求解对流扩散方程的pade逼近格式毕业论文.doc

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1、新疆大学毕业论文(设计)题 目: 求解对流扩散方程的pade逼近格式 所属院系：数学与系统科学学院_专 业：数学与应用数学_声 明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。声明人（签名）： 2012年 月 日买买提江.卡热同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。指导教师（签名）： 2012年 月 日新 疆 大 学毕业论文（设计）任务书班 级：应数08-1 姓 名：买买提江.卡热论文（设计）题目 : 求解对流扩散方程的p

2、ade逼近格式专 题： 毕业设计 要求完成的内容： 学习和掌握一维对流扩散方程已有的各种差分格式的基础上，对流扩散方程对对空间变量应用二阶中心差分格式离散，对时间变量应用pade逼近，构造基于pade逼近的扩散方程数值格式，讨论稳定性，最后数值例子来验证。 发题日期：2011 年12月25 日完成日期：2012 年5月22 日实习实训单位： 地点： 论文页数： 20 页； 图纸张数： 8 指导教师： 教研室主任： 院 长： 摘要 本文首先对对流扩散方程经典差分格式进行复习和讨论，然后对空间变量中心差分格式离散，所得到常微分方程组利用指数函数的Pade逼近格式得到截断误差为的两层绝对稳定的隐式差

3、分格式，并讨论了稳定性，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明,该方法是有效求解对流扩散方程的数值计算.关键词: 扩散方程；Pade逼近 ； 两层隐格式； Crank-Nicolson格式ABSTRACTThis paper first study on some classical finite difference for the convection diffusion equation secondly we apply central difference approximation of second order for discrediting sp

4、atial derivatives and pade approximation in time direction derived opal truncation errortwo level unconditional ball satiable implicit scheme and discussed the stability. Numerical experiments compared with Crank-Nicolson scheme. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method

5、for solving convection -diffusion equation.Keywords: convection -diffusion equation；pade approximation；two level implicit scheme； Crank-Nicolson method目录1引言11.1预备知识22.对流扩散方程的几种常见的差分格式42.1中心显式差分方法及性质42.2 Leap-Frog/ Dufort-Frankel 差分方法及性质：52.3 Crank- nicolson 型隐式差分方法及性质：62.4隐式迎风格式及性质73.本文差分格式的建立83.1本文

6、高精度紧致差分格式. . 8 3.2 稳定性分析94数值实验125结论22致谢23参考文献241. 引言考虑简单的对流扩散方程 ，其中为常数， (1)对流扩散方程是一类在物理上有着重要意义的抛物型方程，通常我们将对流方程和扩散方程的差分方法结合起来就可以得到对流扩散方程的差分方法，当极小时，方程反映对流方程的特征，当极小时，方程反应扩散方程的特征,但另一方面，对流扩散方程也有其独特的特点，在自然科学中很多现象是用对流扩散方程或方程组描述的，一般方程的准确解很难得到的，因此大多数情况用数值方法求解。本文考虑采用差分格式进行求解。目前对该问题主要差分格式有中心显式差分格式, Dufort-Fran

7、kel 差分格式,Crank-Nicholson 格式等2，3, 一些常用的数值解法将会遇到某些共有的困难，例如,计算出来的数值解具有较大的数值扩散或较大的非物理性振荡现象4 因此研究对流扩散问题的新的数值解法具有十分重要的意义。文5中用时间离散方法对对流扩散方程求解得到了空间方向具有7阶精度的差分格式,但是在时间方向具有2阶精度。本文中对对流扩散方程x方向应用二阶中心差分离散,t 方向保持变，得到对时间变量的常微分方程组，如果x方向分的越细.求解常微分方程组时出现刚性现象,为了避免刚性和有效的求解扩散方程本文用pade逼近方法有效地求解该问题得到截断误差为的两层绝对稳定的隐式差分格式，并讨论

8、了稳定性，数值值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明,该方法是有效求解对流扩散方程的数值计算.本文分为三大部分，第一部分简单介绍对流扩散方程的经典差分格式，第二部分主要介绍对流扩散方程的pade逼近格式的构造和稳定性，第三部分给出具体的数值算例，结果与Crank-Nicolson格式，准确值进行比较，最后给出结论1.1预备知识利用下面的各种数值微分公式得到不同的差分格式，（2）截断误差：一般说来，微分方程的解不会精确地满足差分方程。将差分方程中的各个项同时用微分方程的解在相应点的值代入，利用泰勒展开，就会得到一个误差项，这个误差项就是截断误差。相容性：若时间步长以及

9、空间步长同时趋于，截断误差，就说差分格式与微分方程是相容的。一个差分格式与一个微分方程相容，则表明当时，差分算子与微分算子对任一光滑函数的作用是相同的，所以可用相容的差分格式近似相应的微分方程，而截断误差则是对这一近似程度的一个度量。收敛性：考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解。如果当时间步长以及空间步长趋于时，我们称差分格式是收敛的，即时间步长以及空间步长趋于时，差分格式的解逼近于微分方程的解。稳定性：差分格式的计算是逐层计算的，计算第层上的时，要用到第层上计算出来的结果。计算时的舍入误差，必然会影响到的值，从而就要分析这种误差传播的情况。因此，一个有实用价值的数值方法应该具

10、有能够控制这种误差影响的性能，这就是数值方法的稳定性。精度：如果一个差分格式的截断误差，就说差分格式对时间是阶精度的，对空间是阶精度的。Lax 等价定理：给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分格式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件。定理1（von Neumann条件） 微分方程（1）的差分格式稳定的必要条件是当，,对所有有 ， 其中为增长因子（或增长矩阵），表示的特征值，为常数。 定理2 如果差分格式的增长矩阵是正规矩阵，则 von Neumann 条件是差分格式稳定的必要且充分条件。 推论2.1 当为实对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时，von Neumann 条件

11、是差分格式稳定的充分必要条件。推论2.2 当时，即只有一个元素，则von Neumann 条件是差分格式稳定的充要条件。定理3 如果存在常数使得 ， ，则差分格式是稳定的。2. 对流扩散方程的几种常见的差分格式我们考虑如下对流扩散方程齐次边值问题 (3) 下面我们讨论（3）各种常见的经典差分格式的构造和稳定性2.1中心显式差分方法及性质 （4） 其中为常数，易知该格式的截断误差为。如果那么式（1）就是对流方程的一个差分格式。我们知道这是一个不稳定的差分格式。下面对于用Fourier方法讨论该格式的稳定性。 若令 ， 那么差分格式可以改写为 (5)求出这个差分格式的增长因子 其模的平方为 由于，

12、所以 （此时差分格式稳定）的充分条件为 注意到，所以上面不等式满足的条件为由此可得到差分格式的稳定性限制为说明中心显式差分方法是条件稳定的。2.2 Leap-Frog/ Dufort-Frankel 差分方法及性质 （6）其中 为常数。载断 分析： 为对流扩散方程的充分光滑解，那么由此看出，兼容性要求当 ，有 ，此时，其裁断误差为 稳定性分析 令 则差分格式（2） 可改写成由于这个格式是三层格式，由此我们化成与其等价的二层差分方程组设 把上面的方程组写成向量形式令 并将它代入上式得到由此得增长因子跟据 Gerschgorin 定理 有 其中， 所以要使该差分格式稳定，必须有 即解不等式易得所以

13、，lcap-Frog/DuFort-F rankle 差分方法也是条件稳定的，它稳定的条件为 2.3 Crank- Nicolson 型隐式差分方法及性质 （7）1） Crank-Nicolson格式考虑下列对流扩散方程的初始边界条件为： （8）2） 差分格式为： （9） nn+1j+1jj-1 从而推导所谓 Crank Nicholson 法差分格式（5）可以改写为： (10)因为不能直接算出结果，利用了三对角矩阵进行数值计算：（11）3） 截断误差为：4） 稳定条件为：通过Fourier分析因此格式是绝对稳定的。2.4 隐式迎风格式及性质1）差分格式为：（12）2）截断误差为 ：3) 稳定

14、条件为： 绝对稳定3.本文差分格式的建立3.1差分格式的建立我们考虑如下对流扩散方程齐次边值问题 (13)作剖分，将区间a, b作m等分，将区间0，T作n等分，且记分别称h和为空间步长和 时问步长，用两簇平行直线 将分割成矩形网格，称为网格结点，网格函数己作 我们对这个方程x方向离散,t 方向保持不变，对流项和扩散项分别应用二阶中心差分格式 （14） 用常数变易法解（14）得到 其中 写成迭代格式 : （15） 由的pade2/13逼近得到 （16）把（15）代入(16)得到 （17） （18）定理1： 本文差分格式（18）的精度为pade2，1对时间是三阶的，因此本文格式（15）是对时间变量

15、是三阶，对空间变量是二阶的，即。3.2 稳定性分析引理12：若A是一个N阶三对角矩阵 其中a,b,c是实数，bc0,则A的右特征值为 （19）定理2： 本文差分格式（18）是绝对稳定的；证明： （20）则， （21）假设则有因此有： (22) 由此推出显然。下面来看的特征值： （23）写成矩阵形式： 则的特征值为：它的谱半径 。因此是绝对稳定的。引理2：Z=a+bi,，Z实部小于等于0，则证明：假设Z=a+bi,在这里，又.因此有 4.数值实验数值例子1给出下面的常系数一维扩散方程初边值问题 （24）该方程的准确解为表1：数值例子1当h=0.1; =0.1;T=1时个个结点上的误差和准确解的比

16、较xC-N格式误差本文格式误差准确解0.16.9228E-069.0606E-061.5576E-054.0698E-071.60E-050.21.3168E-051.7234E-052.9628E-057.7411E-073.04E-050.31.8124E-052.3721E-054.0779E-051.0655E-064.18E-050.42.1306E-052.7886E-054.7939E-051.2525E-064.92E-050.52.2403E-052.9321E-055.0406E-051.3170E-065.17E-050.62.1306E-052.7886E-054.79

17、39E-051.2525E-064.92E-050.71.8124E-052.3721E-054.0779E-051.0655E-064.18E-050.81.3168E-051.7234E-052.9628E-057.7411E-073.04E-050.96.9228E-069.0606E-061.5576E-054.0698E-071.60E-05最大误差2.9321E-051.3170E-06表2：数值例子1当=0.001，T=1时不同空间步长的收敛界的比较hC-N格式本文格式最大误差收敛阶最大误差收敛阶1/43.3294E-053.3300E-051/86.9518E-062.2606

18、.9563E-062.2591/161.6599E-062.0661.6642E-062.0631/324.0735E-072.0274.1151E-072.016表3：数值例子1当h=0.005，T=1时不同时间步长的收敛界的比较C-N格式本文格式最大误差收敛阶最大误差收敛阶1/103.1582E-055.3870E-061/209.7016E-061.7037.4591E-072.8521/402.5387E-061.9348.9619E-083.0571/806.3450E-072.0001.0199E-083.135从上面的三个表我们可以看出本文格式空间方向具有2阶精度,在时间方向具有

19、3阶精度，这个理论和数值试验相符合。下面看它的图形:图 1 h=0.1; =0.1; t=1从图1可看出本文格式很好的逼近准确解.数值例子2给出下面的常系数一维扩散方程初边值问题（25）该方程的准确解为 表4：数值例子2当h=0.1; =0.1;T=0.4时个个结点上的误差和准确解的比较xC-N格式误差本文格式误差准确解0.16.8146E-033.7376E-033.0468E-033.0178E-053.0770E-030.25.8244E-032.8438E-055.7942E-035.8642E-055.8528E-030.35.1977E-032.8580E-037.9731E-03

20、8.2556E-058.0557E-030.45.4815E-033.9885E-039.3714E-039.8614E-059.4700E-030.55.7287E-034.2286E-039.8531E-031.0428E-049.9574E-030.65.4815E-033.9885E-039.3714E-039.8614E-059.4700E-030.75.1977E-032.8580E-037.9731E-038.2556E-058.0557E-030.85.8244E-032.8438E-055.7942E-035.8642E-055.8528E-030.96.8146E-033.

21、7376E-033.0468E-033.0178E-053.0770E-03最大误差4.2286E-031.0428E-04图2： t=0.4; h=0.1; =0.1;图2：h=0.05; =0.1; t=0.6图3： h=0.05; =0.1; t=0.6 图4： h=0.05; =0.05; t=0.6数值例子3给出下面的对流扩散方程初边值问题 （27）该方程的准确解为 （28）表5：数值例子3当h=0.1; =0.1;t=20时个个结点上的误差和准确解的比较xC-N格式误差本文格式误差准确解0.13.6284E-041.1403E-043.6310E-041.14E-044.7686E

22、-040.32.8484E-035.4521E-042.8505E-035.43E-043.3936E-030.51.0555E-028.4800E-041.0562E-028.41E-041.1403E-020.72.5597E-025.2122E-042.5615E-025.39E-042.5076E-020.92.9318E-023.2818E-032.9339E-023.30E-032.6036E-02最大误差3.2818e-003 3.3030e-003表6：数值例子3当=0.05，T=20时不同空间步长的收敛界的比较hC-N格式本文格式最大误差收敛阶最大误差收敛阶0.044.864

23、8e-0044.9152e-0040.021.1733e-0042.051.2200e-0042.010.012.5816e-0052.183.0574e-0052.000.0053.6024e-0062.847.6293e-0062.00表7：数值例子3当h=0.01，T=20时不同时间步长的收敛界的比较C-N格式本文格式最大误差收敛阶最大误差收敛阶42.4458e-0025.8884e-00327.9549e-0031.628.4144e-0042.8112.0959e-0031.921.0793e-0042.960.55.2613e-0041.991.0218e-0053.40图6 ：

24、h=0.1; =0.1;t=20 数值例子4给出下面的对流扩散方程初边值问题 (29)该方程的准确解为 （30）在这里(31)图7 ： h=0.01; =0.1; t=1, =1; =0.1 图8： =1; =0.1; t=1; h=0.05; =0.25 5结论由上面的表2-3和表6-7可以看出本文给出的算法在空间方向具有2阶精度,在时间方向具有3阶精度，即,而Crank-Nicolson只有,由数值例子2和4可看出该方法计算精度高,边界上无出现数值振荡（而Crank-Nicolson方法有时出现数值振荡）便于计算,特别适用于初始边界条件间断问题上更适合使用，是求解扩散方程的有效的方法之一.

25、致谢首先，我对我的指导老师开依沙尔老师表示衷心的感谢。他在我做毕业论文（设计）这段时间里，认真，细心，耐心地指导了我.短短的几个月学习生活中，开依沙尔老师严格的治学态度， 沉稳的工作方式以及浓厚的知识给我们留下了深刻的影响，使我们学到了不少的知识.同时也感谢在这四年的大学生活和学习中对我细心指导和帮助的每一位老师，每一位同学和朋友。 参考文献1 R.A. Usmani and R.P. Agarwal. An A-stable extended trapezoidal rule for the numerical integration of ordinary differential equ

26、ationsJ.Computers Math. Applic,1995， 11 (12)：1183-1191.2 陆金甫，关治.偏微分方程数值解法M，第二版.北京：清华大学出版社,2004. 3 G.D. smith. Numerical solution of partial differential equations (finite difference methods) M, Third edition. Oxford: cambrige uni press.19964 何文平, 封国林等.求解对流扩散方程的四种差分格式的比较J.物理学报, 2004 ，(10) :3258-3264.

27、5吴雄华,谭志海.对流占优扩散问题的高精度直线法J.计算物理,1999,(2):211-216.6 开依沙尔.热合曼, 阿不都热西提.阿不都外力.对流扩散方程新的数值解法及其应用J.新疆师范大学学报(自然科学版),2005，(3):47-50 7 李庆扬，王能超，易大义等.数值分析M，第四版. 北京：清华大学出版社, 2001.8 JOHN.H.Mathews,Kurtis.D.Fink.陈渝等译. 数值方法（MATLAB版）M，第三版. 北京： 电子工业出版社,2000.新疆大学本科生毕业论文(设计)评议书学院：数学与系统科学学院论文(设计)题目: 求解对流扩散方程的pade逼近格式学生姓名

28、:买买提江.卡热 专业:数学与应用数学 班级：2008-1指导教师姓名:开依沙尔 职称: 讲师评价内容具体要求得分方案论证（15分）能独立查阅文献和课题调研，能提出较科学、合理、可行得实施方案。13论文(设计)内容（30分）坚持实事求是科学态度，没有造假和抄袭行为。观点、结论正确、论证充分、设计合理。内容与专业要求相吻合，理论与实际联系紧密。26工作量和难度（20分）遵守毕业论文（设计）管理制度，按期完成任务书规定的内容，工作量饱满，有一定难度。17论文(设计)质量（20分）结构合理、条理清楚、文理通顺、用语符合专业要求；文体格式规范、图表清楚。图样绘制与技术要求符合国家标准，图面质量符合要求

29、。17创新性与应用价值（15分）具有一定的创新性和应用价值。11总分（100分）84指导教师评语:根据该课程的特点及性质，讨论对流扩散方程的差分格式，即稳定性条件和误差做了系统的分析，并对流扩散方程构造了半离散差分格式，做了数值实例。在写作过程中，该同学查阅了查看参考文献了解这方面的有关研究情况，做数值实例时用计算机编写了程序，锻炼了解决实际问题的能力。文章研究了一个较有实际意义的问题，在研究中思路清晰，结构严谨，对问题的讨论有一定的深度 ，但是还有很多问题有待进一步的解决，希望以后的学习中不断进步。指导教师（签名）： 年 月 日新疆大学本科生毕业论文(设计)评议书学院：数学与系统科学学院论文

30、(设计)题目: 求解对流扩散方程的pade逼近格式学生姓名:买买提江.卡热 专业:数学与应用数学 班级：2008-1指导教师姓名:开依沙尔 职称: 讲师评价内容具体要求得分规范程度（25分）结构合理、条理清楚、文理通顺、用语符合专业要求，文体格式规范，图表清楚。图样绘制与技术要求符合国家标准，图面质量符合要求，资料齐全。21论文(设计)内容与质量（60分）观点、结论正确，论证充分，设计合理。内容与专业要求相吻合，理论与实际联系紧密；查阅文献有一定广泛性；有综合归纳资料的能力，有自己的见解； 53创新性与应用价值（15分）具有一定的创新性和应用价值。11总分（100分）85评阅教师评语:买买提江

31、.卡热同学的论文求解对流扩散方程的pade逼近格式研究了一个较有理论意义的问题，锻炼了对偏微分方程数值解法的应用，深化了学习。从该论文可以看出，该同学比较好的掌握了专业课的基础知识，并能灵活地运用到解决实际问题上，具备了较好的独立思考、查阅文献、比较好的达到了毕业设计的要求。评阅教师（签名）： 年 月 日新疆大学本科生毕业论文(设计)评议书学院：数学与系统科学学院论文(设计)题目: 求解对流扩散方程的pade逼近格式学生姓名:买买提江.卡热 专业:数学与应用数学 班级：2008-1指导教师姓名:开依沙尔 职称: 讲师评价内容具体要求得分论文（设计）水平（30分）论文（设计）内容正确，撰写规范、

32、有一定的创新性和应用价值。论文（设计）报告（25分）论文（设计）介绍思路清晰，表达简明扼要，重点突出，能全面准确介绍论文（设计）内容，报告时间符合要求。论文（设计）答辩（45分）回答问题正确，有理论依据，基本概念清楚，逻辑性较强。总分（100分）答辩委员会（小组）评语:答辩小组认真听取了买买提江.卡热 同学的求解对流扩散方程的pade逼近格式的答辩，经过充分的讨论。认为买买提江.卡热 同学在查阅大量文献并进行充分的课题调研后，独立完成了毕业设计工作。该设计在充分的理论学习和仔细阅读参考书和相关文献的基础上，构造出扩散方程的两层隐式格式，最后进行了数值实验。其特点如下：1.能独立查阅资料和课题调研，能提出较科学、合理、可行的实施方案。2.内容叙述较充分，工作量较饱满，具有一定的难度。3.文体格式规范，图标清楚，图样绘制与技术要求基本符合国家标准。答辩小组综合了指导教师、评阅教师的评分，最终作出如上成绩评定结果。答辩委员会（小组）签名： 年 月 日论文(设计)综合成绩指导教师成绩30%评阅教师成绩20%答辩指导小组成绩50%综合成绩五级分制成绩良