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1、天 津 师 范 大 学本科毕业论文（设计）题目：泰勒展开式中余项的应用学 院：数学科学学院专 业：数学与应用数学泰勒展开式中余项的应用摘要:泰勒展开式是数学分析及复变函数中的重要内容,它将某些函数近似地表示为形式简单的多项式函数.泰勒展开式的余项可分为佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项和柯西型余项,彼此之间可以相互转换.本文主要讨论两个方面的内容:一是佩亚诺型余项在极限运算、函数凹凸性、广义积分和级数敛散性方面的应用;二是拉格朗日型余项在证明一些等式或不等式、根的存在性、近似计算与误差分析方面的应用.从而对泰勒展开式的余项有一个总体认识,这有助于我们对泰勒展开式中的各类余项实施进一步推广
2、和应用.关键词：泰勒展开式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余项;泰勒级数.目 录1 引言12 预备知识12.1 泰勒多项式12.2 泰勒展开式的余项22.2.1 佩亚诺型余项22.2.2 拉格朗日型余项22.2.3 积分型余项与柯西型余项32.3 泰勒级数33 泰勒展开式余项的应用43.1 佩亚诺型余项的应用43.1.1 极限运算的应用43.1.2 判断函数凹凸性及拐点63.1.3 判别广义积分收敛性73.1.4 判别级数敛散性93.2 拉格朗日型余项的应用103.2.1 一些等式或不等式的应用103.2.3 证明根的唯一存在性133.2.4 近似计算与误差估计144 参考文献：151 引言泰勒展开
3、式是18世纪早期英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒展开式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.此外泰勒展开式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.在高等数学中,泰勒展开式占有重要地位,并以各种形式贯穿全部内容,它可广泛应用与多种数学问题,集中体现了微积分和逼近法的精髓.在微积分及相关领域的各个方面都有重要的应用,在数学计算和在信息科学的研究中,泰勒多项式几乎是开辟计算捷径道路的基础.事实上,各种数学分析教材的内容侧重点有所不同,而
4、且一般高等数学教材中仅介绍了如何用泰勒展开式展开函数,对泰勒展开式的应用方法并未作深入讨论.初学者在解题时总是不善于将题目和泰勒展开式的应用联系在一起,在没有理解泰勒展开式的前提下,写出常见函数的泰勒展开式只是一种机械的行为.那么如何学好和应用好泰勒展开式呢? 这并不是一件简单的事情，本文将对此课题进行归纳总结,主要介绍带佩亚诺型余项和带拉格朗日型余项的泰勒展开式在各种问题中的应用,并附以典型例题来归纳演绎,将此类问题更加系统化、专门化地呈现出来.通过总结,希望能为初学者提供有益的帮助.2 预备知识2.1 泰勒多项式我们在学习导数和微分概念时已经知道,如果函数在点可导则有.即在点附近,用一次多
5、项式逼近函数时,其误差为的高阶无穷小量,然而在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用到二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为,其中为多项式的次数.为此我们考察任意次多项式.逐次求它在点处的各阶导数,得到,即,.由此可见,多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定.对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数,由这些导数构造一个次多项式,称为函数在点处的泰勒（Taylor）多项式,的各项系数称为泰勒系数.2.2 泰勒展开式的余项2.2.1 佩亚诺型余项若函数在点存在直到阶的导数,则,即.上式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺（Peano）型余项.特别的,
6、当时,称泰勒公式的特殊形式.为带有佩亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式.2.2.2 拉格朗日型余项若函数在上存在直到阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得.上式同样称为泰勒公式,它的余项为, .称为拉格朗日（Largrange）型余项.当时,得到泰勒公式,.为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.2.2.3 积分型余项与柯西型余项若函数在点的邻域内有连续的阶导数,则,有.其中称为积分型余项.由于连续,在（或）上保持同号,因此由推广的积分第一中值定理,可将积分型余项写成,其中介于与之间,这就将积分型余项转化成拉格朗日余项.如果直接对积分型余项用积分第一中值定
7、理,则得到.由于,因此又可进一步把改写为. 上式称为泰勒公式的柯西（Cauchy）型余项.2.3 泰勒级数函数在处的泰勒公式为.在上式中抹去余项,那么在附近可用上式右边的多项式来近似代替,如果函数在处存在任意阶导数,这时称形式为 的级数为函数在的泰勒级数.当时,称为函数的麦克劳林级数. 如果在某邻域内等于其泰勒级数的和函数,则称该级数为在点处的泰勒展开式.显然在处的泰勒级数收敛的充要条件是在处泰勒公式中的余项极限为,即.3 泰勒展开式余项的应用不同余项的泰勒公式之间是可相互转换的,但是不同的余项在解决不同类型的问题时有各自的优点.接下来将通过一些典型例题展开对泰勒公式中不同类型余项应用的讨论,
8、加深对泰勒公式余项及其应用的认识. 3.1 佩亚诺型余项的应用带佩亚诺型余项的泰勒公式在极限运算,判断函数凹凸性,判别广义积分和级数敛散性等方面都有很巧妙的用处.3.1.1 极限运算的应用在函数极限运算中,不定式极限的计算是重要内容,因为这是比较困难的一类问题.在计算不定式极限时,我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小相结合.但对于有些未定式极限问题如果应用泰勒公式求解,会更加简单明了.例1 求极限.分析: 此为型极限,若用洛必达法则求解至少要用三次,求导过程也会很繁琐.这时可将原极限中每一项分别用带佩亚诺型余项的泰勒公式代替,则可简化此比式,进而求得极限结果.解: 由函数在处的带佩
9、亚诺型余项的泰勒公式可以得到,.将以上结果代入极限式中,有.例 2 求极限.分析: 由和可知这是型的极限问题.若用洛必达法则求解,计算过程将十分繁琐,可以考虑借用带佩亚诺型的泰勒公式求极限.这里需要注意的是计算过程中无穷小的计算和泰勒公式展开的项数,由于本题分子中只需要展开到就已足够,这是因为分母是,所以要求分子的佩亚诺型余项是比高阶的无穷小.解: 由函数在处的带佩亚诺型余项的泰勒公式可以得到 ,.将以上结果带入极限式中,有.例3 求极限.分析: 这是型的极限问题.要取得有限极限值,则必须要求两个无穷大是同阶的.由于的极限是,故是的三阶无穷大,并且也是的三阶无穷大. 显然,此题的解答用带佩亚诺
10、型余项的泰勒公式去替换和较为方便.另一方面,由于和两项都出现了,不妨令做为变量进行替换.解: 令,将和在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,并代入原极限式中,可以得到 . 例4 求极限.分析: 考虑到极限式中含有,在应用泰勒公式时应取.解: 将函数在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得到.将上式代入极限式中,有.带有佩亚诺型余项的泰勒公式在极限运算中是个有力的工具,熟练掌握会使函数极限运算变得简单.3.1.2 判断函数凹凸性及拐点泰勒展开式在各个领域有着广泛的应用,不少书中利用它来判断函数的单调性和极值.同样可以尝试利用泰勒展开式来研究函数的凹凸性及拐点.例 5 设在上连续,且在上具有一阶和二阶
11、导数.若在内,则为的凸函数.证明: 设为内任意两点,且足够小.为中的任意两点,令,将在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,有. （1）将分别代入（1）式中,得到, （2）. （3）（2）加（3）,得到. 因为函数泰勒公式中的佩亚诺型余项为的高阶无穷小量,而又足够小,因此可以得到的符号与相同.另一方面,又因为,所以,从而有.即,故.由的任意性可得,在足够小的区间上是凸函数.再由的任意性可得在内任意一个足够小的区间内部都是凸函数,从而在内是凸函数.本题的关键在于利用泰勒展开式的余项建立了三个等式，进而进行推理证明。例6 如果在某内阶可导,满足,并且.证明:若为奇数,则为拐点;若为偶数,则不是拐点.证
12、明: 将导函数在点处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,有由于,代入上式中有.又因为泰勒展开式的余项为的高阶无穷小,所以在内有与同号.从而可以得到当为奇数时,在点的两边,异号所以的符号相异,从而为拐点.当n为偶数时,在点的两边的符号相同,所以不是拐点.3.1.3 判别广义积分收敛性在判定广义积分的收敛性时通常用作为比较对象,从而利用比较判别法的极限形式判别无穷积分的收敛性.于是判定广义积分的收敛性问题也就变成如何选取恰当的以便更好地应用比较判别法.我们可以通过带佩亚诺型余项的泰勒公式来研究的阶,从而找到恰当的顺利解决问题.例 6 研究广义积分的敛散性.解: ,分别将,在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式
13、展开,可以得到,代入被积函数中,有因此.又因为积分收敛,由比较判别法知原广义积分也收敛.例7 讨论无穷积分的敛散性.解: 将被积函数在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得.选取,因为而,所以由无穷积分敛散性判别定理得知收敛.例8 判断广义积分是否收敛？解: 由函数在处的带佩亚诺型余项的泰勒公式,有.于是可以得到,.代入积分表达式中并整理,有. 由于,所以是的一阶无穷大量,而发散,故由比较判别法知原积分也发散.3.1.4 判别级数敛散性泰勒展开式能将某些函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能使得在级数的通项表达式是由不同类型函数构成的繁琐形式时,可以进行简化或转换成统一形式,以便于
14、利用判别准则判断级数敛散性.例9 讨论级数的敛散性.分析: 首先需要判断级数是否为正项级数,但直接根据级数的通项去判断存在一定的困难,也就难以选择恰当的判别方法.而对于,若令,不妨考虑将进行泰勒展开,就得到的方幂形式.开二次方之后与相呼应,会简化判别过程.解: 不妨设,将在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,有.令,代入上式,.在不等式两边同时开二次方,得到,从而有.故该级数是正项级数.因为,所以.由于级数收敛,由正项级数比较判别法知原级数收敛.例10 判断级数的敛散性.解: 将函数,分别在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得到,.代入原级数中并整理,有因此有,由比较原则的极限形式知,级数和级数
15、同敛散性.又因为正项级数发散,所以原级数发散.例11 设偶函数二阶导数在点邻域内连续,且满足,则级数绝对收敛.分析: 题中已知条件“二阶导数在点邻域内连续”这一信息提示可使用泰勒公式,而,可以使在点的展开式变得简单,便于用比较判别法判别收敛.但是泰勒公式中缺少的值,不妨考虑剩余的条件“偶函数”.证明: 因为是偶函数,由偶函数的性质有,在等式两边同时对求导,得.令,则有,故而.将在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得.令,代入上式中,得到.等式两边同时在时取极限,有.由比较原则的极限形式知,级数与级数同敛散.又因为级数收敛,所以级数收敛,从而级数绝对收敛.3.2 拉格朗日型余项的应用 佩亚诺型余
16、项只是对余项的定性估计,而拉格朗日型余项则是对余项的定量表达,因此它在证明等式和不等式,精确估计方面有重要作用.3.2.1 一些等式或不等式的应用泰勒公式在等式或不等式证明中有着重要的应用,应用的关键在于根据题设条件如何选取需要展开的函数、在哪一点的邻域展开以及展开的阶数等.例12 设函数在上连续,且在内二阶连续可导,试证明必使得.分析: 题中已知条件告知二阶连续可导而且等式中出现二阶导数,高阶导数的存在提示我们使用展开到二阶导数的泰勒公式是一种可行途径,问题在于如何选取适当的展开点并建立等式.而待证的等式中出现了在点,的函数值,不妨考虑将在点处进行泰勒展开,再分别令 进而找出与的关系.解:
17、把,在点按带泰勒公式展开到二阶导数项,得, （1）,. （2）（1）加（2）并移项整理,有. （3）另一方面,因为在内二阶连续可导,所以二阶导函数在闭区间内连续,故由最大最小值定理知,导函数在上有最大值和最小值,即存在、使得,从而有.由介值性定理知至少存在一点,使得,代入（3）式中就证得 .例13 设函数在区间上二次可导,且满足,则必使得.证明: 将在点,处分别按泰勒公式展开,得,其中介于与之间,介于与之间.令代入上面两式,有,.两式相减并整理,得.不妨令,于是有.这样就证得.总结: 利用泰勒公式证明等式和不等式主要有两个步骤：（1）构造函数,选取展开点,写出函数在展开点处的泰勒公式.那么如何
18、选取适当的展开点呢？在一个区间中常常有一些特殊点体现了函数图像的性质,如：端点、分点、零点、驻点、极值点、最值点、拐点,此外题中出现的点也应该注意.运用泰勒公式实质上就是选择导数信息较为充分的点作为展开点,将函数展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式.（2）根据所给的最高阶导数的大小、函数的界或三角不等式等,结合题干中的已知条件对余项进行放缩.例14 设函数在区间上有连续的二阶导数,且满足,试证明积分等式,其中.分析: 题中已知条件“具有连续的二阶导数”提示可应用泰勒公式加以证明.由于题目中要证的等式右边出现,不妨考虑将构造函数,并将其按带拉格朗日型余项的二阶泰勒公式进行展开.为便于运用已知条件中的
19、,可以考虑将作为展开点,再分别令,从而引出使问题顺利解决.证明: ,不妨设，则显然有.将函数对求导可以得到,.把在处进行二阶泰勒展开,有, （1）其中介于与之间.分别令,代入（1）式中并将所得两式相减,有.（2）其中介于与之间,介于与之间.再在（2）式右边分别令,.将所得两式相加,得到.因为,故而.设,则.又因为在上连续,由介值定理知存在,使得,于是.这样就证得,其中.由上例可知,在已知被积函数具有二阶或二阶以上连续导数时证明定积分等式,一般先构造辅助函数.再将函数在所需点（一般是根据右边的表达式确定展开点）进行泰勒展开,然后对泰勒余项做适当处理（利用介值定理或最大值最小值定理）.例15 设在
20、上二阶导函数连续,且,则.分析: 需要证明的不等式左边含有积分号,而右边则可改写为,则问题转化为证明积分不等式.又因为涉及到二阶导函数及,所以考虑在点处使用泰勒公式.另外,存在一个十分便利的隐含条件,这意味着若对泰勒公式两边同时积分,则泰勒公式中含有一阶导数的项可以消去.证明: 将在处按泰勒公式展开,得,其中介于与之间.因为,所以.不等式的两边同时在上取定积分,有.于是就证得 .3.2.3 证明根的唯一存在性例16 设函数在上处处有,且满足.试证明方程在内有且仅有一个实根.分析: 这里是抽象函数,直接讨论方程的根存在一定的困难.由题中已知条件在区间上二阶可导,而且,不妨考虑将函数在点处展开为一
21、阶的泰勒公式,再根据对泰勒公式进行放缩,消去余项.然后设法应用介值定理进行证明.证明: 将在处按泰勒公式展开并整理,有令,故当时,不妨取,那么,由零点定理知,使得,即方程至少有一个实根.另一方面,由于,因此导函数是单调减少的,所以当时必有,故在上是严格递减的.这就说明方程在内有且仅有一个实根.3.2.4 近似计算与误差估计泰勒展开式是“函数逼近”思想的一个重要应用,在数值计算中不仅能用于近似计算和误差分析,而且能够判定迭代法的收敛速度,导出Euler法和Newton迭代法及误差分析等.本文仅简单介绍泰勒展开式在近似计算与误差估计中的应用.利用带拉格朗日余项的泰勒公式可以进行函数的近似计算和一些
22、数值的误差分析,由的麦克劳林公式可以得到函数的近似计算式为,其误差是余项.例17 估算的值,使其误差不超过.解: 令,将改写为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式,有,.当时有,.故误差为,当,便有.从而略去而求得的近似值为.综合以上几种具体而实用的方法,是对泰勒展开式余项的应用做了一个推广,对我们解决某些具体问题有莫大的帮助.佩亚诺型和拉格朗日型都是对余项的估计,其中佩亚诺型余项只是定向分析,拉格朗日余项虽然是定量分析但仍然含有不确定因素.然而积分型余项则不含类似因素,它是完全确定的.这正是积分型余项的优点.在许多较为精确的估计式中,经常使用带积分型余项的泰勒公式.由于其原理与拉格朗日型余项在近
23、似计算中相似,在此不作重复.此外,与泰勒展开式密切相关的泰勒级数也有很大的实用性,其主要内容包括两个方面: 幂级数的收敛理论及如何对一个函数进行泰勒展开.如果已知函数的泰勒展开式,则其通项中的系数正是,从而可以利用函数的泰勒展开式来求高阶导数在某些点的数值.在求幂级数的收敛半径及和函数时也常常用到泰勒展开式,需要特别指出的一点是,在求得函数的泰勒展开式之后,一定要指明等式成立的范围.这一范围即可能不同于左边函数的定义域,也可能不同于右边幂级数的收敛域.4 参考文献：1华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）M.第三版.北京:高等教育出版社.2001（2009重印):134-139.2李成章,黄
24、玉民.数学分析（上册）M.第二版.北京:科学出版社.2004:125-130.3梅加强.数学分析M.北京:科学出版社.2011:327-331.4裴礼文.数学问题中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社.1993:171-184.5毛羽辉,韩士安,吴畏.数学分析（第四版）学习指导书（下册）M.北京:高等教育出版社.2012:92-1026刘云,王阳,崔春红.浅谈泰勒公式的应用J. 和田师范专科学校学报,2008,28（1）：196-197.7严振祥,沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用J.重庆交通大学学报,2007,26（4）:160-161.8唐清干.泰勒公式在判断级数及积分敛散
25、性中的应用J.桂林电子工业学院学报,2002,22（3）：44-45.9黄军华.带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用J.玉林师范学院学报,2006,27（3）：15-17.10董彦武.泰勒级数与泰勒公式刍议J.林区教学,2009,26（12）:111-112.11王小华.泰勒公式（Taylor）的一些应用J.南通航运职业技术学院学报,2007,6（3）：100-103.13费德霖.泰勒公式的应用技巧J.皖西学院学报,2001,17（4）:84-86.14汪俭彬,黄瑞芳.泰勒公式在解决典型问题方面的应用研究M.焦作师范高等专科学校学报,2011,10(2):76-7815王翠霞.泰勒公式在“不定型”上的应用D.江西财经大学:信息管理学院,2004.
