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1、 长春师范学院本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 对称性在积分计算中的应用 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 副教授 年 月长春师范学院本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.论文作者签名： 日期：2011年 5 月 日长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成.如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.指导教师签名： 日期：
2、年 月 日目 录承诺保证书 I1 对称性在定积分中的应用11.1 对称性在定积分应用中的重要结论 11.2 对称性在定积分中的应用举例 32 对称性在重积分中的应用52.1 对称性在重积分应用中的重要结论 52.2 对称性在重积分中的应用举 83 对称性在线积分中的应用 103.1 对称性在线积分应用中的重要结论103.2 对称性在线积分中的应用举例124 对称性在面积分中的应用 134.1 对称性在面积分应用中的重要结论134.2 对称性在面积分中的应用举例145 利用对称性构造积分 165.1 对称性在积分应用中的其他重要结论165.2 利用对称性构造积分的应用举例16参考文献19英文摘要
3、20对称性在积分计算中的应用张畅 摘要：本文归纳了对称性在积分计算中的一些重要结论，利用这些结论，使较复杂的计算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用. 关键词：奇偶函数 积分 对称性 对称性是指某一事物对象的两个部分的对等性.特别地,对于一元函数(其中为关于原点对称的数集,即当时,有),当时,称为奇函数;当时,称为偶函数.将上述定义进行推广:对于二元函数,(其中为关于原点对称的数集,即当时，有)，当时，称为奇函数;当时，称为偶函数.奇偶函数的对称性(即本文所应用的)是对称性中的特例.它在积分的计算中很常见.如果能利用对称性就可以化简很多复杂的积分计算问题，有些题甚至可以直接得出结果.因此掌握
4、用对称性计算积分的方法是大有益处的.本文讨论了对称性在定积分、重积分、面积分及线积分计算中的应用.（以下都在积分存在的条件下予以讨论，有关函数均满足通常条件）1 对称性在定积分中的应用1.1对称性在定积分应用中的重要结论 在定积分的计算中经常用到如下的对称性定理： 引理 设函数在上连续，则有 （1） 证 令，有 （2）令，则 （3）将（3）式代入（2）式，并将积分变量统一成,则 特别地，令，就得公式 由函数奇偶性的定义及上式，易得定理1 设函数在连续，那么1)若是偶函数，则2)若是奇函数，则我们也可以把定理1推广到更一般的情况.定理2 设函数连续， 1)若的图形关于直线对称，即，则对一切,有2
5、)若的图形关于点对称，即，则对一切，有证 1)由（1）式及已知条件，有2)由（1）式及已知条件，有此结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大帮助.1.2 对称性在定积分中的应用举例 例1 求 解 虽然被积函数非奇即偶，但可以把它分成两部分和,前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，可用定理1的结论简化其计算.而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间上求解. 这样的例子很多,应用定积分的性质进行拆项后,达到简化计算的目的. 例2 设为任意不超过三次的多项式，证明在区间上的平均值. 证 （i）先证时的特殊情况，取，在上的平均值为 而 所以 (ii)再考察在任意区间上的平均值设
6、，这时，于是 例3 求解 因为及都关于对称，且关于点中心对称.所以关于点中心对称，又区间关于对称，故定理2有于是 利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.2 对称性在重积分中的应用2.1 对称性在重积分应用中的重要结论定理3 (1)若为关于的偶函数，即对（是关于轴对称的区域）,有，则其中 (2) 若为关于的奇函数，即对（是关于原点对称的区域）有则证 记则 (4) 令 ，则可得其中 ，由式得则由式得此时易得定理3的结论.由定理3易知：若为区域上的连续函数，且区域关于轴对称，为关于的奇函数或偶函数有类似的结论.推论 设为区域上的连续函数，且
7、区域关于轴和轴均对称.若为关于及的偶函数，即对有，则其中 若为关于及的奇函数，即对有或，则定理4 设为区域上的连续函数，且区域关于原点对称.(1) 若对，有，则其中 . 若对，有，则定理5 设为区域上的连续函数，且区域关于直线对称.若对，有，则其中 .若对，有，则以下通过几个例题来说明利用上述定理可大大简化重积分的计算.2.2 对称性在重积分中的应用举例 例5 计算二重积分，其中是由，所围成的区域. 解 积分区域关于轴对称（见图1），且为关于的奇函数，故xx11-1o图1y 例6 设是平面上由，为所围成的三角形区域（如图2），是在第一象限的部分，则等于.xyABCO1-11图2 解 作辅助线O
8、B,如图2所示，因为 而区域BOC关于轴对称，且为关于的奇函数，所以又而区域AOB关于轴对称，为关于的奇函数，故，为关于的偶函数，故. 通过做辅助线构造出积分的对称区域,而后解题,这种方法对于给出函数图像求解积分的问题很有用处.3 对称性在曲线积分中的应用3.1 对称性在曲线积分应用中的重要结论 定理6 设为定义在光滑曲线上的函数，且关于原点对称，若，则若，则（或）其中和是关于原点对称的两部分.证 由于关于原点对称，所以设 ，则，于是 所以，当时，有当时，有定理7 设在光滑或分段的平面曲线上可积，关于直线对称，若为关于直线对称的奇函数，则有若为关于直线对称的偶函数，则有其中为在直线一侧的部分.
9、定理8 设光滑或分段的空间曲线关于坐标平面对称,为曲线上的连续函数，若为关于相应坐标平面的奇函数，则若为关于相应坐标平面的偶函数，则其中为在坐标平面一侧的部分.3.2 对称性在曲线积分中的应用举例例7 设为椭圆，其周长记为，计算解 因为关于轴对称，故所以，把椭圆方程代入被积函数.例8 计算，其中曲线为，取逆时针方向.22-2-2xOy图3解 因为，其中第一个积分，曲线关于轴对称，且走向相反，被积函数是的偶函数，第二个积分，曲线关于轴对称，且走向相反，被积函数是的偶函数.所以有：. 如图所示,通过观察可以发现函数图像的对称区域,于是对积分进行分段计算.4 对称性在曲面积分中的应用4.1 对称性在
10、曲面积分中应用的重要结论定理9 设分片光滑的曲面关于面对称，则证 设，为关于面对称的曲面，：，、在平面上的投影为，是上的单值函数，所以则 若是的奇函数，即,有 2)若是的偶函数，即,有 定理10 设分片光滑的闭曲面关于面对称，取外侧，则 证 设，：取前侧，取后侧,、在平面上的投影是，则 则若是的奇函数，即,有若是的偶函数，即有以上结论对，同样成立，将外侧改为内侧依然成立.4.2 对称性在曲面积分中的应用举例例9 计算，为锥面被曲面所截下的部分（如图4）. 解 如图4，曲面关于面对称，而被积函数中与都是的奇函数，根据定理9知：又，所以原式 xyoz图4例10 计算，其中为上半球面.解 由于关于坐
11、标面和均对称，而和分别关于变量和是奇函数，所以又在坐标面上的投影为且所以原式. 分析例题找出对称关系,观察后得出部分积分为0，这样,不仅简化了计算而且节省了时间. 例11 计算积分，其中的外侧. 解 因为关于面对称，关于面对称，所以 原式 .利用积分区域对称的特点,大大简化了计算.5 利用对称性构造积分5.1 对称性在积分应用中的其他重要结论 定理11 设在区间上可积，则有将上述定理进一步推广可得：定理12 若存在，则有5.2 利用对称性构造积分的应用举例例12 计算. 解 由于是以为对称轴的奇对称函数且点-5，-1关于点-3的对称，作变换，把积分变成对称区间上的奇、偶函数的积分.即作变换把对
12、称平移到点，故令，则 .例13 计算. 解 令有 即 所以 . 此题按步骤计算会非常麻烦，但利用对称性把原积分重新构造后，计算由繁变简.由此可见，上述关于积分(定积分、重积分、线积分、面积分)对称性的定理对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多的干扰，所以在解题中注意积分区域是否具有某种对称性是简化题目的关键.如果对称性不明显的，有时也可以通过一定的方法，根据问题的特点构造对称性，则可减少一些繁琐的计算，提高解题效率，往往能收到事半功倍的效果.参考文献：1 华东师范大学.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001.2 同济大学数学教研室.高等数学M.北京: 高等教育出版社,2
13、002.3 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京: 高等教育出版社,1993.4 徐小湛.对称性在积分计算中的应用J.高等数学研究,2001，(1):25-28.5 周海清.对称性在曲面积分中的应用J.青海大学学报,2002,20(6):55-57.6 孙军安,郑德印.对称性在定积分中的应用J.南都学坛,1994,14(3):98-99.7 张晓华,曹玉升.对称性在第一型曲线积分中的应用J.商丘职业技术学院学报,2009,8(5):10-12.THE APPLICATION OF SYMMETRY IN THE INTEGRAL CALCULATIONZHANG Chang Abstract: This paper summarizes the symmetry in the integral calculation of some important conclusions, use these conclusions, the relatively complicated computation became simple, and illustrated the application of these conclusions. Key words: singular and even function; integration; symmetry
