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1、第三章单自由度系统的强迫振动,振动理论与测试技术88学时讲课教师 殷祥超,中国矿业大学理学院力学与工程科学系 二00九年八月,第三章 单自由度系统的强迫振动,持续激励：,持续激振力；,位移激励；,速度激励；,加速度激励；,简谐激励，非简谐的周期激励，任意激励。,强迫振动响应：由初始条件引起的自由振动、伴随振动以及等幅的强迫振动三部分组成。,自由振动、伴随振动称为瞬态振动，也称为系统的瞬态响应；,第三部分是与简谐激励频率相同、与激励同时存在的简谐振动，称为稳态振动，也称为系统的稳态响应。,瞬态响应很快衰减为零，只在振动的开始阶段出现，该阶段称为过渡阶段。,实际系统存在阻尼，自由振动将很快衰减。,
2、本章主要讨论：系统对简谐激励所引起的系统响应以及周期激励和任意激励的响应；,介绍强迫振动理论在工程实际问题中的一些应用。,3.1 简谐激励引起的强迫振动,简谐激振力,激振力幅值,激振频率,令：,简谐激振力作用下振动方程的标准形式,通解,特解,通解：,令特解为：,B为强迫振动振幅，,为相位差,通解：,瞬态振动,稳态振动,令：,静位移,解出：,令：,频率比,简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：,简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：,强迫振动稳态响应的基本特点：,1、系统在简谐激励的作用下，其强迫振动稳态响应是简谐振动，振动的频率与激励频率相同。,2、强迫振动稳态响应的相位比激励的相位滞后。,无阻尼系统
3、：,3、强迫振动稳态响应振幅 B与相位差 只取决于系统本身的特性,（质量m、刚度k、阻尼c）,初始条件只能影响系统的瞬态振动解。,和激振力的频率、力幅，,与振动的初始条件无关。,影响稳态响应幅值B的因素：,静位移,频率比,阻尼比,强迫振动稳态响应的幅值 B 与激振力幅值 P0 成正比。,无量纲形式,振幅放大因子,动力放大系数,放大因子：,1、频率比,稳态响应的振幅B近似等于激振力幅P0作用下的静位移B0。,系统的振幅主要由弹簧控制；,称为弹性控制区。,放大因子：,2、频率比,系统的振幅B主要取决于系统的惯性。,称为惯性控制区。,和,时，,阻尼对稳态响应幅值的影响很小,放大因子：,3、频率比,无
4、阻尼时，振幅B趋于无穷大。,系统共振：激振力频率与系统的固有频率相等。,在 时：,系统阻尼 c 的大小对稳态响应的幅值 B 有着极为重要的影响。,3、频率比,系统阻尼 c 的大小对稳态响应的幅值 B 有着极为重要的影响。,当,附近的区域，被称为阻尼控制区。,振动过程中的动态平衡关系,1、,弹性控制区,2、,惯性控制区,3、,阻尼控制区,放大因子：,4、最大值,如果：,振幅放大因子没有峰值。,位移与激振力在相位上接近同相；,相频特性曲线,1、小阻尼,位移与激振力在相位上接近反相；,2、,在 前后相位差发生突变现象。,3、相位差随着频率比的增大而逐渐增大。,4、阻尼对相位差的影响：,4、阻尼对相位
5、差的影响：,随着 的增大而增大；,随着 的增大而减小；,即共振时位移与激振力在相位滞后90。,在振动测试中，常常利用相位差的变化来确定共振点。,振动响应的幅值急剧增大的现象称为共振。,在小阻尼情况下，,定义共振频率为：,激振力的频率等于系统的固有频率。,共振区：,共振时：,有：,定义品质因子：,q1、q2 称为半功率点。,系统的带宽,系统的带宽为：,当,求出：,实验测试系统的相对阻尼比：,作出幅频特性曲线图，找出半功率点；,计算出相对阻尼比。,由实验测出系统的固有频率，,半功率点q1、q2的相位角：,品质因子：,共振区内的幅频特性曲线称为共振峰。,阻尼增大，带宽就增宽，共振峰则较为平坦；阻尼减
6、小时，带宽就变窄，共振峰则较为陡峭；品质因子反映了系统阻尼的大小和共振峰的陡峭程度。,在实际的振动分析中，常常利用速度和加速度来研究共振现象。,速度响应的幅值：,速度响应的相位差：,速度放大因子：,加速度响应幅值：,加速度响应的相位差：,加速度放大因子：,速度放大因子：,加速度放大因子：,可以作出速度响应的幅频特性曲线和加速度幅频特性曲线。,速度放大因子 加速度放大因子,位移放大因子,即：,速度放大因子：,位移共振,速度共振,加速度共振,速度共振时激振力的频率总是等于系统的固有频率；,只要能准确找到速度共振点，则此时的激励频率即为系统的固有频率。,速度共振时激振力的频率总是等于系统的固有频率；
7、,所以阻尼系数为：,只要测出激励力力幅 P0 和最大速度值(Bv)max，即可确定系统的阻尼系数，这是工程上常用的测定阻尼的方法之一。,统一定义共振点为：,共振区的定义方法：,1、,2、,带宽,简谐激励下的强迫振动微分方程复数求解方法：,特解：,复振幅：,特解带入方程得到：,令：,将激振力改写为：,强迫振动的稳态响应为：,即：,复频响应函数，,也称为频率响应函数；,它是系统的响应和激励之比，即系统的输出和系统的输入之比。,频率响应函数,是一个复数。,的模：,的幅角：,频率响应函数既反映了系统响应的幅频特性，又反映了系统响应的相频特性。,例3-1,质量为1.95kg的物体，在粘性阻尼介质中振动，
8、已知激振力,牛顿，,（1）.如果测出系统共振时的振幅为,1.27cm，周期为0.20s，试求出系统的相对阻尼比和阻尼系数c。,(2).当 f=4Hz时,求除去阻尼后的振幅是有阻尼时的振幅的几倍?,解：,(1).振动周期为T=0.2s,系统的固有频率为,共振时：,因为：,相对阻尼系数：,例3-1,质量为1.95kg的物体，在粘性阻尼介质中振动，已知激振力,牛顿，,（1）.如果测出系统共振时的振幅为,1.27cm，周期为0.20s，试求出系统的相对阻尼比和阻尼系数c。,(2).当 f=4Hz时,求除去阻尼后的振幅是有阻尼时的振幅的几倍?,解：,(2).振动频率为 f=4Hz,频率比：,无阻尼时系统
9、振幅为：,有阻尼时系统振幅为：,无阻尼与有阻尼时振幅之比为：,3.2简谐激励引起的强迫振动瞬态响应过程,方程的解：,先考虑无阻尼系统：,无阻尼系统的特解为：,由,得到：,由,得到：,自由振动,自由伴随振动,稳态响应,伴随振动的特点：,1、振动频率为系统的固有频率；2、振幅与初始条件无关，而与系统本身的特性和激励有关。,外界的激振力不但激起强迫振动，同时还要引起自由振动。,时：,考虑无阻尼系统出现共振时的情况：,共振时,不定型,采用罗必塔法则求出共振时的响应：,短暂时间后,自由振动和自由伴随振动都将随时间逐渐衰减而趋于零，所以它们都是瞬态响应，而系统将在外界激励的作用下保持稳定的等幅振动。,工程
10、中的实际系统都存在着一定的阻尼,对有阻尼系统：,得到：,解出：,因为：,方程的解：,有阻尼自由振动解,自由伴随振动,稳态响应,有阻尼自由振动和自由伴随振动都是瞬态响应，它们将随时间逐渐衰减直到消失，系统将保持稳态的强迫振动。,偏心质量：m,偏心矩：e,法向惯性力：,me 称为不平衡量,令：,3.3 偏心质量引起的强迫振动,系统的稳态响应：,稳态响应的幅值：,改写为无量纲形式：,动平衡试验机,例3-2,惯性激振器安装在机器或结构上,共振时Bmax=2.5cm，,稳定状态时B=0.4cm,（2）若已知激振器偏心质量m=15kg,（1）试求系统的阻尼比。,偏心矩e=10cm,k=950N/cm,n=
11、450 r/min,试求出机器的振动幅值。,解：（1）,共振时的振幅：,时,解出阻尼比：,（2）当偏心质量m=15kg,偏心矩e=10cm,k=950N/cm,求出：,系统的固有频率：,由转速n=450 r/min，求出激振力的频率：,频率比：,求得振幅：,3.4 支承运动引起的强迫振动,支承的运动规律：,整理：,弹簧传递过来的激振力,阻尼器传递过来的激振力,采用复数解法：,支承运动,系统的稳态响应解,稳态响应的幅值：,求,相位差：,改写为无量纲量：,振幅放大因子,支承速度：,支承加速度：,例3-3,汽车的拖车,已知：满载时m1=1000kg，,空载时m2=250kg，,k=350kN/m，,
12、车速v=100km/h，l=5m,求：汽车的拖车在满载和空载时的振幅之比。,解：,拖车匀速行驶,路面的激振频率为：,空载时拖车的相对阻尼比：,满载时的频率比：,空载时的频率比：,满载时,空载时,汽车的拖车在满载和空载时的振幅比：,3.5 振动的隔离,振动的隔离分为两种：,主动隔振和被动隔振。,1、主动隔振（振源是机器）,（根据振源情况）,将振动的机器与地基隔离开，以减少振源对周围的影响。,主动隔振的目的是减小由于振动传递到地基上的力。,隔振效果：,力传递率TF,主动隔振系数,P0：隔振前传到地基上的力的幅值。,PT：隔振后传到地基上的力的幅值。,力传递率TF,P0：隔振前传到地基上的力的幅值。
13、,PT：隔振后传到地基上的力的幅值。,通过弹簧传到地基上的力的幅值为,通过阻尼器传到地基上的力的幅值为,稳态响应幅值：,得到力传递率：,2、被动隔振,（振源来自地基的运动）,隔振效果采用位移传递率 TD表示。,定义为隔振后机器设备的振动幅值与地基运动的幅值之比。,地基的运动：,位移传递率：,被动隔振系数,1、主动隔振（振源是机器）,力传递率,力传递率TF,位移传递率TD,统称为传递率:,隔振演示,传递率：,传递率的特性：,1、只有当频率比 时才有隔振效果。,2、当 以后,传递率下降很慢。,工程中常取：,3、当 后，,即增加阻尼反而降低了隔振的效果。,在设计隔振系统时，一般先按设计要求取定传递率
14、TF或TD，,最后计算出隔振弹簧的刚度k。,再确定频率比 和相对阻尼比，,例3-4,机器重1000kg，安装在四个支承弹簧上，弹簧的总刚度为k=65000N/cm，其相对阻尼比,当机器的转速为2400r/min，不平衡力的幅值为P0=2000N，求此时机器振动的幅值B、力传递率TF以及传到地基上的力PT。,解：,系统的固有频率：,系统的频率比：,机器振动的幅值：,力传递率：,实际传递到地基上的力为：,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实
15、例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,3.6 惯性测振仪的基本原理,设：振动物体的运动,惯性质量 m 的运动方程为：,令：,稳态振动的解：,稳态振动的幅值：,1-测振仪2-振
16、动物体,1、位移计,测振仪的指针所指的位移振幅Y作为输出，则输出Y与被测物体的振幅a 成正比。,当,即,有：,1-测振仪2-振动物体,位移计,要求固有频率比较低。,位移计是一种低固有频率的仪器。,取,当,位移计的缺点：本身体积大而笨重，对质量不大的振动物体的测量结果影响较大，因而测量范围小。,2、加速度计,改写为：,被测振动物体的加速度,指针指示的值与振动物体的加速度幅值成正比。,加速度计要求固有频率远远高于振动物体的振动频率。,加速度计是一种高固有频率的仪器。,1-测振仪2-振动物体,2、加速度计,改写为：,被测振动物体的加速度,当：,得：,测振仪的固有频率远远高于振动物体的振动频率。,加速
17、度计是一种高固有频率的仪器。,压电晶体式加速度计,固有频率500010000Hz,测量频率范围上限为10003000Hz,1-测振仪2-振动物体,对数坐标表示的幅频特性曲线,如果取：,合理选择阻尼可以扩大加速度计的频率使用范围。,3.7 强迫振动中的能量关系,激振力,系统的稳态响应,与位移同相位的分力,一个周期内激振力做的功为：,作功,与速度同相位，作正功,阻尼力作负功：,阻尼力作负功：,Wc：阻尼在一个周期内耗散的机械能,振动频率越高，一个周期内阻尼消耗的能量越多，因此与低频振动相比，高频振动更容易被阻尼衰减。,激振力分量的幅值将与阻尼力的幅值相抵消,即：,系统作稳态强迫振动时，一个周期内由
18、于激振力做功而从外界获得的能量等于阻尼消耗的能量。,3.8 阻尼理论,1、等效粘性阻尼,等效粘性阻尼系数的等效方法：,等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量。,实际系统中存在的阻尼大多是非粘性阻尼。,假设：在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态振动仍然是简谐振动。,一个周期内非粘性阻尼所耗的能量,一个周期内等效粘性阻尼所耗的能量,等效粘性阻尼系数,一个周期内非粘性阻尼所耗的能量,一个周期内等效粘性阻尼所耗的能量,等效粘性阻尼系数,对于粘性阻尼：,阻尼力：,位移响应：,得到：,迟滞回线,迟滞回线所包围的面积：,等于粘性阻尼在一周期内消耗的能量。,阻尼比容,
19、U 系统的最大弹性势能,损耗因子,阻尼比容和损耗因子是两个性质相同的量，可用实验方法测定。,几种非粘性阻尼：,（1）干摩擦阻尼,（库仑阻尼）,阻尼力：,四分之一周期内作功：,一周内干摩擦阻尼消耗的能量为：,干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系数为：,非粘性阻尼的等效粘性阻尼比,非粘性阻尼系统作稳态振动的振幅：,对干摩擦：,（1）干摩擦阻尼,一周内干摩擦阻尼消耗的能量为：,干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系数为：,当,才能发生振动。,共振时：,外界输入的能量为：,干摩擦阻尼消耗的能量为：,当,系统的振幅将越来越大。,（2）低粘度流体阻尼,阻尼力：,方向与速度方向相反。,在一个周期内流体阻尼消耗的能量为：,等效粘性
20、阻尼系数为：,稳态响应的振幅：,（3）指数阻尼,阻尼力：,在一个周期内指数阻尼消耗的能量为：,等效粘性阻尼系数：,2、结构阻尼,（迟滞阻尼）,迟滞回线,迟滞回线所包围的面积是单位体积材料在一个周期内消耗的能量。,每一个加载和卸载的循环即每一个振动周期将形成一次迟滞回线。,结构阻尼在一个周期内消耗的能量近似地与振幅的平方成正比。,结构阻尼的等效粘性阻尼系数：,阻尼比容,损耗因子,结构阻尼系统的稳态响应的振幅：,利用衰减振动实验来测定结构阻尼的损耗因子,结构阻尼系统的稳态响应的振幅：,系统共振,粘性阻尼系统共振,即：,即结构阻尼的损耗因子相当于粘性阻尼的相对阻尼比的两倍。,从记录的衰减振动曲线中计
21、算出对数衰减率，得到：,3.9 任意周期激励的响应,任意的周期激振力,基频：,稳态响应解：,无阻尼系统：,用复数表示：,由叠加原理得到：,复振幅,的模：,复振幅：,周期激励下的系统响应的幅值谱等于周期激振力的幅值谱与系统复频响应函数的模的乘积。,响应的相位谱等于周期激振力的相位谱与系统复频响应函数的幅角的代数和。,系统的稳态响应为：,3.10 任意激励的响应,任意激励：,任意的时间函数。,分析方法：把非周期激振力看成为一系列脉冲载荷所组成。,1、单位脉冲响应,单位脉冲函数,函数的性质：,冲量为U的脉冲力,当U=1时，P(t)为单位脉冲力。,系统在单位脉冲力作用下的运动微分方程与初始条件：,速度
22、发生突变,即：,位移来不及改变：,系统的脉冲响应：,无阻尼系统：,如果单位脉冲力为：,单位脉冲力的响应为：,2、任意激振力的响应杜哈梅（Duhamel）积分,脉冲力的冲量为,系统的脉冲响应为：,卷积,线性系统对任意激励的响应等于它的脉冲响应与激励的卷积。,杜哈梅（Duhamel）积分,卷积的性质：,杜哈梅（Duhamel）积分,系统对任意激励的响应：,无阻尼系统对任意激励的响应：,杜哈梅积分是系统在零初始条件下的响应，,当激励为简谐激励时，杜哈梅积分即为自由伴随振动和稳态强迫振动两部分。,例3-5,求无阻尼系统受矩形脉冲力作用的响应。,解：,简谐振动,系统的响应：,3、传递函数,系统的传递函数
23、定义为输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,作拉氏变换：,S 为复变量,拉氏变换：,卷积定理：,3、传递函数,系统的传递函数定义为输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,作拉氏变换：,S 为复变量,系统的传递函数：,作拉氏逆变换，得到：,由卷积定理：,杜哈梅积分,单位脉冲响应 h(t)是传递函数 G(s)的拉氏逆变换。,或传递函数 G(s)是单位脉冲响应 h(t)的拉氏变换。,其中：,改写为：,传递函数 G(s)式右端的拉氏逆变换即为单位脉冲响应 h(t)。,令复变量,记：,即：,系统的复频响应函数,复频响应函数定义为输出的傅氏变换与输入的傅氏变换之比。,系统的复频响应函数与传递函数的关系。,系
24、统的复频响应函数,输出的频谱函数等于输入的频谱函数与复频响应函数的乘积。,作傅氏逆变换：,激励为单位脉冲力,即：,传递函数 G(s)是单位脉冲响应 h(t)的拉氏变换。,复频响应函数 是单位脉冲响应h(t)的傅氏变换。,单位脉冲响应h(t),复频响应函数,传递函数 G(s),时间域,频率域,复数域,时间域,激励P(t),单位脉冲响应h(t),响应x(t),频率域,激励谱,复频响应函数,响应谱,复数域,变换激励P(s),传递函数G(s),变换响应X(s),本章小结:,3.1 简谐激励引起的强迫振动,3.2简谐激励引起的强迫振动瞬态响应过程,3.3 偏心质量引起的强迫振动,3.4 支承运动引起的强迫振动,3.5 振动的隔离,3.6 惯性测振仪的基本原理,3.7 强迫振动中的能量关系,3.8 阻尼理论,3.9 任意周期激励的响应,3.10 任意激励的响应,作业：,3-2 3-8 3-14 3-193-21 3-233-35,
