《毕业论文－抽签原理在生活中的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业论文－抽签原理在生活中的应用.doc（16页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、摘 要通过抽签原理的证明，来阐述抽签原理的合理性；针对抽签原理中的“无放回逐一取出”和“抽签的先后秩序”，各举例子来阐明；在通过实例来体现抽签原理在生活中的应用，以及在求解概率论中此问题来讨论抽签的优劣。以便今后能更好地运用抽签原理来解决一些概率论的问题。关键词 ： 抽签原理 概率论 系统抽样 分层抽样AbstractProof of principle by drawing lots, to the principle of the rationality of the drawing of lots; Principle drawing of lots for the no back ou
2、t one by one and drawing the sequence of order, the examples to illustrate. Through the example of the principle embodied in the life of the drawing of lots of applications, as well as in solving the problem of probability theory to discuss the merits of the drawing of lots. To the future to better
3、utilize the principle of drawing lots to resolve the issue of some probability theory.Key words Principle drawing; Probability Theory; Systematic sampling; Stratified sampling 目 录前 言4第 一 章 抽签的由来及抽签原理的定义4第 二 章 抽签原理的合理性及其证明4第 三 章 抽签在生活中的应用7第 四 章 讨论抽签的优劣8结 论 10致 谢 11参考文献 12 前言第一章 抽签的由来及抽签原理的定义概率论同其它数学分
4、支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累。而抽签原理是随着概率论的发展形成的一个重要知识结构。抽签是一种游戏，是一种机会性的游戏。所谓机会性游戏，就是靠运气取胜的一些游戏。如：赌博等。而这种游戏不是哪一个民族的单独发明，它出现在世界各地的许多地方，如埃及，印度，中国等。著名的希腊历史学家希罗多德（herodotus）在他的巨著，历史中写道：早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿的困扰，经常聚集在一起掷骰子和紫云英，这是一种叫做“猎犬与互狼”的游戏，照一定规则，根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。抽签就是从这些游戏中产生的。设盒中有根签，其中有根特征签（
5、=1，2，3，4，,）从中无放回地逐一取出，假设每根签被取到的可能性相同，则对任意的（=1，2，3，4，,），第次取到特征签的概率都等于，此称为抽签原理。从这一原理，可知抽到特征签的概率都等于盒中的特征签数与总签数的比值，但是，并没有因为抽签的顺序不同而影响到其公平性。第二章 抽签原理的合理性及其证明下面来证明抽签原理：当时，即第1次取到特征签的概率，显然。当时，即求第2次取到特征签的概率，先来分析一下：把前2次抽签的情况作一整体分析，从根签中先后抽出2根签，他的种数有，而其中第2次取到特征签的情况有种，故同理，可知，第次取到特征签的概率（=3，4，5,）。综上所述，对任意的（=1，2，3，4
6、，,），第次取到特征签的概率都等于。也就是说，每次取到特征签的机会都是相同的，且不会因为抽签的顺序不同而受到影响。即运用抽签这个方案解决一些问题是比较科学的，合理的。针对抽签原理中的“无放回逐一取出”和“抽签的先后秩序”各举例子阐明。例2.1 袋中有1，2，3， ，号球各一个，采用两种方式摸球： 无放回， 有放回，试求在第次摸球时首次摸到1号球的概率。解：设“第次摸到1号球”（=1，2，3，4，） 无放回摸球： “第次摸到1号球”意味着前次都未摸到1号球，第次才摸到1号球，第次摸到1号球，所以： 且它们不独立，于是： = 有放回摸球：因为 且它们相互独立，所以 =从而可知“无放回摸球”与“有放
7、回摸球”是有区别的，且它们的区别主要体现在 以下三个方面： 1） 无放回摸球是指每次摸出的一球放出袋外，下次再摸球时总数比前一次少一；而有放回摸球是每次摸出一球，再放回袋内，下次再摸球时的总数不变。 2） 无放回摸球各次抽取不是相互独立的，而有放回摸球各次抽取是相互独立的。 3） 对无放回摸球来讲：事件“无放回地逐个取个球”与事件=“一次任取个球”的概率相等，即，而对有放回摸球来讲：事件=“有放回地逐个取个球”与事件=“一次任取个球”的概率一般是不相等的，即。因为抽签和摸球是一种游戏，所以抽签必须是作无放回地逐一取出。不仅对每个抽签者公平，而且对于这个抽签方案才是比较合理的。即抽签原理的合理性
8、就在于每个抽签者抽到特征签的概率相等。抽签是有先后秩序，那么它对于每个抽签者公平吗？例2.2 有5张可当场兑奖的彩票，其中2张是有奖的，由5个人依次各抽一张彩票，那么在后抽人不知道先抽人抽到的结果下，先抽还是后抽，对各人来说公平吗？如果后抽人知道先抽者的结果，中奖概率是否不同？这是否影响了抽奖的公平性呢？ 解：若后抽的人不知道先抽的人的结果，由抽奖原理知，不管是先抽还是后抽，每人中奖的概率都是，即对每个人来说都是公平的。若后抽的人知道先抽的人的抽奖结果，则求后抽人的概率。设第1个人为甲，第2个人乙，显然，甲中奖的概率是，当乙知道甲中奖在去抽奖，则乙的中奖概率是，乙似乎亏了；当乙知道甲没有中奖，
9、再去抽奖的概率是，乙似乎占便宜了。这里和分别是在已知中奖的情况下，乙中奖的条件概率，都不能算是这个抽签方案中乙中奖的概率，因为“甲中奖”和“甲不中奖”是互斥事件，按互斥事件的和事件概率计算方法可知这个抽签方案中乙中奖的概率为：用同样的方法可以计算其他人中奖的概率都是.由此可见，对于这个抽签方案而言，每个中奖的概率都是，与抽签的次序无关，无论先抽还是后抽，对每人都是公平的。即，不管后抽人是否知道先抽人抽到的结果，都不影响它的整体分析，也不会影响抽签的公平性。这也是抽签原理应用的合理性。第三章 抽签在生活中的应用应用抽签原理解决概率论中的一些问题。例3.1， 抽签口试，共有张不同的考签，每个考生抽
10、1张考签，抽过的考签不再放回，考生王某会答其中张，他是第个抽签者,求王某抽到会答考签的概率。解 方法一：把张考签依次抽出来，抽法总数为！，“王某抽到会答考签”即第张必须且只须是王某会答的张中的一张，从而第张有种抽法，其中张有种抽法，因此，王某抽到会答考签的结果有种，所求的概率为：=方法二：由抽签的原理可知：把张考签看成根签，王某会答的张考签看作成根特征签，王某是第个抽签者看作成第次抽签，所以第次取到特征签的概率就是王某抽到会答考签的概率。所以，王某不论先抽还是后抽，他抽到会答考签的概率都是。例3.2. 有一张精彩的球赛票，三位球迷谁都不愿意放弃观赏球赛的机会，那么最好的办法就是抽签，那么到底是
11、先抽好还是后抽好呢？解：由抽签原理可知：三位球迷抽到特征签的概率都是1/3。即抽签时每人机会均等，而与抽签先后秩序无关。所以三位球迷不必先争恐后。也可以用图来分析：假设三张签上标有符号，抽到表示中签，则抽签的全部情况如图所示：（其中1.2.3表示抽签的序号）123 所以，不论是第几个抽签，中签的概率都是2/6=1/3。第四章 讨论抽签的优劣世间的万事万物都具有两面性，有好必有坏，有优必有劣等，抽签也毫不例外。在解题方面，有些问题，应用抽签原理比较简单，这也是抽签的优势。例4.某用户忘记了电话号码的最后一位数字，于是随意的拨号（拨过的号码下次不再拨），求他在不多于三次内通的概率？如果已知最后一位
12、数字是奇数，那么此概率又是多少呢？解 方法一：用表示事件“第次拨通”（=1,2,3），则不多于三次内拨通的概率为：= =+ =在已知最后一位数字是奇数的条件下，所求的概率为：= =+ =方法二：视号码最后一位数可能是0,1,2,，9为10根签，该位正确号码视为一根特征签，于是第次才能拨到正确号码的概率即为第次抽到特征签的概率（=1,2,3）,由抽签原理知此概率都是0.1，即得到在不多于三次内拨通的概率为0.3，在已知最后一位是奇数时，用同样的方法可以求得在 不多于三次内拨通的概率为0.6。所以，在求解概率论习题时，恰当运用抽签原理，可以起到启迪思路，化解难点与简化问题的作用。抽签原理的优势是许
13、多的，前面基本上都是讲抽签原理的优势，抽签原理最明显的优势是;抽签原理体现了抽签的和理性与公平性，而且，这种抽签的方法是比较简单的，比较简便易行的，当总体个数不多时，适宜采用这种方法。而对于抽签原理的劣势就是：1）.当总体中的个数较多时，采用抽签原理较为费时。例4.2 为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本。分析：若运用抽签原理，从1000名学生中抽取50个学生，显得比较繁琐，费事.故此题采用系统抽样的方法。所谓系统抽样就是将总体分成均衡的几个部分，让后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本。解：设这1000名学生的编号是1，2，
14、3，,1000，因为 所以，将总体均分成50个部分，其中每一部分包括20个个体。若第一部分的个体编号是1，2，3，,20，然后在第一部分随机抽取一个号码，比如它是第10号，那么从第10号起，每隔20个抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：10，30，50，70，90，,970，990.所以证明，每个个体被抽取的概率都是1/20，2）.已知总体由差异明显的几部分组成，要从中抽取一个样本。若采用抽签原理抽样，不能充分地反映总体的情况。而是将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样方法叫做分层抽样。其中所分成的各部分叫做层。例4.3 一个单位的职工有500人，其中不到35岁的
15、有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本。分析：由于职工年龄与这项指标有关。若采用抽签原理抽样，很明显，抽取的样本不一定能充分反映总体的情况。故采用分层抽样地方法进行抽取。 解：因为样本容量与总体的个体数的比为：所以，在各年龄段抽取得个体数依次是：125/5,280/5,95/5 即25，56，19.再运用抽签原理或系统抽样的方法：将各年龄段的个体合在一起，就是所要抽取的样本。可以证明每一个个体被抽到的概率都是相等的。这就是抽签原理的劣势所在。结 论抽签原理是与先后秩序无关的。它对于每个抽签者抽
16、到特征签的概率是相等的。在日常生活中应用它也是很广泛的。抽签原理的优势是比较简单，比较简便易行的；抽签原理的劣势是：适用个体数较少，差异不明显的总体。致 谢 本研究及学位论文是在我的导师戴老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。戴老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向戴老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文能够顺利完成。最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！参考文献1 王幼军.概率论的起源机会性游戏J.上海: 上海师范大学教育科学学院(数学教学)，2004年第6期2 钱珮玲,邵光华. 数学思想方法与中学数学M.北京：北京师范大学出版社,2001年:10-153 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社，2001年12月 ： 12-18 4 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学数学（必修）第二册（下A）M.北京： 人民教育出版社,2002年10月 ：136-1375 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学数学（选修）第三册M.北京：人民教育出版社,2004年4月：18-25
