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1、新疆大学毕业论文(设计)题 目: 求解热传导方程的高精度隐式差分格式 指导老师: 学生姓名： 所属院系： 数学与系统科学学院 专 业： 信息与计算科学 班 级： 信计07-2班 完成日期： 2012年5月28日 声 明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。声明人（签名）： 年 月 日亚库甫江.买买提同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。指导教师（签名）： 年 月 日新 疆 大 学毕业论文（设计）任务书班 级：信计
2、07-2 姓 名：亚库甫江.买买提论文（设计）题目：求解热传导方程的高精度隐式差分格式 专 题： 毕业设计 论文（设计）来源： 教师自拟 要求完成的内容： 学习和掌握一维热传导方程已有的各种差分格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为数值格式，讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。发题日期：2012 年12月25日 完成日期：2012 年5月28 日实习实训单位： 数学学院 地点： 数学学院 论文页数： 19 页； 图纸张数： 4 指导教师： 开依沙尔 老师 教研室主任 院长（系主任） 摘要本文首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，
3、然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题, 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明, 该方法是有效求解热传导方程的数值计算.关键词: 热传导方程,高精度紧致格式; 梯形方法；两层隐格式; Crank-Nicolson格式ABSTRACTThis paper first study on some classical finite difference for the heat conduction equati
4、on, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used trapezodial formula derived fourth order in space and second order i
5、n time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equation Keywords: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodia
6、l formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme目 录引言.1预备知识.21.扩散方程的经典差分格式.31.1 显式差分格.31.1.1 显式的截断误差. .41.1.2 显式差分格式的稳定性.41.2 隐式差分格式.51.2.1 隐式差分格式的截断误差.51.2.2 隐式差分格式的稳定性.61.3 Crank-Nicolson格式.61.3.1 Crank-Nicolson差分格式的截断误差.71.3.2 Crank-Nicolson差分格式的稳定性.82.高精度格式的构造.92.1梯形方法.92.2本文格式的构造.10
7、2.3 稳定性分析.113.数值实验.13结论.17致谢.18参考文献.19引言热传导方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减规律的抛物型微分方程自然环境、工程设备及生物机体中的许多物理现象，诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用价值【1】求解该问题的数值方法主要有 差分法、有限元法、边界元法等，其中有限差分方法数值求解扩散方程的应用广泛的有效地方法之一。目前求解该问题的主要的差分格式有显式格式，隐式格式，Crank-Nicolson 格式
8、等1,2,4。 虽然显式格式计算简单，但是稳定性有所限制，一般隐式格式和Crank-Nicolson 格式分别为一阶和二阶精度的绝对稳定的隐式格式，还显得误差阶不够高， 得到的结果也往往不能令人满意, 考虑到这些不足文7中半离散方法构造格式结果Crank-Nicolson 格式进行比较，在文10待定参数法构造精度的显式格式但是稳定性条件比较苛刻，它文的稳定性条件为，本文热传导方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为的绝对稳定的隐式差分格式，并讨论了稳定性，数值值结果与经典Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明,该方法是有效求解扩散方程的
9、数值计算.本文分为三大部分，第一部分简单介绍热传导方程的经典差分格式，第二部分主要介绍热传导方程的高精度格式的构造和稳定性，第三部分给出具体的数值算例，结果与Crank-Nicolson格式，准确值进行比较，最后给出结论。预备知识利用下面的各种数值微分公式得到不同的差分格式 截断误差：一般说来，微分方程的解不会精确地满足差分方程。将差分方程中的各个项同时用微分方程的解在相应点的值代入，利用泰勒展开，就会得到一个误差项，这个误差项就是截断误差。相容性：若时间步长以及空间步长同时趋于，截断误差，就说差分格式与微分方程是相容的。一个差分格式与一个微分方程相容，则表明当时，差分算子与微分算子对任一光滑
10、函数的作用是相同的，所以可用相容的差分格式近似相应的微分方程，而截断误差则是对这一近似程度的一个度量。收敛性：考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解。如果当时间步长以及空间步长趋于时，我们称差分格式是收敛的，即时间步长以及空间步长趋于时，差分格式的解逼近于微分方程的解。稳定性：差分格式的计算是逐层计算的，计算第层上的时，要用到第层上计算出来的结果。计算时的舍入误差，必然会影响到的值，从而就要分析这种误差传播的情况。因此，一个有实用价值的数值方法应该具有能够控制这种误差影响的性能，这就是数值方法的稳定性。精度：如果一个差分格式的截断误差，就说差分格式对时间是阶精度的，对空间是阶精度
11、的。Lax 等价定理：给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件。定理1（von Neumann条件） 微分方程的差分格式稳定的必要条件是当，,对所有有 ， 其中为增长因子（或增长矩阵），表示的特征值，为常数。 定理2 如果差分格式的增长矩阵是正规矩阵，则 von Neumann 条件是差分格式稳定的必要且充分条件。 推论2.1 当为实对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时，von Neumann 条件是差分格式稳定的充分必要条件。推论2.2 当时，即只有一个元素，则von Neumann 条件是差分格式稳定的充要条件。定理3 如果存在常数
12、使得 ， ，则差分格式是稳定的。1. 热传导方程的经典差分格式考虑一维热传导方程的初边界问题：1.1显式差分格式我们可以对用向前差分用二阶差商得到差分格式为 (1.1.1)1.1.1显式差分格式的截断误差证：（用taylor展开） 把上述代入差分格式中，得截断误差为： 从上述可知，截断误差为，它对空间方向为一阶截断误差而对时间方向为二阶截断误差。1.1.2显式差分格式的稳定性证：先把差分格式公式(1.1.1)改写为： 其中利用稳定性的Fourier方法，令，并将它代入上式就得到消去共因子有由此得到增长因子因为k0,h0且，所以必然左边成立，则右边为显然这个格式是相容的。它在时稳定的，因为按照L
13、ax定理可知；它是条件收敛的（收敛条件）。1.2 隐式差分格式我们可以对用向后差分，用二阶差商，得到差分格式为： (1.2.1) 1.2.1 隐式差分格式的截断误差证：（用taylor展开） 把上述代入差分格式中，得截断误差为： 从上述可知，截断误差为，它对时间方向为一阶截断误差，而对空间为二阶截断误差。1.2.2 隐式差分格式的稳定性证:先用差分格式（1.2.1）为： 其中利用稳定性的Fourier方法令，并将它代入上式就得到消去公因子有由此得到增长因子显然这个格式是相容的。它是无条件稳定，因为按照Lax定理可知，该格式收敛的。1.3 、 Crank-Nicolson格式我们在在前面讨论的显
14、格式和隐格式，即： （1.3.1） （1.3.2） 用乘（1.3.2），用乘（1.3.1），把其结果相加就得到一个差分格式 （1.3.3）其中，我们乘差分格式公式(1.3.3）为加权隐式格式。从上述可以看到，当时的情况，此时我们把它单独写出 （1.3.4） 此格式一般称作Crank-Nicolson格式。此外我们注意到，当时，公式(1.3.3）为向后差分格式（隐式格式）；当时，公式(1.3.3）为向前差分格式（显式格式）。1.3.1 Crank-Nicolson差分格式的截断误差证：（用taylor展开） 把上述代入差分格式中，得截断误差为： 从上述可知，截断误差为，它对空间方向为二阶截断误差
15、，而对时间方向为二阶截断误差，则此隐格式的精度为2。1.3.2 Crank-Nicolson差分格式的稳定性证：由差分格式公式（1.3.4）可以写成如下形式其中消去公因子有由此得到增长因子显然这个格式是相容的。它是无条件稳定，因为按照Lax定理可知，Crank-Nicolson差分格式收敛的。2 高精度格式的构造本文热传导方程对空间变量应用四阶紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造扩散方程的精度为的绝对稳定的隐式差分格式2.1梯形方法4求解常微分方程初值问题 对方程两边从到积分，得 (2.1)用左矩形公式计算上式右侧积分，即并用作为的近似值，得 (2.2）故欧拉法也称为矩形法。欧拉法形式简
16、单,但精度低，为了达到较高精度的计算公式，对欧拉法进行改进，用梯形公式计算(2.1)式右侧积分，即并用作为的近似值，得到梯形公式: (2.3)(2.3)式称为梯形公式,此方法称为梯形法。2.2本文格式的构造下面我们考虑非齐次边界条件的热传导方程 （2.2.1）的右边对x变量 四阶紧致格式离散 (2.2.2)把(2.2.2)代入(2.2.1)后得到下面的常微分方程组，令 (2.2.3) 其中：，应用梯形方法得到本文格式 （2.2.4）2.3 稳定性分析定理： 本文差分格式 （2.2.4）是绝对稳定的；引理1 假设为矩阵的特征值，为其相应的是特征值向量，则特征值为实数且满足 证明：令 下面来看的特
17、征值则：令两边乘写成矩阵形式由此推出下面来看的特征值：令 写成矩阵形式： 则的特征值为：它的谱半径 因此是绝对稳定的。3数值实验数值例子1给出下面的常系数一维扩散方程初边值问题该方程的准确解为表一：h=0.1;tao=0.1;T=1，绝对误差比较x隐式格式Crank-Nicolson格式本文格式0.18.1239E-032.7358E-041.3474E-040.21.4847E-025.0077E-042.4818E-040.32.0079E-026.7709E-043.3615E-040.42.3696E-027.9890E-043.9680E-040.52.5545E-028.6123E
18、-044.2767E-040.62.5433E-028.5770E-044.2560E-040.72.3127E-027.8039E-043.8661E-040.81.8348E-026.1935E-043.0559E-040.91.0768E-023.6229E-041.7651E-04最大误差2.5545E-028.6123E-044.2767E-04表二：当=0.001 , T=1;时不同空间步长的收敛界的比较h隐式格式Crank-Nicolson格式本文格式最大误差收敛阶最大误差收敛阶最大误差收敛阶1/42.9321e-0032.6757e-0038.3652e-0061/89.310
19、4e-0041.65506.7288e-0041.99154.8370e-0074.11221/164.3004e-0041.11441.6966e-0042.00481.0174e-0084.5712表三:当h=0.005 ,w=1 T=1;是的不同空间步长的收敛界的比较隐式格式Crank-Nicolson格式本文格式最大误差收敛阶最大误差收敛阶最大误差收敛阶1/102.5355e-0024.3558e-0044.3448e-0041/201.2863e-0020.97901.0980e-0041.98811.0871e-0041.99881/406.4786e-0030.98952.827
20、0e-0051.95752.7182e-0051.9998h=0.1;tao=0.1;T=1h=0.1;tao=0.1;T=1h=0.1;tao=0.1;T=1数值例子2 给出下面的常系数一维扩散方程初边值问题该方程的准确解为表一：h=0.1;tao=0.01;T=1，绝对误差比较x隐式格式Crank-Nicolson格式本文格式0.11.1195E-051.2118E-061.2133E-070.22.1294E-052.3050E-062.3079E-070.32.9308E-053.1726E-063.1765E-070.43.4454E-053.7296E-063.7343E-070.
21、53.6227E-053.9215E-063.9264E-070.63.4454E-053.7296E-063.7343E-070.72.9308E-053.1726E-063.1765E-070.82.1294E-052.3050E-062.3079E-070.91.1195E-051.2118E-061.2133E-07最大误差3.6227E-053.9215E-063.9264E-07表二：当=0.001 , T=1;时不同空间步长的收敛界的比较h隐式格式Crank-Nicolson格式本文格式最大误差收敛阶最大误差收敛阶最大误差收敛阶1/43.7094e-0053.3294e-0058
22、.3072e-0071/89.7900e-0061.92186.9518e-0062.25984.6769e-0084.15071/164.2936e-0061.18911.6599e-0062.06639.7749e-0105.5803表三:当h=0.005 ,w=1 T=1;是的不同空间步长的收敛界的比较隐式格式Crank-Nicolson格式本文格式最大误差收敛阶最大误差收敛阶最大误差收敛阶1/109.9096e-0043.1582e-0053.1587e-0051/202.7642e-0041.84209.7016e-0061.70289.7107e-0061.70171/409.58
23、59e-0051.52792.5387e-0061.93412.5489e-0061.9297图一：h=0.1; =0.01;T=1结论由表1-3和图1可以看出本文针热传导方程构造出的一种两层绝对稳定的隐式差分格式截断误差为的，这个理论和数值试验相符合；从由表1-3数值试验结果说明本文所建立格式针对于，隐式差分格式和经典的Crank-Nicolson格式比，更为准确的逼近近似解。致谢本毕业论文是在 老师的指导下完成的，我首先要感谢 老师，他对我进行了热心的指导并提出严格的要求，提供很多课外的资料，论文研究工作中提出了很多宝贵的意见，使我的研究工作有了目标和方向。在这近几个月的时间里，他对我进行
24、了悉心的指导和教育，使我能够不断地学习提高，还要感谢同组论文设计人员，在他们熟悉部分对我的帮助，感谢父母养育之恩，感谢所有给我关心和帮助的同学和亲朋好友。参考文献1陆金甫,关治.偏微分方程数值解法M，第二版.北京：清华大学出版社,2004 2G.D. smith Numerical solution of partial differential equations (finite difference methods) M，Third edition,Oxford: Oxford University Press).19963李庆扬,王能超,易大义.数值分析M,第四版,北京:清华大学出版社,
25、2001年8月4李瑞霞，何志庆. 微分方程数值方法M,广州：华南理工大学出版社，2005年12月，38-43.5R.A. Usmaniand R.P. Agarwal,An A-stable extended trapezoidal rule for the numerical integration of ordinary differential equationsJ.Computers Math. Applic. 1995， 11 (12) ： 1183-1191.6JOHN.H.Mathews,著.陈渝等译. 数值方法（MATLAB版）M，第三版. 北京：电子工业出版社,20007马明书,抛物型方程的一个新的显格式J. 纺织高校基础科学学报,2001年6 月第14 卷第2 期,133-135.8周顺兴.解抛物型偏微分方程的高精度差分格式J .计算数学,1982 ,4 (2) :204213.9田振夫.非齐次热传导方程的高精度隐式格式J .宁夏大学学报 ,1996 ,17 (3) :3438.10马明书.一维抛物型方程的一个新的高精度显式差分格式J .数值计算与计算机应用 ,2001 ,22 (2):156160.
