUI 传统的用户界面是指用户与计算机之间进行交互通信联系的平台。但在近几年，这种概念发生了巨大的变化，出现了多种形式的人机交互方式，从命令的交互方式转变到以图形界面为主的交互形式。现在，图形界面已在人机交互方式中占主导地位。图形用户界面(GUI)是包含图形对象(如窗口、图标、菜单和文本)的用户界面。以某种方式选择或激活这些对象，通常会引起动作或发生变化，最常见的激活方法是用鼠标或其他动作。MATLAB也提供了在MATLAB应用程序中加入GUI的功能。GUI的目前现状为：(1) 就用户界面的具体形式而言，过去经历了批处理、联机终端(命令接口)、(文本)菜单等多通道多媒体用户界面和虚拟现实
30、系统。(2) 就用户界面中信息载体类型而言，经历了以文本为主的字符用户界面(GUI)、以二维图形为主的用户界面(GUI)和多媒体用户界面，计算机与用户之间的通信带宽不断提高。(3) 就计算机输出信息的形式而言，经历了以符号为主的字符命令语言、以视觉感知为主的图形用户界面、兼顾听觉感知的多媒体用户界面和综合运用多种感观(包括触觉等)的虚拟现实系统。(4) 就人机界面中的信息维度而言，经历了一维信息(主要指文本流，如早期电传式终端)、二维信息(主要是二维图形技术，利用了色彩、形状、纹理等维度信息)、三维信息(主要是三维图形技术，但显示技术仍利用二维平面为主)和多维信息(多通道的多维信息)空间。不论
31、从何种角度看，人机交互发展的趋势体现了对人的因素的不断重现，使人机交互更接近于大自然的形式，使用户能利用日常的自然技能，不需经过特别的努力和学习，认知负荷降低，工作效率提高。MATLAB的用户，在指令窗中打开图形界面后，只要用鼠标进行选择和点击，就可浏览那丰富多彩的内容。由此可见, 使用GUI给大家带来了许多方便。第3章 经典谱估计3.1 自相关函数的估计广义平稳随即信号自相关函数的定义，即 (3-1)如果是各态遍历的，则上式的集总平均可以由单一样本的时间平均来实现，即在实际应用中，我们所遇到的大都是实际物理信号，因此是因果性的，即当n0时，,且x(n)是实信号，这样，其自相关函数由下式给出：
32、我们只能得到x(n)的N个观察值。对时的x(n)的值只能假设为零。由这N个观察值来估计处x(n)的自相关函数r(m)的估计方法通常有两种：一是利用(3-1)式直接计算；二是先计算出的能量谱，然后对该能量谱作反变换。3.1.1 自相关函数的直接估计在(3-1)式中，如果观察值的点数N为有限值，则求r(m)估计值的一种方法是由于x(n)只有N个观察值，因此，对于每一个固定的延迟m，可以利用的数据只有个，且在0N-1的范围内，所以在实际计算时，上式变为 (3-2)的长度是2N-1，它是以m=0为偶对称的。3.1.2 自相关函数的快速计算利用(3-2)式计算时，如果m和N都比较大，则需要的乘法次数太多
33、，因此其应用受到了限制。这时，可以利用FFT来实现对的快速计算。(3-2)式也可以对求傅里叶变换，得两个长度为N的序列的线性卷积，其结果是一长度为(2N-1)点的序列。为了能用DFT来计算线性卷积，需要把这两个序列的长度扩充到(2N-1)点。利用DFT计算相关时，同样也是如此。为此，我们把补N个零，得，即= 记的傅里叶变换为，则令l=n+m,由于的取值范围是02N-1，所以的变化范围也应该是02N-1，这样，上式右边=即 (3-3)式中是有限长信号的能量谱，除以N后即为功率谱。这说明，由(3-2)式估计出的自相关函数和的功率谱是一对傅里叶变换。可用FFT快速计算。由此不难得出用FFT计算自相关
34、函数的一般步骤： 对补N个零，得，对做DFT得,； 求的幅平方，然后除以N，得； 对作逆变换，得。 并不简单地等于，而是等于将中的部分向右平移2N点后形成的新序列。由DFT的理论可知，和的功率谱是一样的。3.2经典谱估计简介经典谱估计是功率谱估计方法之一，是以傅里叶变换为理论基础的一种谱估计方法 ，又称为非参数模型谱估计。目前经典谱估计算法有直接法、间接法、Bartlett法、Welch法等。直接法又称周期图法，它是把随机信号x(n)的N点观察数据视为一能量有限信号，直接取的傅里叶变换，得，然后再取其幅值的平方，并除以N，作x(n)真实的功率谱的估计。间接法先由估计出自相关函数，然后对求傅里叶
35、变换，便得到的功率谱，记之为，以此作为对的估计。Bartlett法是把一长度为N的数据分成L段，分别求每一段的功率谱，然后加以平均。Welch法是对Bartlett法的改进。改进之一是选择适当的窗函数；二是在对分段时，可使各段之间有重叠。3.3 直接法及MATLAB仿真结果3.3.1 直接法理论分析直接法又称周期图法，它是把随机信号x(n)的N点观察数据视为一能量有限信号，直接取的傅里叶变换，得，然后再取其幅值的平方，并除以N，作x(n)真实的功率谱的估计。以表示用周期图法估计出的功率谱，则周期图这一概念是由Shuster于1899年首先提出的。因为它是直接有傅里叶变换得到的，所以人们习惯上称
36、为直接法。在FFT问世之前，由于该方法的计算量过大而无法运用。自1965年FFT出现后，此方法就变成了谱估计中的一个常用的方法。将在单位圆上等间隔取值，得 (3-4)由于可以用FFT快速计算，所以也可方便地求出。有前面的讨论可知，上述谱估计的方法包含了下述假设及步骤：把平稳随机信号X(n)视为各态遍历的，用其一个样本x(n)来代替X(n)，并且仅利用x(n)的N个观察值来估计x(n)的功率谱。从记录到的一个连续信号x(t)到估计出，还包括了对x(t)的离散化(A/D)、必要的预处理（如除去均值、除去信号的趋势项、滤波）等。3.3.2 直接法的MATLAB仿真结果直接法的MATLAB仿真程序如附
37、录：（一）直接法所示。(1) 当f1=20，f2=40时得到的仿真结果如图3-1所示。图3-1 f1=20，f2=40时直接法的仿真结果(2) 当f1=100，f2=1000时得到的仿真结果如图3-2所示。图3-2 f1=100，f2=1000时直接法的仿真结果(3) 当噪声方差=1和=10的仿真结果分别如图3-3所示和图3-4所示。图3-3噪声方差=1时直接法的仿真结果图3-4噪声方差=10时直接法的仿真结果仿真结果：用直接法实现时在噪声信号很小的情况下，在图3-1和图3-2两种情况下能分辨出两个频率值，但出现很多假峰，且谱的波动性较大。而当噪声信号增大到原来的100倍时就无法分辨两个频率值
38、，而且通过多次仿真看出，当噪声信号增大到10倍以后就不能分辨出两个频率点的峰值。3.4 间接法及MATLAB仿真结果3.4.1 间接法理论分析此方法的理论基础是维纳辛钦定理。1958年Blackman和Tukey给出了这一方法的具体实现，即先由估计出自相关函数，然后对求傅里叶变换，便得到的功率谱，记之为，以此作为对的估计，即 (3-5)因为由这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以称为间接法，又称为自相关法，或BT法。当M较小时，上式的计算量不是很大，因此，此方法是在FFT问世之前（即周期图被广泛应用之前）常用的谱估计方法。3.4.2 间接法的MATLAB仿真结果间接法的MATLA
39、B仿真程序如附录：（二）间接法所示。(1) 当f1=20，f2=40时得到的仿真结果如图3-5所示。图3-5 f1=20，f2=40时间接法的仿真结果(2)当f1=100，f2=1000时得到的仿真结果如图3-6所示。图3-6 f1=100，f2=1000时间接法的仿真结果(2) 当噪声方差=1和=10的仿真结果分别如图3-7所示和图3-8所示。图3-7噪声方差=1时间接法的仿真结果图3-8噪声方差=10时间接法的仿真结果仿真结果：间接法实现时在噪声信号很小的情况下，图3-5得到的谱线基本能分辨出两个频率值来，但是也出现大量假峰。图3-6也能分辨出两个频率值，假峰减少，说明间接法在这种情况下得
40、到的效果要好一些，但分辨率也不高。而从图3-8中可以看出，当增大噪声信号时得到的谱线已经不能分辨两个频率值，分辨率急速下降。而且出现大量假峰。3.5 直接法和间接法的关系由(3-2)式估计出的，其单边最大长度M=N-1，总的长度为2N-1，又由(3-3)及(3-4)式，有式中是将补N个零后用周期图求出的功率谱。又由(3-5)式，有比较上面两式，有 (3-6)式中M为自相关函数的最大延迟。因此，直接法可以看作是间接法的一个特例，即当间接法中所使用的自相关函数的最大延迟M=N-1时，二者是相同的。和都是2N点的功率谱，具体计算(3-6)式时，可用下式实现： (3-7)我们也可根据自相关函数的对称性
41、，仅取时的来计算功率谱：这样，用DFT计算时，其点数是M+1，有 (3-8)利用上式可以方便地计算畜当时的功率谱。如果M=N-1,这时给出的功率谱是N点，记为，如果在求的周期图时不补零，得，则有当然，利用(3-8)式也可以计算出2N点的功率谱，这时只要把时的各点赋零即可，所得的结果和(3-7)式的结果相同。当M较大，特别是接近于N-1时，对r(m)的估计偏差变大，这时估计出的功率谱的质量必然下降。因此，在使用间接法时，都是取MN-1,这时，当然令MN-1，这意味着对最大长度为2N-1的自相关函数做截断，也即施加了一个窗函数，记之为v(m)，得的均值等于真实自相关函数r(m)乘以三角窗，这是第一
42、次加窗。该三角窗是由数据截短而产生的，其宽度为2N-1，此处v(m)是对自相关函数r(m)的第二次加窗，v(m)的宽度为2M+1，MN-1。因为v(m)的宽度远小于，所以v(m)的频谱主瓣的宽度将远大于的频谱主瓣的宽度。这样，对r(m)施加v(m)的作用等效于在频域做和的卷积。这样就起到了对周期图“平滑”的作用。多以，当MN-1时求出的实际上是在某种意义上对周期图的改进，即平滑了周期图。对周期图的平滑也可以直接在上再乘以数据窗来实现，当然，这样做要耗费较多的计算时间。由于FFT的出现，直接法和间接法往往被结合起来使用，其一般步骤是： 对补N个零，求； 由作傅里叶变换，得，这时； 对加窗函数v(
43、m),这时N-1，得； 利用(3-5)式，求的傅里叶变换，即 (3-9) 功率谱应恒为正值，否则便失去了“功率”的意义。但由于窗函数的频谱在某些频率下可能是负值，因此，当用(3-5)或(3-9)式计算时，有可能使出现负值，失去了功率谱的物理意义，这是间接法的一个缺点。3.6 直接法估计的改进 直接法估计出的谱性能不好，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，N太小时，谱的分辨率又不好。因此需要加以改进。此处所说的改进，主要是改进其方差特性。间接法是对直接法的一种改进，又称之为周期图的平滑。对其改进的另外一种办法时所谓平均法，它的指导思想是把一长度为N的数据分成L段，分别求每一段的功率谱，然后加以平
44、均，以达到所希望的目的。3.6.1 Bartlett法 由概率论可知，对L个具有相同的均值和方差的独立随机变量,新随机变量的均值也是，但方差是，减小了L倍。由此我们可以得到改善方差特性的一个有效方法，即Bartlett法。Bartlett法将采样数据分成L段，每段的长度都是M，即N=LM，第i段数据加矩形窗后，变为，分别计算每一段的功率谱，把对应相加，再取平均，得到平均周期图，的均值由下式给出：式中是矩形窗的频谱，是由做自相关所得到的三角窗的频谱，的长度是2M-1。可见，不取平均的周期图和取平均后的都是有偏估计，且当时，二者都是渐近无偏的。但因为主瓣的宽度远大于,所以取平均后，偏差加大，分辨率
45、下降。由以上分析得出，方差性能的改善是以牺牲偏差和分辨率为代价的。3.6.2 Welch法Welch法是对Bartlett法的改进，又称加权交叠平均法，是应用较广的一种方法。改进之一，实在对进行分段时，可允许每一段的数据有部分的交叠。由于各段允许交叠，因而段数L增大，这样方差可以得到更大的改善。但是，数据的交叠又减小了每一段的不相关性，使方差的减小不会达到理论计算的程度。改进之二时每一段的数据窗口可以不是矩形窗口。这样可以改善由于矩形窗边瓣较大所产生的谱失真。根据概率统计理论可知：利用 Welch法估计出的功率谱的方差大致是直接估计出的谱的方差的1/倍，而且分段越多，方差越小，但是增大会使偏差
46、加大，分辨率下降。所以，在实际使用中要兼顾方差和分辨率的要求适当的选取 和 的值。Welch算法的方差得到了改善，估计出来的功率谱仍然是渐近无偏的，虽然存在着经典功率谱估计的固有缺点，但是对于长数据来说，还的确是较实用的。第4章 现代谱估计4.1现代谱估计简介现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述
