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1、计算n阶行列式的若干方法举例摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这 一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。关键字:行列式；n阶行列式；计算；方法前 言：行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的二
2、个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个 基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内 部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们 衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为
3、行列式与其它知识的 联系，特别是多项式、矩阵的密切关系，我们将得到一些其它的方法，这将在文中一一讨论。一、利用行列式的定义计算定义: n阶行列式定义为n！项的代数和，这些项是一切可能的取自D的不同行与不同列的n个元素的积，且此项的符号是，即 例1 计算行列式解 Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t（n1 n21n）等于，故计算下列行列式.解.例2 设都是整数, 是一个正整数，证明 证明 若=0，则=0，即 =0显然，在行列式D中，项为奇数，其余项全为偶数，因此，由行列式的定义，D=奇数+偶数=0，矛盾.所以，.计算 解 因为 =.所以 D=又因为在所有的n！个排列中，奇偶排
4、列各半，故D=0.二、利用行列式性质计算行列式函数满足以下六条性质：1、；2、， 类似地，对行向量，有3、若A的某列（行）为两列（行）之和，则为两个相应的行列式之和；4、A不满秩，则，特别地，A有两行（列）相等，则； 5、将A的一行（列）的若干倍加到B的另一行（列）上去，行列式值不变；6、两行（列）互换，行列式反号.例4 计算行列式 ， .解 =2=0.例5 证明证明三、化成三角形行列式法 先把行列式的某一行（列）全部化为1，再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式，从而求出它的值，这是因为所求行列式有如下特点：1各行元素之和相等；2各列元素除一个以外也相等. 充分利用行列式的特点化简行列式是
5、很重要的.例6 计算 .解 =.补充：经过一系列的变化以后，把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。计算n阶行列式 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不变，得四、加边法（升阶法）要求：1. 保持原行列式的值不变； 2. 新行列式的值容易计算.根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列.加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 i列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况. 例7 计算 解 注意到行列式每列元素几乎相同，只不过是在相应
6、的对角线加了另一个元素，所以考虑采用加边法.=.五、分项法 拆成行列式之和（积） 把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的. 例8 计算解 观察此行列式其特点为主对角线上全为0，主对角线两旁元素只是x、y，且每一侧元素相同，采用分项法. = （1）同理 （2）若时，由（1）和（2）易得若时， = = .六、递推法 建立起与的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值. 有时也可以找到与的递推关系，最后利用、得到的值.例9 计算三对角行列式解 = .按第一列展开得 .于是 （3） 同理 （4）若 ，由（3）和（4）易得 .若 ，由（3）知，递推可知 .引申：逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn
7、与Dn1或Dn与Dn1, Dn2之间的一种关系称为逆推公式（其中Dn, Dn1, Dn2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之.例10 证明 证明：将Dn按第1列展开得 由此得递推公式：，利用此递推公式可得例11 计算. 解 .猜想：. 假设对阶数小于n的自然数m ，.对n阶按最后一行展开得 .因为 ,所以 .又如：计算n阶行列式解：用数学归纳法. 当n = 2时 假设n = k时，有 则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得由此，对任意的正整数n，有待添加的隐藏文字内容1八、利用范德蒙行列式 根据行列式的特点，适当变形（利
8、用行列式的性质如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成已知的或简单的形式. 其中范德蒙行列式就是一种. 这种变形法是计算行列式最常用的方法. 例12 计算行列式. 解 构造阶范得蒙行列式 则 容易看出，是中元素的余子式，即是行列式 中的系数的.由根与系数关系知表达式中的系数为，所以 .九、降阶法 根据行列式的特点，利用行列式性质把某行（列）化成只含一个非零元素，然后按该行（列）展开. 展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效.例13 求行列式.解 若= 时，由行列式的性质显然有 若时，=1，2n，由性质1知 =十、综合法 计
9、算行列式的方法很多，也比较灵活，总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法. 有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值.参考文献1魏贵民等主编,线性代数M 高等教育出版社 2004年8月2 刘金山，吴明芬编著线性代数解题方法M.华南理工大学出版社2000年6月3 马杰主编 线性代数复习指导M.机械工业出版社 2002年3月4刘学鹏等. 高等代数复习与研究M. 海口：南海出版公司，1995.5张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数M. 北京：高等教育出版社, 1993.6许甫华, 张贤科. 高等代数解题方法M.北京： 清华大学出版社， 20
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