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1、 行列式的计算方法 摘要：行列式是高等代数的一个基本概念。求解行列式是在高等代数的学习中经常遇到的基本问题。本文主要介绍了求行列式值的常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如化三角形法、降阶法、升阶法、归纳发、范德蒙行列式等十多种方法。并对相应例题进行了分析和归纳，总结与每种方法相适应的行列式的特征。关键词：行列式的定义 行列式的性质 计算方法1 行列式的基本理论（1）行列式的定义行列式的定义:n阶行列式用符号表示，它代表n！项的代数和，这些项是一切可能的取自于中不同行不同列的n个元素的乘积，项的符号为，即当为偶（奇）排列时该项的符号为正（负），也就是说这里表示对所有n阶排列求和。（2） 行列式
2、的性质首先我们应该熟练掌握并会运用行列式的以下性质:性质1:行与列互换，行列式的值不变。性质2：某行或列的公因子可以提到行列式的符号外。性质3：如果某行(列)所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行(列)的元素分别对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同。性质4：两行(列)对应的元素相同，行列式的值为零。性质5：两行(列)对应的元素成比例，行列式的值为零。性质6：某行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式的值不变。性质7：交换两行(列)的位置，行列式的值变号。2 行列式的计算方法2.1 直接展开法和拉普拉斯展开法直接展开法即运用行列式的定义
3、直接将行列式展开计算。例1：（1）证明. （2）证明。证：（1）设，其中。由定义得D = = = =。则。（2） 由行列式的定义可知。由于在中至少有一个大于等于3，因此始终有，故 我们引入以下定理，拉普拉斯定理：任意取定n阶行列式D的某k行(列)()，由这k行(列)元素所组成的一切k阶子式(共有个)与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。拉普拉斯定理的四种特殊形式：1） 2）3） 4）。例2：计算2n阶行列式解：+(n+1) 于是可得=。2.2 利用行列式的基本性质计算 有些行列式直接展开比较复杂，我们可以运用行列式的基本性质将行列式简化然后再展开计算。例3：计算n阶行列式=。解：将第一行的
4、-1倍加到第2,3,.,n行，得当n3时，由于上式右端的行列式中至少有两行成比例，则=0。当n=1时，=；当n=2时，=()例4：计算2n阶行列式。解：=。2.3 计算行或列相等的行列式对于一些行或列相等的行列式我们一般将其各行或列加到第一行或列然后再化简计算。例5：计算下面行列式解：将其各列加到第1列，并提出公因子可得D=2.4 两条线型行列式的计算计算两条线型行列式要根据行列式的特点和性质进行化简、计算。为了更好的研究两条线型行列式的计算首先我们要讨论一些特殊行列式的值。(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上的元素的乘积，即（2） 次三角形行列式的值等于添加适当正、负号的次对角线元素的乘
5、积，即分块三角形行列式可化为低级行列式的乘积，即 例6：计算阶行列式。解：按第一列展开得 =2.5 箭形行列式的计算对于形如,的箭形(爪形)行列式，可以利用对角元素或次对角元素将一边消为0然后直接利用行列式的性质化为三角形或次三角形行列式来计算。例7：计算。解：=2.6 三对角行列式的计算形如的行列式我们称之为三对角行列式，可以直接展开得到两项地推关系然后用一下方法求解。方法1：若n较小，可以直接递推计算。方法2：用第二数学归纳法证明：验证n=1时结论成立，假设n时结论成立，如果能证明n=k+1时结论成立则对任意自然数结论都成立。方法3：将变形为，其中有韦达定理可知p和q是一元二次方程的两个根
6、。令，则利用递推求出，再由递推求出。方法4：设。代入可得。称为特征方程，求出其根，则。其中，可以通过令n=1和n=2来求得。例8：计算n阶行列式。解：按第1列展开得=变形为由于，利用以上递推公式可得故有例9：证明解：第二数学归纳法 当n=1时，左边=右边；当n=2时，左边=右边。假设对于任意阶数小于n的行列式等号都成立，然后证明n阶行列式成立。记左边的n阶行列式为，按最后一行展开，可得由归纳假设可得，有，所以=注：第二数学归纳法是先验证n=1时命题成立，假设命题对于的一切自然数成立，若推出n=k+1时命题也成立，则命题对于所有自然数n成立。2.7 Hessenberg型行列式的计算形如，的行列
7、式称为Hessenberg型行列式，对于这种行列式可以直接展开得到递推公式，也可以利用行列式的性质化简计算例10：计算n阶行列式。解：将第1,2,，n-1列加到第n列，可得=2.8 可采用升阶法计算的行列式行列式的计算的一般方法是降阶法，但对于某些特殊行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为并适当选择第1行的元素，就可以使化简更加方便，且化简后常变成箭形行列式，这一方法称为升阶法或加边法。例11：设x是矩阵，y是矩阵，其中a是实数，证明：证明：设=，则=2.9 将行列式拆成两个行列式的和计算行列式的拆分：=例12：计
8、算n阶行列式。解：将第n行写成两项的和再分成两个行列式，然后把第2个行列式的第n列分别加到前面各列，可得= 同理，将第n行写成另外两项之和再分成两个行列式，又可得= 联立，解方程组，解得。2.10 相邻行（列）元素差1的行列式的计算以数字1,2,3，n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的n阶行列式可以用以下方法计算：从第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或从第n行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即得出现大量零元素。对于相邻两行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的-k倍，或后行（列）减去前行（列）-k倍的方法，即可使行
9、列式中出现大量的零元素例13：计算n阶行列式解：从第n-1行开始，每行乘（-1）加到下一行直到第1行得 2.11 范德蒙型行列式的计算形如的行列式我们称之为范德蒙型行列式，=即等于这n个数所有可能的差的乘积例14.：计算4阶行列式。分析：可以看到D不是范德蒙型行列式，但它具有范德蒙型行列式的一些特点。可以构造5阶的范德蒙型行列式，再利用范德蒙型行列式的结果，间接地求出D的值。解：构造5阶范德蒙型行列式，其中的系数为，再利用范德蒙型行列式的结果得=其中的系数为故可得。 例15： 证明证：记左端行列式为，则把第一行拆成两项之和，再利用范德蒙型行列式的结果，得 例16：计算行列式。解：根据倍角公式，
10、有，代入行列式得2.12 利用行列式乘法公式计算行列式设,则其行列式具有性质。这一结果也给出了如何把两个n阶行列式相乘得到一个n阶行列式的方法，即其中 这一公式也成为行列式乘法公式，灵活运用该公式可以简化行列式的计算例17：计算4阶行列式。分析：所给的行列式利用行列式乘法公式求得，再确定出的符号即可求出。解：根据行列式乘法公式得=所以根据行列式定义可知的展开式中有一项为，故可得例18：计算4阶行列式分析：直接展开计算量较大，注意到每一项都能展开成4项之和，即，可考虑用行列式乘法公式，将原行列式分解成两个容易计算的行列式的乘积，然后化简计算。解：将行列式中每一项展开，并利用行列式乘法公式和范德蒙
11、型行列式的结果，得=2.13 按行列展开计算行列式我们先引进代数余子式的概念。定义：在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列元素划去后，所留下的n-1阶行列式，称为元素a的代数余子式，记为M，即a的代数余子式，而称为的代数余子式，记为，即。引理：如果n阶行列式中，第行元素除外均为零，则该行列式等于元素与其代数余子式的积，即定理：行列式等于它的任意一行或列个元素与其代数余子式乘积的和，即 （1）或 （2）（1） 式称为行列式按第i行的展开式，（2）式称为行列式按第j列的展开式，其中与均为n-1阶行列式。用按行（列）展开法计算行列式时，反复使用此定理，把高阶行列式降成低阶行列式，直到求出结果。为
12、了计算简便，每次展开前应首先利用行列式的性质，使行列式某行或某列出现尽量多的零（最好出现n-1个零），这样才能达到简化计算的目的。例19：计算阶行列式。解：此行列式中各行各列有n-2个零元素，现在直接按第一行展开：+=推论：行列式任意一行或列的元素与其他行或列对应元素的代数余子式乘积的和为零，即，2.14 归纳与递推法在行列式的计算与证明中，归纳与递推法也是一种行之有效的方法，举例说明如下例20：计算2n阶行列式。解：首先按第一行展开，得再将右边两个（2n-1）阶行列式按最后一列展开，便得待添加的隐藏文字内容2=按此规律递推下去，共经过次展开，终得。2.15 利用方阵特征值与行列式的关系例21
13、：计算如下行列式的值解： 显然的个特征值为。的个特征值为。故的特征值为 。由矩阵特征值与对行列式的关系知。例21中，主对角线上的元素为 ，我们使得主对角线上的元素为 ，可得下列一般的行列式 。分析：根据这题行列式的特点，每行都有相同的因子 ，所以本题适用加边法。(本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出。)解： 特别地，当时 与例21的答案一致。 2.16 行列式计算的杂例例22：计算n阶行列式。解：（1）当b=c时，是行的和相等的行列式，从而=（2） 当时，将的第n列元素写成两个数的和，所以可将拆成两个行列式之和=对按上面方法推导可得。由于，则有联立求解二元一次方程组得例23：求极限，其中存
14、在2阶导数。分析：把行列式展开再取极限比较复杂，观察行列式中各项的特点，利用行列式的性质做适当变形，然后再运用洛必达法则计算。解：由于存在2阶导数，把所求极限进行适当变形，可得原式=。例24： 计算。解：（1）当a=b时，用第一行的（-1）倍分别加到其他各行得按第一行展开可得。（2） 当时，将第n列拆成两项的和，则有= =由对称性可得 联立求解可得参考文献1王萼芳等高等代数上海：高等教育出版社，2003.2许仲等.高等代数考研教案西安：西北工业大学出版社，2009.3刘振宇.高等代数的思想与方法.青岛：山东大学出版社，2009Calculation method of the determin
15、ant Abstract：The determinant is a basic concept of higher algebra. Solving the determinant is the basic problem often encountered in the study of higher algebra. This paper mainly introduces the common method of determinant value and some special determinant evaluation method. More than ten kinds of
16、 methods such as triangle method, method of reduction of order, ascending order, inductive, Vandermonde determinant. And the corresponding examples are analyzed and summarized, summarizes the characteristic determinant and adapt to each method. Key Words:The definition of determinant The properties of determinant Calculation method
