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1、本 科 毕 业 设 计（论文）( 2012届)（文 献 综 述）题 目：一元次方程解的存在性与求解方法的发展史学 院: 数学与信息科学专业: 数学与应用数学班级: 08数本1姓 名:吕怀远学 号:08109323119指导老师:何文明一元次方程解的存在性与求解方法的发展史文献综述摘要：一元次方程解的存在性与求解方法在数学的发展过程中曾起过非常重要的作用，在中学数学中我们主要接触了一元一次方程与一元二次方程的解法，但并没有学习一元三次方程与一元四次方程的解法，在复变函数中我们知道任意一个一元次方程在复数域中都存在解，但并没有学习对于一般的一元次方程，是否存在解法。关键字: 一元次方程/存在性/求
2、解方法学习的认知结构理论告诉我们：数学学习过程，是一个数学认知过程，其实质是一个数学认知结构的发展变化过程，数学思想在数学认知结构中发挥着极为重要的作用。数学思想也可以看做是数学知识的组成部分。中学数学教学内容是数学课本中的表层内容，数学思想处于潜形态。对一元二次方程的研究与应用在古代中国，一元二次方程的研究有着极其悠久的历史，是中国古代数学的非凡成就之一。早在古老的数学名著中就有一元二次方程求解问题，不仅给出了“开带平方”法，还给出其他的一些解法，这在当时都是无与伦比的成就。后来还有一大批中国数学家在理论和应用方面继续深入研究，并取得了重大的成果。公元3世纪，我国出现了利用公式求二次方程根的
3、做法。三国时的赵爽对二次方程做出的贡献十分突出，他巧妙的应用“出入相补原理”，由几何图形的直观出发，在勾股圆方图注中，列出了关于直角三角形三边关系和由此引申的一系列命题和结论。公元724年唐朝数学家张一行，对方程采用了公式来求解。公元3世纪，杨辉又分别使用了公式和求和的根。中国人发现一元二次方程根与系数的关系以及求根公式的运用比法国数学家韦达要早1000多年。外国对二次方程的研究要远落后于中国，埃及人和巴比伦人都尝试过解形如的二次方程。亚历山大时代的希腊数学家赫龙对这种二次方程作了一般性的处理。将这种二次方程以作为最一般的形式加以研究讨论是印度数学家阿里阿巴他、布拉马格普他和巴斯卡，当时他们都
4、了解正数和负数，也懂得正数有两个平方根，所以二次方程有两个根。公元前2世纪，希腊数学家海伦用配方法解出了的解，因为海伦没有负数的概念，所以他得出的也只是一个正根。公元7世纪，印度天文学家婆罗摩籍多给出了与海伦类似的公式。公元9世纪，中亚细亚的乌兹别克人阿尔.花喇子模在他的名著代数里罗列了各种类型的二次方程的解法，但这些解法都任是几何的，其实质和中国的出入相补原理相似，但是他有另一个重要的贡献就是他提出了“移项”，“合并同类项”的方法，这不仅使方程变形容易的多而且还可以用过移项使方程的负数项变为正系数项，能求含有负系数项的二次方程的根。公元12世纪，印度数学家婆什伽罗在婆罗摩籍多的基础上发展了她
5、的成就：一是把婆罗摩籍多的公式给出了完整而又清楚的表述;二是给出了求根公式；三是确认二次方程有两个根，承认了复根的存在。一元高次方程的发展 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。 根据代数基本定理可以推出：复数域上次多项式恰有个复数根，其中重根以个根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何次多项式都可以分解成个一次式的乘积。” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法 三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是说，是否有求根公式？经过漫长的研究之路
6、，直到16世纪，意大利数学家卡当（Candano）及其助手才先后给出了三次和四次方程的根式解。不失一般性，可以设三次方程中的系数为1，则三次方程为 其中是任意复数。若令，则三次方程简化为 其中， 设表示简化方程 的根，则据根与方程系数的关系，得。 若令，。对于适当确定的立方根，卡当公式是，求解线性方程组，得到，于是，原三次方程的三个根为，。其中，（是虚数单位）。 对于四次方程求根，就更加复杂了。但数学家们还是找到了一个解四次方程的办法。与三次情形类似，用一个平移，消去方程的这一项，于是可假定四次方程为 然后构造方程的预解式 这是的三次方程。通过这个三次方程解出，把得到的代入，可以把原方程化为两
7、个二次方程来求根。因而可以说，对于次数不超过4的方程，都可以找到根的计算公式，使得方程的每个根可以用方程的系数经过加减乘除和开方运算表示出来。做这件事就叫做根式求解。 由四次方程根式可解的突破，使当时许多著名的数学家几乎都相信任意的五次方程也一定可以根式求解，并以极大的热情和自信寻找五次或更高次数方程的求根公式。从16世纪中叶到19世纪初，为了获得五次方程解的类似结果，最杰出的数学家，如欧拉、拉格朗日，都曾做过一些尝度，但都没有成功。1771年，拉格朗日，才开始怀疑这种求根公式的存在性。他通过分析发现，次数低于5的代数方程求根，都可以经过变量替换，先解一个次数较低的预解式，再代入求原方程的解。
8、到了五次方程，情况完全变了，预解式的次数不是降低了，而是升高了。1801年，高斯也意识到这个问题也许是不能解决的。直到1813年，拉格朗日的学生鲁非尼（Ruffini）终于证明了，通过找预解式的办法来求解五次方程是行不通的。鲁非尼的结果只是说用拉格朗日的办法解五次方程是不可能的，并不能说不存在其他的解决办法。1826年阿贝尔发表了五次方程代数解法不可能存在一文，第一个正式从否定的角度来谈求根公式的存在。他证明了“具有未定系数的、高于4次的方程是不能用根式求解的”。不过他的思想当时是有很多人（包括高斯在内）表示不理解，而且他的证明也还不很清楚，有一些漏洞。他也没有给出一个准则来判定一个给定的高次
9、代数方程是否可以根式求解。阿贝尔的结论具有广泛性，但并不排除对一些特殊的5次和5次以上方程具有根式解，例如，就有根式解。于是更深刻的问题被提出了：一个方程有根式解的充要条件是什么？这个在代数方程中至关重要的问题被法国青年数学家伽罗华（Galois）彻底解决（但伽罗华理论在他死后约15年，1846年才发表）。伽罗华的思想就是把方程的求解问题转化为确定对应的伽罗华群是否为所谓的可解群的问题。当对应的伽罗华群是可解群，则方程就是可以根式求解的，否则就不可以根式求解。【参考文献】1英克莱因著,古今数学思想 M中译本第1,第一版，上海科学技术出版社，2002.82 英克莱因著,古今数学思想 M中译本第2
10、,第一版，上海科学技术出版社，2002.83 英克莱因著,古今数学思想 M中译本第3,第一版，上海科学技术出版社，2002.84杨世明主编，中国初等数学研究文集，M河南：河南教育出版社，1992.65中学数学教师手册编写组编，中学数学教师手册M上海：上海教育出版社，1986.56 路见可，复变函数,，武汉大学出版社，第4版,，20087蓝以中，高等代数简明教程，北大出版社，2002年8 吴文俊， 世界著名数学家传纪（上），科学出版社，1995（P400-407）9 沈文选 杨清桃， 数学方法溯源(中学数学拓展丛书，哈尔滨工业大学出版社（2008）10 杜瑞芝，数学史， 山东教育出版社，2000
