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1、 中图分类号：O151.2 本 科 生 毕 业 论 文（或设计）（申请学士学位）论文题目 幂零矩阵的性质与应用 作者姓名 所学专业名称 数学与应用数学 指导教师 2010年4月30日学 号：5060352044论文答辩日期：2010年6月5日指 导 教 师： （签字）滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 2010年5月30日目 录摘要1Abstract11 引言22 预备
2、知识22.1 概念22.1 引理33 幂零矩阵的性质43.1 幂零矩阵的特性43.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件63.3 幂零矩阵和若尔当块73.4 幂零矩阵的其他性质84 幂零矩阵的应用124.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用124.1.1 可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆124.1.2 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆134.2 幂零矩阵在其他方面的应用14结论16参考文献16致谢18幂零矩阵的性质与应用摘要：在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖
3、掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值；迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstract: Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of mat
4、rix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent
5、matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words: Nilpotent matrix; Linear transformation; Inverse matrix; Jordan canonical form; Character
6、istic; Trace.1 引言随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、微分方程、力学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学的领域，矩阵理论也有着十分重要的作用。幂零矩阵在这些领域中也发挥着重要的作用，自20世纪60年代以来，许多学者探讨了一些幂零矩阵的性质，获得了许多重要的研究成果。1964年Give证明了n阶矩阵A是幂零矩阵的充要条件是，近年来幂零矩阵得到了进一步发展。在我们学到矩阵的乘法运算时曾给出了幂零矩阵的定义，但对它的介绍甚少，因此我们将加强这方面
7、的研究与总结。本文将归纳总结幂零矩阵的一些性质，有其自身所特有的特征，它和线性变换、若尔当标准形等方面的联系，还有其性质的具体应用，在后面的应用中我们提到了一些特殊矩阵的求逆，这体现了幂零矩阵的优越性。邹本强，韩道兰，罗雁，黄宗文，谷国梁等在文献1-4中给出了幂零矩阵的一些性质，并证明了幂零矩阵的性质；姜海勤还在文献3中给出了对于一些特殊矩阵利用幂零矩阵的性质来简化矩阵求逆的计算，还有用幂零矩阵的特性求特殊矩阵的高次幂。胡秀玲，张秀福在文献5中证明了对于维线性空间 ,必存在的一组基使得由的幂零线性变换生成的幂零代数中任意元素在该基下的矩阵均为严格上三角矩阵。王兆飞在文献6中利用幂零线性变换的概
8、念，在一般数域上讨论了幂零线性变换一定存在一组基使其在这组基下的矩阵是若当形矩阵，从而给出幂零矩阵的若当标准形。吴险峰在文献7中利用幂零矩阵的特征值、特征多项式、相似性等性质，给出构建幂零矩阵的几种方法。李殿龙，隋思涟在文献8中证明了一般域上的2-幂零矩阵存在Jordan 标准型，并给出其明确表示；同时也证明了两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。杨浩波在文献10中探讨数域 上 矩阵与幂零矩阵的运算联系，还证得每个奇异方阵可写成一个幂零方阵和两个幂零方阵的积之和。2 预备知识2.1 概念定义1.设为阶方阵，若存在正整数，使，则称为幂零矩阵。定义2.设为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂
9、零指数，并称是次幂零矩阵。显然，阶零矩阵是特殊的幂零矩阵，其幂零指数为1。定义3.设，称为的转置，称为的伴随矩阵，其中为中元素的代数余子式。定义4.阶矩阵，称为的迹，记为。显然，的全体特征值的和等于。定义5. 形为的矩阵称为若当块，其中为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。定义6.称为矩阵的特征多项式。满足的的值称为矩阵的特征值。2.1 引理引理1.设，为阶方阵，则。引理2.相似矩阵具有相同的特征值。引理3.（哈密尔顿凯莱定理）设是阶方阵，是的特征多项式，则有。引理4.设为阶矩阵的特征值，则有，且对任意的多项式有的特征值为。引理5.每一个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩
10、阵除去若当块的排序外被矩阵唯一决定的，它称为的若当标准形。引理6.若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。引理7.阶若当块的最小多项式为且有。引理8.,为阶复数域上的矩阵，若，则存在可逆矩阵，使得 ，3 幂零矩阵的性质3.1 幂零矩阵的特性幂零矩阵作为一种特殊的矩阵，自身具有一些特殊的性质。性质1.幂零矩阵的行列式值为零，且所有的幂零矩阵都不可逆。证明：设是任一阶幂零矩阵， 使得，由行列式的性质得，是退化的，不可逆。性质2.若为幂零矩阵，则都为幂零矩阵。证明：因为为幂零矩阵， 使得，由引理1知 所以为幂零矩阵。因为为幂零矩阵，所以，知的秩只能为或。当时，是幂零矩阵；当时，有。由的特征值全为零
11、，存在可逆阵，使， 由，知，显然的特征值全为零，所以是幂零矩阵。又所以是幂零矩阵；因为所以也为幂零矩阵。性质3.幂零矩阵的相似阵是幂零矩阵。证明:令是幂零矩阵， 使得，令是的相似矩阵，则存在可逆阵，使得，有即也是幂零矩阵。性质4.设为阶幂零矩阵，若，则，为幂零矩阵。证明:为阶幂零矩阵，令分别为它们的幂零指数,取。由，有当时，从而，得到当时，显然有，得到所以，即+是幂零矩阵。取，因为 ，有即也是幂零矩阵。性质5.数域F上的所有指数为的幂零矩阵彼此相似。证明：设是数域F上的幂零矩阵，其指数是-，则。当时，,所以的最小多项式是。故而，特征矩阵的不变因子为，由的任意性得知，所有指数为的幂零矩阵的特征矩
12、阵的不变因子是一致的，即数域F上的所有指数为的幂零矩阵彼此相似。3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件性质6.为幂零矩阵的充分必要条件是的特征值全为。证明：（必要性）为幂零矩阵， 存在 使得，设为的任一特征值，则存在维列向量，有即 由，所以。又由 知，得，即的特征值为。（充分性）由的特征值全为知，的特征多项式为，由引理3得， 所以为幂零矩阵。性质7.为幂零矩阵的充分必要条件是对于任何正整数，迹。证明：（必要性）由是幂零矩阵知，的特征值全为。从而对于任何正整数，的特征值也全为，有（充分性）令的特征值为，则的特征值为，则假设有不为的特征值，设为其中的互异的特征值，为相应的重数，有，；将上式视为关
13、于变量的其次线性方程组，由于知，与假设矛盾，故的特征值全为，即为幂零矩阵。3.3 幂零矩阵和若尔当块性质8.阶幂零矩阵的幂零指数小于等于且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数。证明：令为阶幂零矩阵，由引理5知，存在可逆矩阵 ，使得其中阶数为且 取，则且有 即。若令为的幂零指数，则 。若，则 且，由式，得这与矛盾。 故 。 性质9.若为幂零矩阵，则的若当标准形的若当块为幂零若当块，且和主对角线上的元素为。证明：为幂零矩阵，由性质6，知的特征值全为。由引理5知，在复数域上，存在可逆矩阵，使得其中阶数为，由引理6知，为和特征值，又与相似，由引理2知与有相同的特征值，所以。即的主对角线上的
14、元素全为由引理7知 为幂零矩阵。3.4 幂零矩阵的其他性质性质10.相似于对角形矩阵的幂零矩阵是零矩阵。证明：令是幂零矩阵、是对角形矩阵， 使得，设与相似，令 得 则存在逆矩阵，使，有性质3知， 所以故 得知由性质6可推出 ：对角形的幂零矩阵为零矩阵。性质11.设为非零的幂零矩阵，且是的幂零指数，则线性无关。证明：反证法 假设线性相关，则存在一组不全为零的数， 使，两边同时右乘，得，而 得知；两边同时右乘，得而，得知；依次下去可得，与假设矛盾。所以线性无关。性质12.若为幂零矩阵，则非退化。证明：令为的特征值.若退化，则有.由引理4得,至少存在为的特征值,又由引理4得, 为的一特征值。这与为幂
15、零矩阵矛盾。 即为非退化。性质13.若为幂零矩阵且，则不可对角化。证明：为幂零矩阵，存在使得且的特征值全为，为的特征多项式且。令为的最小多项式，则有, 从而有。由于，所以又此时。即的最小多项式有重根，所以不可对角化。 因为为阶方阵，由引理5，知在复数域上，存在可逆矩阵，使得其中，阶数为.令，阶数为.则有阶数为。 由引理7知,即为幂零矩阵。令 ，即 又为对角阵，由式知可对角化。令 且取 ，则有即有可对角化且为幂零矩阵。性质14.若为幂零矩阵且，则有证明：因为，所以 即又即 对任意，有 即有 。性质15.若为幂零矩阵，则一定不可逆但有。证明：因为为幂零矩阵，所以存在使得，从而，一定不可逆。由性质6
16、知，的特征值为。由引理4知，的特征值分别为，且有即。4 幂零矩阵的应用 4.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用4.1.1 可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆例1.设，求。解： 其中 且有 由性质14知， 例2.设，求 。解： 其中，且.由性质14知，4.1.2 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆例3.设 ，求。解：令，其中 由性质14得 例 4.设，求。解： 其中 有，由性质14得 4.2 幂零矩阵在其他方面的应用例 5.若，但，证明与相似。证明：设V是数域F上的维线性空间，是V的一组基，有线性变换，使在下的矩阵为.由， ，知，有，使，但，可得到线性无关，可作为V的一组基。易知，在下的矩阵是所以
17、与相似。同理可证，与相似。可得与相似。例 6.设为阶方阵，为幂零矩阵，且，则有。证明：由是幂零矩阵知，的特征值为.在复数域上，存在可逆矩阵，使得，又因为可逆知， 由知为的特征值，有，故例7.设为阶方阵，其中可对角化，为幂零矩阵，且，证明。 证明：由性质9知, 存在幂零矩阵，使得可对角化， 即存在可逆，使得 即有。由性质2知, 是幂零矩阵。 又与相似知，可对角化。 令，则有 。例 8.设，C为阶方阵，且，证明：存在正整数，使得。证明：由 于，由为幂零矩阵知，且。结论：本文的研究是建立在矩阵理论基础之上的，在本文第一章，我们首先介绍了幂零矩阵的一些知识，对幂零矩阵有了一个基本了解。在第二章，介绍了
18、下文要用到的一些基础知识，其中包括幂零矩阵的定义和一些与幂零矩阵有关的概念，还有要用到的一些性质和定理，我们将这些性质和定理命名为引理，以便下文引用。在第三章，重点列举和证明了幂零矩阵的一些性质，如幂零矩阵作为一类特殊的矩阵，自身所具有的一些特殊的性质；矩阵是幂零矩阵的充分必要条件说明了什么样的矩阵是幂零矩阵，如何判断一个矩阵是幂零矩阵；同时，还介绍了幂零矩阵和若尔当块的关系，把若尔当块的理论应用的幂零矩阵中；一个幂零矩阵就是一个幂零线性变换，还有一些其他性质。当介绍完幂零矩阵的性质理论之后，我们必然要介绍一下这些理论的应用，例如在矩阵求逆中的应用等，这些应用体现了幂零矩阵在一些应用领域的优越
19、性。尽管如此，本文所介绍的幂零矩阵的性质和应用是非常有限的，幂零矩阵还有很多性质等待我们去发现。参考文献1邹本强.幂零矩阵的性质J.威海职业学院学报,2007,(12):150-155.2韩道兰,罗雁,黄宗文.幂零矩阵的性质及其应用J.玉林师范学院学报,2003,(4):1-3.3姜海勤.幂零矩阵性质的一个应用J.泰州职业技术学院学报,2004,4(1):54-57.4谷国梁.关于幂零矩阵性质的探讨J.铜陵学院学报,2001,(4):49-63.5胡秀玲,张秀福.幂零矩阵和幂零线性变换J.徐州师范大学学报(自然科学版),2006,24(4): 17-18.6王兆飞.幂零矩阵的标准型J.河北北方
20、学院学报，2008,24(1):4-7.7吴险峰.n阶幂零矩阵的判别及构建J.齐齐哈尔大学学报,2007,23(4):72-75.8李殿龙,隋思涟.2-幂零矩阵的Jordan标准型J.青岛建筑工程学院学报,2001,22(3):83-86.9周惊雷,李庆国.一类幂零矩阵幂零指标的特征J.湖南大学数学与计量经济学院,模糊系统与数学,2008,22(5):1-4.10杨浩波,矩阵的幂零分解J.杭州师范大学学报(自然科学版),2009,8(5):34-337.11钱椿林.线性代数M.北京：高等教育出版社.2004.12陈国利.高等代数选讲M.北京:中国矿业大学出版社.2005.13薛有才，林春燕.高
21、等代数研讨M.知识出版社.1996.14王萼芳,石生明.高等代数M.北京:高等教育出版社.2003.15方保镕,周继东,李医民.矩阵论M.北京：清华大学出版社.2004.16张远达.线性代数原理M.上海：上海教育出版社.1997:140.17王正文.高等代数分析与研究M.济南：山东大学出版社.1994.18刘云英.高等代数习作课讲义M.北京：北京师范大学出版社.1987.19Zhou Qi，Wang Dengyin.Uing normal form of anti-sym matrices over finite fields to construct cartesian authentica
22、tion codesJ.Journal of Mathematical Study, 2004,37 (1): 42-47 .20Ballantine C S.Products of idempotent matricesM.Linear Algebra Appl,1987,19:81-86.致谢在本论文完成过程中，首先要非常感谢我的论文指导老师王圣祥老师，王圣祥老师对该论文从选题，构思到最后定稿的各个环节都给予了细心指引与教导,使我得以最终完成毕业论文设计。同时，在我不会的问题方面给予了很多帮助，并且反复为我修改。在学习中,老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度以及侮人不倦的师者风范是我终生学习的楷模，导师的高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神，将永远激励着我。这四年中还得到众多老师的关心支持和帮助。在此，谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意！最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师和专家表示感谢！
