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1、目录0 前言10.1课题背景及意义10.2数字滤波器发展现状和研究方向20.3本文主要研究内容和内容安排21 数字滤波器理论基础41.1滤波器简介41.2滤波器用途41.3滤波器种类61.3.1 滤波器分类61.3.2 FIR滤波器特性81.4设计滤波器时的特征参数101.5所用工具介绍112 多速率信号和采样率转换132.1多速率信号概述132.2插值和抽取132.2.1抽取（Decimation）132.2.2插值（Interpolation）152.3插值滤波器162.3.1插值滤波器简介162.3.2插值滤波器的原理172.3.3插值滤波器的几种基本结构192.4小结233系统设计及实
2、现243.1滤波器的整体设计思路243.1.1滤波器设计方法243.1.2插值滤波器指标253.1.3插值滤波器的系统结构253.2 插值滤波器的具体设计273.2.1 半带滤波器的设计273.2.2 CIC插值滤波器的设计323.3插值滤波器的实现364 模型仿真与验证374.1各级滤波器程序仿真结果374.2 插值模型simulink仿真结果384.3 结论验证435 结论44致谢45参考文献46附录A47附录B640前言0.1课题背景及意义本文的内容是数字插值滤波器，是数字音频系统中的SigmaDelta数模转换器（DAC）中常用的模块，DAC是一种将输入信号转换成模拟信号输出的电路或器
3、件，它被广泛地用在信号采集和处理、数字通信、自动检测、自动控制和多媒体技术等领域。数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，数字化是智能化和网络化的基础，在实际生活、工业生产以及科学研究中遇到的信号多种多样，需要对这些信号和系统参数进行采集、加工和控制，而这些量往往是非电的的模拟量，模拟信号是自变量为时间的连续函数。经过时间上的离散化（采样）和幅度上的离散化（量化），这类模拟信号便成为数字信号，因此数字信号实际上是用数字序列表示的信号。数字信号处理就是用数值计算的方法对数字序列进行各种处理，把信号变换成符合需要的某种形式。例如，对数字信号进行滤波以限制他的频带或滤除噪音和干扰，或将他们
4、与其他信号进行分离；对信号进行频谱分析或功率分析以了解信号的频谱组成，进而对信号进行识别；对信号进行某种变换，使之更适合于传输，存储和应用；对信号进行编码以达到数据压缩的目的等等。数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活的传输是至关重要的。在所有电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了，数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。模数转换器是数字电子系统和模拟电子系统之间的常用接口电路，在音频DAC结构中，系统组成如图1所示： 图1 信号处理流程 Fig1 Signal Processing flow
5、在现代先进的电子系统前端和后端都要用到高性能（包括高分辨率、高速、低功耗、小面积等）的模数转换器和数模转换器，以改善数字处理技术的性能，特别是在诸如雷达、声纳、高分辨率视频和图像显示、军事和医疗成像、高性能控制器与传动器，以及包括无线电话和基站接收机在内的现代数字通讯系统。ADC及DAC器件的发展与广泛的应用也和数字技术发展分不开的，当然也与微处理器和数字信号处理器的普及有很大的关系。过去ADC及DAC主要应用与数据采集系统、工业过程控制、测量及分析等领域，近年来数字技术进入音频及视频领域，特别是CD、VCD、DVD及各种便携式音频器件；无线数字通信发展神速，数码相机、智能相机渐取代传统相机，
6、车载数字音响也不断增加，总之，数字技术快速发展和应用领域越来越宽，使ADC及DAC器件也相应获得较快的发展与进步。插值滤波器位于整个DAC最前端，它主要作用是为调制器提供足够过采样的数据流，同时保证通过数据流要有足够的信噪比，从而保证后端的调制器和低通滤波器正常工作。0.2数字滤波器发展现状和研究方向不管是模拟还是数字滤波器，均经历了由简到繁以及性能逐步提高的发展历程。1917年美国和德国科学家分别发明了LC滤波器，次年LC滤波器得到大力发展，导致了美国第一个多路复用系统的出现。20世纪50年代，无源滤波器日趋成熟。自60年代起，由于计算机技术、集成工艺和材料工业的发展，滤波器发展上了一个新台
7、阶，并且朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价格低廉方向发展，其小体积、多功能、高精度、稳定可靠成为70年代后的主流方向，并导致了RC有源滤波器、开关电容滤波器、电荷转移器和数字滤波器等各种滤波器的飞速发展。70年代后期，上述滤波器的单片集成芯片已被研制出来并且得到应用。在80年代，人们开始致力于各类新型滤波器的研究，努力提高性能并逐渐扩大应用范围。90年至今，各国主要致力于把各类滤波器应用与各类产品的开发和研制中，当然，对滤波器本身的研究也在不断继续。0.3本文主要研究内容和内容安排在充分调研了滤波器的用途和种类、工作特性等相关资料后，阐述了数字滤波器的基本原理和应用领域，提出了适
8、合用于音频系统的数字插值滤波的设计。首先从过采样率着手，介绍数字插值滤波器的数学推导、工作原理和系统结构。接着对需要研究的插值滤波器进行系统分析，动手设计插值滤波器，最后测试仿真插值的结果。本文的内容安排如下：前言部分，简单介绍了论文的课题背景意义，滤波器发展状况和研究方向，最后总结了本文所要完成的主要工作。第一章给出了设计本文数字滤波器相关的理论介绍，包括滤波器的分类、用途和选用FIR滤波器的优良线性相位的原因。第二章由多速率信号引入采样率的问题，采样率提高即使插值的过程，接着又详细介绍了插值滤波器的作用、插值原理的数学公式推导、插值滤波器的几种结构等等，为设计插值滤波器做好理论支撑。第三章
9、开始正式设计数字插值滤波器，综合阐述设计的指标、参数、类型，对半带滤波器和CIC滤波器这两种滤波器进行设计，本文整体设计采用多级多采样率信号处理电路，最后利用Matlab完成整个模型的设计。第四章对模型进行全面仿真，验证模型插值效果和模型是否正确。第五章全面总结本次论文设计的内容和出现的问题。1 数字滤波器理论基础1.1滤波器简介滤波器是一种用来减少或消除干扰的电气部件，其功能是将输入信号进行过滤处理得到所需信号。最常见用法是对特定频率的频点或改频点以外的频率信号进行有效滤除，从而实现消除干扰、获取某特定频率信号的功能。其更广泛的定义是将凡是有能力进行信号处理的装置都称为滤波器。数字滤波器，通
10、常定义为通过对数字信号的运算处理，改变信号频谱，完成滤波作用的算法或装置，其输入、输出均为数字信号，实质上一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基本原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换，改变输入序列的频谱或信号波形，让有用的频率信号分量通过，抑制无用的信号分量输出。数字滤波器既可以用计算机软件实现，也可以用大规模集成数字硬件实现，计算机软件可以理解为一个计算程序或者算法，将输入的数字时间序列信号转换为输出数字时间序列信号，并在转换过程中使信号按预定的形式变化。1.2滤波器用途数字滤波器是数字信号处理的一部分。数字信号处理主要是研究数字或符号的序列来表示信号波形，并用数字
11、的方式去处理这些序列，把它们改变成在某种有意义上更为有效的形式，以便估计信号的特征参量，或削弱信号中的多余分量和增强信号中的有用分量，具体来说凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、调制、解调、均衡、增强、压缩、固定、识别、产生等加工处理，都可以纳入数字信号处理领域。随着信息时代的到来，滤波器广泛用于语音信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理等现代电子设备和各类控制系统中，以只列举部分最成功的领域。1）语音处理语音处理是最早应用数字滤波器的领域之一，主要包括五方面：第一，语音信号分析。即对语音信号的波形特征、统计特性、模型参数等进行分析计算；第二，语音合成。即利用专用数字硬件或在通用计算机上运行
12、软件产生语音；第三，语音识别。即用专用硬件或计算机识别人讲话；第四，语音增强。即从噪音或干扰中提取被掩盖的语音信号；第五，语音编码。主要用于语音数据压缩，目前已建立语音编码的国际标准，大量用于通信和音频处理。2）图像处理数字滤波技术成功应用与静止图像和活动图像的恢复和增强、数据压缩、去噪音和干扰、图像识别以及层析X射线摄影，还成功的应用于雷达、声纳、超声波和红外信号的可见图像成像。3）通信在现在通信技术领域中，几乎没有一个分支不受到数字滤波技术的影响。信源编码、调制、多路复用、数据压缩以及自适应信道均衡等，都广泛的采用数字滤波器，特别是数字通信、网络通信、图像通信、多媒体通信等应用，通信技术发
13、展的未来方向是软件无线电技术，更是以滤波器技术为基础。4）电视数字电视取代模拟电视已是必然趋势，高清晰度电视、可视电话和会议电视产品不断更新换代。视频压缩和音频压缩技术促成电视领域产业的发展，而数字滤波器及其相关技术是视频压缩和音频压缩技术的基础。5）雷达雷达的信号占有的频谱非常宽，数据传输速率也很高，因而压缩数据量和降低数据传输速率是雷达信号数字处理面临的主要问题。现代雷达系统中，从信号的产生、滤波、加工到目标参数的估计和目标成像显示都离不开数字滤波技术。雷达信号的数字滤波器是当今十分活跃的研究领域之一。6）声纳声纳信号处理分为两大类，即有源声纳信号处理和无源声纳信号处理，有源声纳系统设计的
14、许多理论和技术与雷达系统相同，都要产生和发射脉冲式探测信号，信号处理任务主要是对微弱的目标回波进行检测和分析，从而达到对目标进行探测、定位、跟踪、导航、成像显示等目的，它们要应用到主要信号处理技术包括滤波、门限比较、谱估计等。7）生物医学信号处理数字滤波器在医学中的应用日益广泛，如对脑电图和心电图的分析、层析X射线摄影的计算机辅助分析、胎儿心音的自适应检测等。8）音乐 数字滤波器在音乐领域开辟了一个新局面，对音乐信号进行编辑、合成、以及在音乐中加入回响、合声等特殊效果方面，数字滤波技术都显示出了强大的威力。数字滤波器还可应用与作曲、录音和播放，或对旧录音的音质进行恢复等。1.3滤波器种类1.3
15、.1 滤波器分类1）从处理信号形式来讲：可分为模拟滤波器和数字滤波器模拟滤波器由电阻、电容、电感、运放等电气元件组成，对模拟信号进行滤波处理；数字滤波器则是通过软件或数字信号处理器件对离散化的数字信号进行滤波处理，随着数字信号处理理论的成熟、实现方法的不断改进，以及数字信号处理器件性能的不断提高，数字滤波器技术的应用也越来越广泛，并竞相成为广大技术人员研究的热点，综合起来，与模拟滤波器相比，数字滤波器的特点从表1-1简要列出：表1-1 模拟与数字滤波器性能比较Table1-1 The comparision of analog and digital filters in characteri
16、stic 模拟滤波器数字滤波器系统连续时间离散时间系统工作方式物理网络实现功能数字运算器件精度有限很高 信噪比存在电阻热等噪声采用合适结构，降低输入噪声，使信噪比更高 可靠性元件易随外界条件而变稳定可靠 处理能力不受频率等限制受采样频率限制 使用方式直接购买软件程序或者可编程器件自己搭建2）数字滤波器比较通用分类为：经典滤波器和现代滤波器a 经典滤波器是假定输入信号x(n)中的有效信号和噪声（或干扰）信号分布在不同的频带，当x(n)通过一个线性滤波系统后，可以将噪声信号成分有效减少或去除。如果有效信号和噪声信号的频带相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。经典滤波器主要有：低通滤波器（Low Pa
17、ss Filter，LPF）、高通滤波器（High Pass Filter，HPF）、带通滤波器（Band Pass Filter，BPF）、带阻滤波器（Band Stop Filter，BSF）、全通滤波器（All Pass Filter，APF）等。其Matlab仿真图中各滤波器如图1-1所示：（代码详见附录） 图1-1：经典滤波器幅频特性Fig1-1 The frequency-amplitude characteristics of the classic filterb 现代滤波器现代滤波理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信
18、号被估计出，那么估计出的信号比原信号有更高的信噪比。现代滤波把信号和噪声都视为随机信号，利用他们的统计特征（如自相关函数、功率谱函数等）推导出一套最佳的估算方法，然后用硬件或软件实现。现代滤波器主要是维纳滤波器（Wiener Filter）、卡尔曼滤波器（Kalman Filter）、线性预测器（Liner Predictor）、自适应滤波器（Adaptive Filter）等。一些专著将基于特征分解的频率估计及奇异值分解算法也归入现代滤波器的范畴。3) 从实现的网络结构或者单位脉冲响应来看，数字滤波器可以分为无限脉冲响应（Infinite Impulse Response，IIR）滤波器和有
19、限脉冲响应（Finite Impulse Response，FIR）滤波器，二者的根本区别是二者的系统函数结构不同，如下式 (1-1) (1-2)两种滤波器比较如下表所示：表1-2 FIR与IIR滤波器特性比较Table1-2 The comparision of FIR and IIR filter in characteristicsFIR滤波器IIR滤波器设计方法一般无解析的设计公式要借助计算机来完成利用AF的成果，可简单有效的完成设计设计结果可得到幅频特性和线性相位只能得到幅频特性，如需线性相位须用全通网络校准，但增加滤波器阶数和复杂性稳定性极点全部在原点，稳定性好有稳定性问题阶数高低
20、结构非递归系统递归系统运算误差一般无反馈，运算误差小有反馈1.3.2 FIR滤波器特性FIR滤波器实质上是一个分节的延迟线，把每一节的输出加权累加，便得到滤波器的输出。下面从其相位特性和幅度特性阐述FIR的优良特性： 1）相位特性首先从单位取样响应与线性相位之间的关系考察FIR滤波器的良好的线性特性。当FIR滤波器单位响应具有偶对称时： (1-3) 此时，单位取样响应有M+1个点不为零，其系统函数为 (1-4) 令k=M-n,代入上式， (1-5) (1-6) 滤波器频率响应为 (1-7)令 则 (1-8)显然，是实的、偶的，且为w的周期函数，其相位特性,具有严格的线特性，且系统群延时为 (1
21、-9)即系统的群延时为单位取样响应长度的一半。当FIR滤波器单位样值响应奇对称时: (1-10) (1-11)令k=M-n,代入上式， (1-12) (1-13) 滤波器频率响应为 (1-14)令 则 (1-15)可以看出是实的、奇的且为w的周期函数，其相位特性具有严格的线性特性，且系统群延时为 (1-16)即系统的群延时等于单位取样响应长度的一半。从上述分析可知无论FIR滤波器单位样值响应是偶对称还是奇对称的，系统均具有线性相位特性,是数字滤波器中常用的设计类型。1.4设计滤波器时的特征参数 图1-2滤波器的特征参数图Fig1-2 The characteristic parameters
22、of the filter在实际中，我们只能尽量设计一个可实现的滤波器，使设计的滤波器尽可能的逼近理想滤波器，如图1-2所示，通带截至频率为,通带容限为,阻带截止频率为,阻带容限为a2.通带定义：阻带定义：过渡带定义：通带和阻带衰减一般用dB来表示，通带内允许的最大衰减用表示，阻带内允许的最小衰减用表示，和分别定义为： (1-17) (1-18)1.5所用工具介绍MATLAB是MathWorks公司于1982年推出的一款功能强大、易于使用的高效数值计算和可视化软件，设计者的初衷是为解决“线性代数”的矩阵运算问题，取名MATLAB即MatrixLaboratory（矩阵实验室）的意思，它为进行算
23、法开发、数据计算与可视化、信号分析与图形显示提供了交互式应用开发环境。MATLAB是MathWorks产品家族中所有产品的基础，它包括了基本数学计算、编程环境（M语言）、数据可视化、GUIDE等。附加的大量支持建模、分析、计算应用的工具箱扩展了MATLAB基本环境用于解决特定领域的工程问题，如MATLAB已广泛应用于数字信号处理、自动控制、动态仿真、小波分析、神经网络等领域。MATLAB提供了基本的数学计算，例如矩阵运算、符号运算、集成了2D和3D图形功能，已完成相应数值可视化的工作，并且提供了一种交互式高级编程语言M语言，利用M语言可以通过编写脚本或者函数文件实现用户自己的算法。在MATLA
24、B中的Compiler是一种编译工具，它能够将那些利用MATLAB提供的编程语言M语言编写的函数文件编译生成函数库、可执行组件。这样就可以扩展MATLAB功能，使MATLAB能够同其他高级编程语言例如C、C+语言进行混合应用，取长补短，以提高程序的运行效率，丰富程序开发的手段。利用M语言还开发了相应的MATLAB专业工具箱函数供用户直接使用。这些工具箱应用的算法是开放的、可扩展，用户不仅可以查看其中的算法，而且可以针对一些算法进行修改，甚至允许开发自己的算法扩充工具箱的功能。目前MATLAB工具箱有四十多个，分别涵盖了数据采集、科学计算、控制系统设计与分析，数字信号处理、数字图像处理、金融财务
25、分析以及生物遗传工程等专业领域。Simulink是基于MATLAB的动态仿真设计环境，可用来对各种动态系统进行建模、分析和仿真，它的建模范围广泛，可以针对任何能够用数学来描述的系统进行建模，例如航空航天动力学系统、卫星控制指导系统、通信系统等，其中包括连离散、条件执行、事件驱动、单速率、多速率和混杂系统等，Simulink提供了利用鼠标拖放的方法建立系统框图模型的图形界面，而且它还提供了丰富的功能模块以及不同的专业模块集合，利用Simulink几乎可以做到不用书写一行代码完成整个动态系统建模工作。MATLAB R2007a提供给用户的专业应用工具箱包括以下几个方面：1) 数学建模与分析2) 信
26、号处理3) 自动控制4) 通信系统建模与仿真5) 财经金融建模与分析6) 图像处理与地理信息7) MATLAB桌面应用程序开发2 多速率信号和采样率转换2.1多速率信号概述多速率信号处理，是指对同时存在两个以上的数据速率的系统进行处理。利用多速率技术可以减少在信号存储、传送、处理过程中的运算量。前面所介绍的滤波器都把采样率fs视为固定值，针对单一数据速率进行处理的系统，即在一个数字系统中只有一个采样率。但在实际系统中，有时需要不同的抽样率，会遇到采样率的转换问题，即要求一个数字系统能工作在“多采样率”状态，以适应不同系统之间的级联，利于信号的处理、传输和节省计算工作量。多速率信号处理过程中的一
27、个基本操作在于数据速率的转换。在满足抽样定理的前提下，数据速率的转换有两种途径：一种是将某一抽样率得到的数字信号经数/模转换器转换成模拟信号，而后将模数转换器用另一个抽样率得到；另一种方式是利用数字信号处理的方法直接完成抽样率的转换。显然后者更加直接、方便、灵活。速率转换的基本方法是抽取及插值操作，使抽样率降低的转换称为抽取，使抽样率升高的转换器称为内插。目的是改变原有数字信号的频率，但是无论是内插还是抽取操作，信号处理的前提条件是保证有用信号频带内没有频谱混叠，这一目的只有通过各种形式的滤波器来实现。多速率信号滤波器本质上线性相位的FIR滤波器，常用的多速率滤波器有：多速率FIR滤波器、积分
28、梳妆（Cascaded Integrator Comb，CIC）滤波器和半带（Half Band，HB）滤波器。目前已在软件无线电和3G等无线通信技术中取得广泛应用。2.2插值和抽取2.2.1抽取（Decimation）图2-1抽取概念示意图Fig2-1 The concept diagram of decimation抽取：降低采样率以去掉多余数据的过程。其抽取概念示意图如2-1所示，当数据量大时，把抽样数据每隔D-1个取一个，称为整数倍抽取，D成为抽取因子。通常用符号 D表示将抽样率降为原来的1/D。设x(n1,T1)是连续信号xa(t)的采样序列，采样率F1=1/T1(Hz)，T1称为采
29、样间隔，单位为s。即x(n1T1)=xa(n1T1)且T2=DT1。为了形象的说明抽取的过程下面用图形的方法描述抽取系统框图和各节点信号的频谱情况，如图2-2、2-3所示： 图2-2抽取系统框图Fig2-2 The system block diagram of decimation图2-3信号在抽取前后的时域和频域示意图Fig2-3 The schematic before and after extraction in time domain and frequency domain signal 2.2.2插值（Interpolation）插值：提高采样率以增加数据的过程。其插值的概念示
30、意图2-4所示，图2-4插值的概念示意图Fig2-4 The concept diagram of interpolation整数倍内插与抽取的过程是一样的，只需根据内插倍数在相邻两个抽样点之间插入相应的零值即可，其中T1=IT2后再提高了数据采样频率的同时，其频谱的周期增加量了I倍。图2-4可以看出，一般信号处理是需要把外界模拟量离散化，然后再进行整数倍插值，提高信号采样率。下面用图2-5、2-6形象的表明在一个系统中内插的结构框图和各节点信号的频谱变化来说明。图2-5零值内插示意图Fig2-5 A value of zero interpolation in schematic输入信号x(
31、n1T1)离散化后经过内插模块，使周期内抽样值增加整数I倍，这是信号波形不变，傅里叶变换后频谱和周期增加I倍，这就会造成单个周期以外的混淆频率，信号频率之间的变化通过图2-6的(c)和(d)说明，通过低通滤波器滤除这些混淆频率后，就可以得到插值之后周期为I倍的信号，通过图2-6的(a)和(d)说明。图2-6插值信号和相应频谱图Fig2-6 The interpolating signals and the corresponding spectrum2.3插值滤波器2.3.1插值滤波器简介插值滤波器是一种结构相对较为简单、整齐划一、占用存储量小的滤波器，广泛应用于数字示波器、数字通信和全数字收
32、发机中。它不需要乘法器，因此占用硬件资源较少、实现简单且速度较高，是高分解速率滤波器的一种非常有效的结构，在高速抽取或插值系统中是非常有效的单元。在插值滤波器的具体实现中，人们大多使用DSP来实现，但由于DSP具有串行执行指令的特点，使得其在高速信号处理中无法满足设计需要。而高性能大规模可编程逻辑器件的出现，使得在FPGA中用软件实现插值滤波器成为可能，而且FPGA芯片内部的资源相当丰富，并行的处理速度较快，并具有极大的灵活性，为滤波器的设计提供了很好的条件。2.3.2插值滤波器的原理在数学上从一个给定的信号采样率f0=1/T，转换到另一个不同的采样率f的过程叫做采样率转换，当f f0或者T0
33、T时，这个过程被称为插值。在插值的过程中，我们是从一个减少了的样本集中建立原先过程中的样本，在数字信号处理中，通常使用的方法是将L-1个零插入到原先的样本中，进过FIR滤波器插值后，将这些样本通过一个低通滤波器，以此使采样率增加L整数倍。使用这种方法来提高采样信号的采样率，必须注意该采样频率需要满足奈奎斯特采样率。整数倍插值是在已知的相邻的两个原采样点之间等间隔插入L-1个新的采样值，对已知的采样序列x(n1T1)进行D/A转移，得到原来的模拟信号xa(t)，然后再对xa(t)进行较高采样率的采样得到y(n2T2)，这里T1= LT2，其中L为大于1的整数，称为插值因子。插零算法则是在采样点之
34、间插入L-1个0值点，然后进行低通滤波器，即可获得L倍内插的结果。其大致流程如下：h(n2T2)y(n2T2)v(n2T2) L图中 L表示在相邻样点之间插入L-1个0值采样，成为零值插值器。、y(n2T2)的傅里叶变换为：,二者均为周期函数，将二者都用模拟频率表示，则，周期为1=， (2-1)，周期为2=L1 (2-2) (2-3)的傅里叶变换为： (2-4) 当在0变化时，范围内变化，因此上式表明的频谱以为中心对x(n)的频谱进行周期重复，重复周期为。利用截至频率在的理想低通滤波器对进行滤波，以消除那些重复的频频谱分量，所以，要求从滤波器h(n2T2)的理想低通幅频特性如图2-7所示：图2
35、-7理想低通h(n2T2)的幅频特性Fig2-7 The Amplitude - Frequency Characteristic of the ideal low-pass h(n2T2)将理想镜像滤波器的阻带截止频率换算成数字频率为： (2-5)所以理想情况下，镜像滤波器h(n2T2)的频率响应特性为： (2-6)因此输出频谱为： (2-7)由于当序列x(n)是从模拟信号x(t)经理想采样获得时，有： (2-8)为了使在范围内能够完全等于，必须满足： (2-9)比较前两式应有C=L，即表明滤波器的增益等于插值比L。插值器后输入输出关系： (2-10)频域输入输出关系： (2-11) )H(
36、z) (2-12)设计插值滤波器的关键问题是插值后其低通滤波器性能的确定，下面简述低通滤波器的分析。根据以上分析，对于采样率的增加，在新的信号y(n2T2)的频普中不仅包含了的基带频谱，还包含了这个频谱的的周期重复，必须采用低通滤波器h(n2T2)来滤除这些重复镜像，保证输出信号中仅包含原来信号的基带频普，同时还需保证输出信号的幅度不发生变化，因此滤波器的增益应该等于插值比L，于是得到低通滤波器的传输函数为： (2-13)其中为相对于新的采样率f2=Lf1的归一化数字频率，利用序列反傅里叶变换可以得到时域响应为： (2-14)通过以上的数学推导，得出了插值滤波器的基本机构，即插零模块和低通滤波
37、器，并且得到了低通滤波器的时域和频域的响应。2.3.3插值滤波器的几种基本结构1）FIR线性相位滤波器。最常用的是插值低通滤波器，FIR插值滤波器结构如图2-8直接型结构，滤波器h(n)工作在=,其经过等效可以得到图2-9的改进结构，这时与系数h(0)到h(N-1)有关的乘法和加法以速率进行，因此总的运算量降低了L倍。图2-8 FIR内插系统的直接实现Fig 2-8 The direct realization of FIR interpolation system图2-9 FIR内插系统的等效结构Fig 2-9 The equivalent architecture of FIR inter
38、polation system 2）FIR多相插值滤波器插值滤波器输出： (2-15)取r=-n，“”表示小于或等于括号内的整数，有 (2-16) 取对所有的m和n值，其是一个周期为L的周期时变滤波器，系数与x（r-n）相乘分别产生输出Y（rL）、Y（rL+1）、Y（rL+2）Y（rL+L-1）故多相滤波器为 ,p=0,1,.L-1多相滤波器第p个支路的输出产生，因此对每个输入x(n)，多相网络L个分支的每一个分支提供一个非零输出，由此推导出的FIR多相插值滤波器结构如图所属，对应反时针转换器模型如图(b)所示，在图(b)中，转换器反时针旋转，在m=0时刻从p=0开始，当每个多相滤波器在n=m
39、L时收到一个新的输入时，多相滤波器进行处理求和得到Y(m)的L个输出信号。多相插值滤波器结构把插值滤波器直接式结构对存储量的要求分配给多相滤波器，多相滤波器可以将多相滤波器各自的抽头与其他多相滤波器对应的抽头的部分积，在存入移位寄存器之前求和，共享各个滤波器中的累加器和移位寄存器，从而可以使存储量的要求减少L倍，并且总的运算量也减少了L倍。3）多级插值滤波器多级插值的优点是：可显著降低运算量和存储量。运算量降低的原因是hi(n)的阶数N与过渡带成反比，对多级FIR插值滤波器的后级来说，虽说取样率大，但过渡带也很大，对应的N相对较小；前级的过渡带很小，但此时取样滤也很小，所以每一级以及总的运算量
40、都减小了；允许每级归一化的过渡带比较宽，简化了多级插值滤波器的设计和抽头系数；实现的数字滤波器可减少舍入噪声和系数灵敏度即有限字长效应。如下图2-10所示：将L分解成整数的乘积 ，I待定，可以将图(a)所示的插值滤波器的结构分解为图(b)的结构，并进一步表示为图(c)所示的由一个独立插值级表示的结构。图(d、e、f)给出了两级插值滤波器的例子，其中(d)是第一级插值滤波器的幅频特性曲线，图(e)是第二级插值滤波器的幅频特性曲线，(f)是插值滤波器输出的信号的频谱。为了补偿多级时通带纹波随级数而增大，多级插值滤波器第i级纹波系数需改成使设计出的复合滤波器的通带纹波指标得以满足。多级插值滤波器的每
41、一级的阻带衰减不用改变。在上述给定的参数下，多级插值滤波器的每一级的抽头系数N可以采用最优化方法设计出。 图2-10多级插值滤波结构Fig2-10 Structure of multi-level interpolation filter多级插值滤波器的参数Li和总级数I需要优化，优化应使多级插值滤波器的运算量和存储量最小，优化的具体过程是1对I的每一个值I=1，2，找到最优的Li值，然后选定I值以获得最好的结果。分析结果表明插值特性如下：（1）总级数I从1增加到2时，可获得最大程度的运算量的减少，I从2增加到3或4时，改善的程度不明显；（2）总级数I从1增加到2时，存储量明显降低，I从2增加
42、到3或4时，对大的L值，存储量仍有明显降低；（3）I级最小化的插值因子遵循如下的关系：L1L2Li（4）I级最小化设计中，每级所需的运算量和存储量对Li的变化不敏感，因此可用最近的整数代替Li（i=1，2，I）。综合以上考虑，几级插值滤波器的结构减少了对存储器和计算速度的要求，进一步的分析表明分两级和三级插值可以在最大程度上降低计算速度，四级以上的插值，其改善的程度并不明显。所以本次设计插值滤波器考虑采用3级插值结构。2.4小结本章从多速率信号入手，引入采样率转换的问题，介绍了采样率转化的两种方法，即一种经过数模转换器抽样得到，一种利用数字信号直接转换又包括插值和抽取。抽取是降低信号采样率的一
43、个过程，用图形形象的表示了抽取各个过程的信号图，插值是升高采样率的过程，同样也用图形形象的表示了插值各个过程的信号图，然后章节又着重介绍了插值滤波器的定义和用途，用数学公式原理的推导出插值原理，用理论依据给出证明了图形中信号图示的缘由。在阐述了插值滤波器各个基本知识点后，最后又介绍了插值滤波器的几种基本结构为下文设计仿真模型作铺垫，插值滤波器包括多级结构、线性相位插值滤波器、多相插值滤波器，本章详细阐述了各个结构的优缺点和原理，然后对比分析在设计64倍的插值因子下系统采用哪种结构更加有利，鉴于多级插值滤波器节省硬件资源和降低运算量等突出优点下，本次设计采用FIR形式的多级滤波器来完成。3系统设计及实现3.1滤波器的整体设计思路3.1.1滤波器设计方法通常在设计滤波器之前，应该先根据具体的工程应用确定滤波器的技术指标。在大多数实际应用中，数字滤波器常常被用来实现选频操作，其指标的形式一般为在频域中以分贝值给出的相对幅度响应和相位响应。插值操作本身实现起来很简单，因此关键的问题是在于怎么实现满足要求的低通滤波器。对已经设计的滤波器的频率响应还要进行校对，以得到所要求幅频相频响应特性的数字滤波器，还有类型和阶数并
