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1、一样的题目,不一样的设计“做题目,为什么”的实践与反思高中一l囊-.|_ll理论与实践中小学数学.中学版lI蠢一样的题目,不一样的设计做题目.为什么的实践与反恩北京市大兴区教师进修学校(102600)杨林军一,问题的背景近日,在拜读了章建跃博士在中小学数学(高中版)2011年第6期编后漫笔栏目的文章做题目,为什么后,有很大的触动.实际上,相当多的老师,不只是在给学生布置作业时没有认真去想为什么要让学生做这个题目,就连自己讲题目时也很少思考为什么要讲这个题目.章老师的提醒很是必要,特别是在功利化盛行,学生不堪重负的今天,只有思考清楚这个问题,才能使减轻学生负担得到落实.笔者在自我反思中,就有了实
2、践章老师文中提出的解题四个目的:加深理解和掌握双基;学会思考,培养和发展能力;查漏补缺;培养学习习惯的冲动,于是,将以一个二元函数最值问题解法的探究为课题的解题教学设计,修改为以一类二元函数最值问题的求解策略探究为课题的解题教学设计,并给高三的学生和数学教师上了一节研究课.现将自己备课,上课,自我反思等相关资料整理出来,以此参与做题目,为什么的研讨.二,修改前后的教学设计1.修改前的教学设计课题:一个二元函数最值问题的解法探究教学目标:(1)通过对一个典型二元函数最值问题解法的探究,初步掌握求解二元函数最值常用的均值不等式法,数形结合法,类比转化法等方法,了解向量法;(2)通过教学,让学生体会
3、类比转化,数形结合的思想方法在解决问题中的作用.教学过程设计:问题:在平面直角坐标系中,已知A(1,3),B(6,1),C(3,4).(1)若P(,Y)是线段BC上的一点,则xy的最大值是.分析:由已知P(x,y)是线段BC上的一点,得+Y=7,且,Y均为正数,所以可考虑利用均值不等式求解.解:因为P(x,Y)是线段BC上的一点,所以,y满足+Y一7:0(36).即+Y=7,由均值不等式Y()=()=494,当且仅当=y=时取等号.点评:均值不等式是求解二元函数最值问题的常用方法.问题变式:(2)若P(,Y)是AABC区域内(包括边界上)的一点,则xy的最大值是一分析1:由于此间题的情境与线性
4、规划问题求解的情境相同,所以类比线性规划问题中求解线性目标函数最值的方法,有如下解法:解法1:令=yy=(>o),当越来越大时,函数y=旦的图像就越远离坐标原点.由数形结合可知,当y:的图像与AABC区域内(包括边界上)线段BC相切时,k最大.由kY得k:(7一)Y=一+7(36),=(一)+,当且仅当=Y=7时,=4点评:虽然本题不是线性规划问题,但我们可以通过类比解决线性规划问题的方法,通过转化,解决.1一lI中小学数学.中学版l_-理论与实践陌生的问题.分析2:由于,Y是P点的横,纵坐标,且为正数,这时,可以看作分别以横,纵坐标大小为邻边的矩形的面积,我们有如下解法:解法2:由题意
5、,Y为正值,所以,可以看作是以,Y为邻边的矩形的面积,如图1,当P位于三角形内部时,显然P处的面积小于处的面积;当点P在三角形边界上时,易得P点在线段BC上时面积最大.同样的方法可得的最大值为.点评:如果目标函数具有几何意义,可通过数形结合寻找思路.例如,若求二的最值,就可以看成两点连线的斜率,利用斜率的几何意义求解;若求(+1)+(y一2)的最值,就可以看成两点间距离的平方,也就是利用求两点间距离的最值求解,等等.分析3:在线性规划中,目标函数ayg+by可以看作两个向量的数量积,即十by=(a,b)?(,Y),类比此思路,本题还可以有如下解法:解法3:由于xy=1(,y)?(,),P(,Y
6、)关于Y=对称的点为P.(y,),设向量与向量的夹角为,则=1?=1II?.os,显然,只有当II较大,且较小时,才可能取得最大值.如图2,知只有当P点在线段Bc上时,:1IIc.s最大,以下同解法1.点评:此解法运用了构造法,类似的还有,如Iax+cI:.圭,可构造点到直a+D线的距离,等等.小结:求解二元函数最值常用的方法:均值不等式法;类比转化法;数形结合法;向量法.2.修改后的教学设计课题:一类二元函数最值问题的求解策略探究教学目标:.2.高中(1)通过对具体二元函数最值问题解法的探究,理解并掌握根据约束条件将二元最值问题转化为一元最值问题的求解策略;(2)通过教学,进一步加深对线性规
7、划问题求解方法的认识,进一步认识已学函数及圆锥曲线方程中参数的变化对图形的影响;(3)引导学生经历解题的完整过程,体会如何审题,如何寻找思路,体会数学思维的特点.教学过程设计:问题探究如图3,在平面直角坐标系中,已知A(1,3),B(6,1),C(3,4).(1)若P(,Y)是线段BC图3上的一点,则xy的最大值是;第一步,审题(将文字语言翻译为图形语言或数学符号语言).若P(,Y)是线段BC上的一点,Y满足+Y一7=O(36).重新叙述原问题:已知,Y满足+Y一7=0(36),求的最大值.第二步,思路分析.这是一类什么样的问题?(函数最值问题)目标函数是一元还是二元?(二元)大家平时最拿手的
8、是求解哪一类函数的最值?(一元函数)一元函数求最值的通法是什么?(求导)那么,这里的二元函数能转化为一元函数吗?(可以)如何转?(通过约束条件中的等式)第三步,运算求解.由已知,+Y一7=0,36,得Y=7一,贝9xy=x(7一if,)=一+7,36,所以,当=时,的最大值为.第四步,检验作答.当取得最大值时,当且仅当=3,6.故当P点位于线段Bc上的点(,)时,有高中理论与实践最大值,且最大值是.叶第五步,反思归纳.这是一类约束条件具有什么特征的二元最值问题?我们是采用什么样的策略解决这个问题的?我们是如何将二元转化为一元的?(通过约束条件给出的等式)如果转化成的一元函数不是我们常见的基本初
9、等函数,如何求解?(可用求导的方法)问题变式(2)若P(,y)是AABC区域内(包括边界上)的一点,则xy的最大值是.思路分析:P(,Y)是AABC区域内(包括边界上)的一点rx一2y+50.2+5y一170,【+一70.重新叙述原问题:r一2y+50,已知,Y满足2x+5y一170,求xy的最大【+y一70,值.此题要解决的是哪一类问题?以前求解过类似的问题吗?以前求解过的问题是?例如,(简单线性规划问题)线性规划问题的求解步骤是?你能类比线性规划问题的解法尝试解决这个新问题吗?令k=xy,则Y=_竺_,这是初中学过的反比例函数,那么当k变化时,其相应的函数图像有什么样的变化规律呢?不妨取k
10、=1,2,3,当k越来越大时,图像就越中小学数学坤学版Il誓远离坐标原点.7.如图5,当Y=在第一象限的图像与三角形区域上的线段BC只有一个交点时,k最大.此时,问题转化为在线段BC上找一点P(,Y),使y最大,显然,这个问题就是我们第(1)问解决的问题,所以此问题得以求解.反思第(2)问的二元最值问题与第(1)问的最值问题最大的区别在于,其约束条件不是等式,而是由线性不等式组构成的,所以,无法通过约束条件将目标函数转化为一元函数.这时,我们转而从目标函数本身出发,通过令k=xy,引入参数k,虽然这样做多出了一个参数,但却得到了含有,Y的等式,从而可以利用此等式,将二元函数转化为一元函数Y=,
11、然后利用k在一元函数中的几何意义,数形结合,找到取得最大值的条件,最终通过代数途径解决了这个问题.归纳至此,通过探究,我们得到了约束条件为等式与不等式时二元最值问题的基本策略,就是转化,既可以考虑从约束条件(一般是等式)转化,也可以考虑从目标函数出发(约束条件是等式或不等式均可),通过引入参数,将其转化为一元函数,再根据参数的几何意义,利用数形结合加以求解.拓展延伸从以上解题思路来看,线性规划问题的求解方法,实际上是给出了一类二元最值问题的求解方法(更重要的是此方法中包含的转化思想).那么,能否类比以上思路求解更一般的一些二元函数最值问题呢?让我们对以前做过的相关问题加以梳理,并尝试求解下列问
12、题:r一2y+50,已知,Y满足2+5170,【+一70.求+Y的最值;求y的最值;求上的最值;.3一_l中小学数学坤学版求+Y的最值;若Y=a(o>0,a1),求a的最大值;若Y=log.(.>0,且a1),求a的最大值;求+Y的最值;.2求L的最值.石小结(1)一类二元函数最值问题的求解策略(从强化基本概念,基本技能角度进行总结):这里的一类是指可转化为与基本初等函数,圆锥曲线等相关的二元函数的最值问题;这类问题的求解策略就是转化;如何转化?通过等式;没有等式如何转化?引人参数,构造等式进行转化.(2)如何学会解题,学会思考(从学会思考,发展能力角度进行总结):如何审题:审题的
13、过程就是三种语言转化的过程,是运用概念思考判断的过程.如何寻找思路:模式识别,(类比迁移)化归转化,差异分析,递进解决.运算求解:确定运算目标,选择运算路径,准确,简捷,快速.检验作答:对特殊情况的检验,对等号成立条件的确认,结果是否符合实际意义等.反思归纳:从知识内容,思想方法,拓展延伸等角度进行.(3)基础知识的进一步巩固,理解和查漏补缺(从巩固双基,查漏补缺角度进行总结):线性规划问题的求解思想与方法;(算法化步骤)在函数学习中,我们既要关注自变量的变化对因变量Y的影响,还应关注函数中参数的变化对图像的影响.例如正比例函数Y=kx中,k的变化对图像的影响;一次函数Jax+b中,.,b的变
14、化对图像的影响;二次函数y=ax+c中,a,b,c的变化对图像的影响;指数函数Y=a中,n的变化对图像的影响;对数函数Y=log中,a的变化对图像的影响;幂函数Y=a中,的变化对图像的影响;.d.理论与实践高中圆的标准方程(a)+(Yb)=/2中,a,b,r的变化对图像的影响;椭圆+告:1中,.,b的变化对椭圆形状的影U响;抛物线y2=2px中,P的变化对抛物线形状的影响等等.三,实践与思考本节课授课时采用的是修改后的第二种设计方案,面对的是已经学完高中规定课程刚升入高三的学生,他们的基础状况属于中等水平.从课堂上学生的反馈来看,大多数学生通过教师提出问题,都能积极地参与到教学活动中来,通过教
15、师的引导,能积极进行思考,并参与一定的探究活动.通过课堂上学生愉悦的表情,课后与学生和听课教师的交流获知,本节课较好地达成了设计时提出的教学目标,教学效果良好.在与教师的交流中,听到最多的感叹是:通过这道题竟然把那么多知识与方法都串起来了;既讲了知识,又教了学法;线性规划问题的求解方法竟然包含那么丰富的数学思想;等.我想,如果讲课中使用的是第一种设计方案,听者是否还会有这样的感叹?第一种设计方案,是高中数学解题教学中常见的一种设计思路.对教师而言,选一道题目做例题,首先看中的是这道题有多少种解法,这些解法是否新颖,也就是说,是否有技巧性强且简捷的方法.老师这样设计的目的,是希望给学生在思路上有
16、更多的发散,增长他们的见识,希望学生在遇到陌生问题时也会灵光一现,并用上老师所讲的技巧,但实际情况并不像老师所期望的那样.关于这一点,罗增儒教授曾说过:数学是教不会的,是教学生学会的.解题教学中,教师往往注重解法的罗列,缺乏的是对各种解法及其内在联系的深入剖析和多种解法的归一.对于那些技巧性强的方法,虽然能令学生眼前一亮,但要让学生真正理解并在需要时灵活应用几乎是不可能的.章建跃博士经常讲的一句话是技巧,乃雕虫小技,不足道也.技巧性强,意味着需要更严格的条件,例如,利用均值不等式求二元函数最值时,需要三个条件,且缺一不可,如果P点所在区域中,Y有一个为负,就不能用了,所以它并不是解决二元最值问
17、题的高中理论与实践通法;还有向量法,如果说o+by=(n,b)?(,Y)容1易想到的话,那么xy=%-(,Y)?(Y,)就很难想到厶了;数形结合法也是如此.虽然上述方法也是解决二元最值问题的几种途径,但由于有很大的局限性,适用范围很窄,而且受学生基础水平的制约,所以,不可能称之为解决二元最值问题的通性通法,学生是不可能真正掌握的.显然,这样的解题教学已经偏离了解题教学的四个目的,这样的解题效果是可想而知的.解题教学可以说是数学教师的家常便饭,所以,很多教师就有点审美疲劳,例行公事,忘了做题目,为什么这个根本.很多老师认为,只要自己会做数学题,就能给学生讲出来,因此,我们看到,相当多的教师把做题
18、当做教学活动中的中心工作了,特别是高三教师.为了使我们的解题教学回归其根本,在日常的解题教学中,我们应该时亥0想一想做题目,为什么,这样才能提高解题教学的效果.那么,怎样才能尽可能地提高解题教学的效率,以达成掌握双基,查漏补缺,学会思考,发展能力的目标呢?通过对解题教学的初步实践,笔者认为应抓住以下几点:第一,解题教学要紧紧围绕对已有知识,方法的挖掘以及通性通法的归纳展开.这是解题教学的出发点,也是重点.比如,笔者在对第一种教学设计修改时,重点思考了两方面的问题:一是通过解题教学从知识角度要达成的目标,即通过对线性规划求解方法的剖析,发现其本质就是通过构造等式将二元转化为一元.由于此方法有广泛
19、的适用性,因此就具有了迁移的条件,从而不只是可以解决二元线性函数的最值,更重要的是还能解决一类二元最值问题;二是解决二元函数最值问题的通性通法是什么?一个词:转化.所以,教学时紧紧围绕强化通性通法展开,舍弃了设计一中多种解法的罗列,重点突出,适合学生认知基础,从教学效果看,这一修改起到了至关重要的作用.第二,解题教学要围绕如何根据数学概念进行思考,寻找思路展开.我们在日常的教研中得知,有些教师高一至高三没有给学生系统讲过如何解题,如何审题,如何寻找思路,更没给学生归纳过解题的算中小学数学坤学版IlI法化步骤,大多学生解题更多的是靠碰运气,而让学生在解题后主动进行反思,归纳更是天方夜谭.通过解题
20、教学要让学生体会到,做题也是有章可循的,寻找思路也有着基本的套路,做题时对而不全也是可以避免的.例如,笔者在做第二种设计时,用解题的五个步骤将解题过程串起来,并重点强调了如何审题,如何寻找思路.目的是让学生体会解题也是有算法的,同时,让学生体会在解题过程中是如何运用所学基本概念进行思考的,如何发现思路的,教会他们在面对陌生的问题时如何分析,如何转化,进而找到解决问题的方法.因此,教学中要充分发挥解题教学的功能,力争实现教会学生思考,养成良好的学习习惯,最终发展学生的数学能力.第三,解题教学要围绕对知识的查漏补缺展开.在高三课堂教学中,对知识的查漏补缺常常是通过教师对知识点的罗列,学生的简单回顾
21、,教师的纠正和对知识的几点注意完成的,这种查漏补缺更多是形式层面的.要对知识进行深层次的认知,通过解题是较为有效的途径.当解题思路出现障碍时,会引发学生的认知冲突,也必然会引发学生对原有知识的进一步理解与反思,这种形式对学生触动较大,效果自然会更好一些.例如,笔者在选择例题中二元目标函数的形式时,刻意选择乘积形式,因为,学生对一次,二次,幂,指,对函数,三角函数中参数变化对图像的影响有了较多的了解,而通过此题就可以对Y=中k的变化对图像的影响进行查漏补缺,必然引发学生的自主探究.以上是笔者对做题目,为什么从解题教学角度所做的初步实践与思考,希望以此引发教师对这一话题更深入的实践与探讨,从而改进解题教学,注重课堂实效性,达成提升学生数学素养,发展数学能力的目的.参考文献:1.章建跃.做题目,为什么J.中小学数学,2011,6.2.罗增儒.数学解题学引论M.西安:陕西师范大学出版社,2001年7月第2版.3.吕辉.解一道高考题的思维进阶J.中学数学教学参考,2010,6.5一
