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1、泰勒公式及其它的应用 摘要：泰勒公式在数学分析和研究数学问题中有着重要作用，本文主要采用举例分析的方法介绍了泰勒公式在求极限，近似值，导数。证明定积分，不等式，判断级数收敛性和行列式，求高阶导数在某点的数值方面的应用。 关键词：泰勒公式，极限，行列式，高阶导数，不等式，定积分。中图分类号：0173引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年
2、后移居伦敦，获法学硕士学位。1717年。他以泰勒定理求解数值方程。泰勒的主要着是1715年出版的“正的和反的增量方法”，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的着名定理泰勒定理：式内V为独立变量的增量，及为流数。他假定Z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里一牛顿插值公式发展而成的，当 x=0 时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为策分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单
3、变量函数都可展开成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物品问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常策分方程的奇异解，曲率问题之研究等。泰勒公式.泰勒公式已知一个函数，如何把它表示成我们所需要的多项式呢？先考虑多项式函数它具有任意阶连续导数，且当时，经过简单的计算可知这个多项式的系数同它的各阶导数之间有如下的关系；如果把这个多项式按照（x-a）的幂式重新写出来，即，则系数同的各阶导数之间的关系经过计算易知为再考虑是一般的函数设它在a点具有
4、直到n阶的连续导数，这时总可以作出如下的多项式如果已给函数是n次多项式，那末由上面的讨论，与完全相同，因而对的研究可以用对的研究来代替是用及其各阶导数在x=a点的数值来表示的另一个多项式，称其为多项式的泰勒公式2.泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a, b）有直到 n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于多项式和一个余项的和：其中这里在 和之间，该余项称为拉格朗日型的余项。证明：我们知道 (根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有 )，其中误差是即的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够精确的且能估计出误差的多项式：来近似地表示函数且要写出其误
5、差的具体表达式。设函数满足，于是可以依次求出 ，显然，所以 。至此，多项的各项系数多已求出，得： .泰勒定理若函数满足如下条件：（） 在闭区间上函数存在直到阶连续导数，（） 在开区间内存在的的阶导数，取，则对任何，且，至少存在一点，使得式（）证：记，（）则（）式可写作或现记，这两个函数在闭区间（不妨设）上有直到阶连续导函数，在内有阶导数，又由于，所以在区间上连续运用柯西中值定理次，就有其中从而得到介于之间，（3）即这就得到所要证明的（）式泰勒公式的应用：. 函数方程中应用例1：已知函数f(x) 在区间内有二阶导数，且试证：，使得内证：为了证明f(x)在x=0的领域内恒为零，我们将（）式右端的在
6、处按Taylor公式展开，注意到我们有从而令限制则在上连续有界，使得我们这要证明即可，事实上，即，所以，在上2.用泰勒公式来证明不等式：在高等数学中，常常要证明一些不等式，而且证明不等式的方法很多，在证明不等式时以得用泰勒公式，应用的关键在于根据题设的条件如何选择要展开的函数，在那一点的领域将函数展开，展开的阶次及余项形式，现足不同层次，不同水平，不同兴趣，学生的需要，写出比最高阶导数低一阶的泰勒公式，根据所给的高阶导数的大小或上下界对展开式进行缩放。例2.设 证明证明：令因为应用Taylor公式知，存在使注意到此处所以f(x)03.在定义非初等函数中的应用泰勒公式在近似计算某些函数值，定义某
7、些初等函数等方面具有重要作用，本文对往的成果加以探讨，讲一步说明了定义非初等函数的应用。若如函数f(x)在R上连续则f(x)在R上存在原函数 ，而这个原函数f(x)不一定可用初等函数表示，如此仿佛陷入了困境，事实上f(x)可运用泰勒公式成幂级则f(x)可表示为幂级数的和函数形中。例3：在R上连续，因此它在R上存在原函数，但它的f(x)是非初等函数于是可采用下述方法。由Taylor公式知，由于它在任意区间上都一致敛。于是它的原函数。4.求导数的应用利用函数的泰勒公式（级数）展开式，求函数在一点出的高阶导例4. 设 求。解又在处的麦克苏林级数展开式为5.关于估计中的应用例5：设f(x)在上有二阶导
8、数，时，试证：当时。证： 所以所以。6.用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某巧的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷，用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的代替来计算极限，我们知道当等，这种等式价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开式至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。用泰勒公式可以估计无穷小量的阶，从而计算一些极限。 例6.当时，是几阶无穷小量？解：所以当时，是四阶无穷小量，由此可得。7.在近似计算中的应用例7.计算的近似值，要求误差不超过。解：= 为了误差不超过，我们应该取为多小？由于，
9、而6！=720，7！=5040，故取。 这样， 实际上，=2.71828.，所以这样得到的的近似值满足误差要求。8.用多项式逼近函数。例8.在上用二次多项式逼近函数，并估计误差.待添加的隐藏文字内容3解： 由于所以，当时，有 9.泰勒公式在积分等式的证明的应用证题思路，（1）作辅助函数.（2）将在所需点处进行台劳展开.（3）对了台劳余项作使用处理.例9. 设函数在在上具有连续的一阶导数，证明在内存在一点，使得证：令，则有在处的二阶泰勒公式为：其中在x与之间。分别将代入上式，并相减，则得其中分别在与之间不妨，设则考虑到的连续性反介值定理，可知之间至少存在一个使 故总结：我感觉到泰勒公式是微分学中
10、的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式，求解一类概率问题等式的证明方面。泰勒公式是有用的工具。参考文献1 刘景麟，黄振友微积分（上）北京；国防工业出版社2006.12 利亚什科俄等著，高策理，苏宁译高等数学例题与习题集（二）；多元微积分北京；清华大学出版社。2003.83 朱正友，秦成林数学分析，上册上海；上海大学出版社2001.64 亚历山大洛夫俄等著，孙小礼等译数学它的内容，方法和意义（第一卷）北京；科学出版社2001.5 苏德矿，金蒙伟微积分北京；高等教育出版社2004.76 周述岭微积分基本原理中国人民大学出版社1983.47 孟雅琴，叶正麟泰勒公式的应用高等数学研究1997.38 齐成辉泰勒公式的应用陕西师范大学学报2003.19 费德霖泰勒公式的应用及技巧皖西学院学报2001.4期 84-8610 卢玉文泰勒公式的应用河北自学考试2002.3期 13-1411 裴礼文数学分析（上）高等教育出版社第二版
