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1、第6章 MATLAB数值计算例6.1 求矩阵A的每行及每列的最大和最小元素，并求整个矩阵的最大和最小元素。A=13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1;max(A,2) %求每行最大元素min(A,2) %求每行最小元素max(A) %求每列最大元素min(A) %求每列最小元素max(max(A) %求整个矩阵的最大元素。也可使用命令：max(A(:)min(min(A) %求整个矩阵的最小元素。也可使用命令：min(A(:)例6.2 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;S=prod(A,2)p
2、rod(S) %求A的全部元素的乘积。也可以使用命令prod(A(:)例6.3 求向量X=(1！，2！，3！，10！)。X=cumprod(1:10)例6.4 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。x=4,5,6;1,4,8 %产生一个二维矩阵xy1=std(x,0,1)y2=std(x,1,1)y3=std(x,0,2)y4=std(x,1,2)例6.5 生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)例6.6 对下列矩阵做各种排序。A=
3、1,-8,5;4,12,6;13,7,-13;sort(A) %对A的每列按升序排序-sort(-A,2) %对A的每行按降序排序 X,I=sort(A) %对A按列排序，并将每个元素所在行号送矩阵I例6.7 给出概率积分的数据表如表6.1所示，用不同的插值方法计算f(0.472)。表6.1 概率积分数据表x0.460.470.480.49f(x)0.48465550.49375420.50274980.5116683x=0.46:0.01:0.49; %给出x，f(x)f=0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683;format longinterp1(x
4、,f,0.472) %用默认方法，即线性插值方法计算f(x)interp1(x,f,0.472,nearest) %用最近点插值方法计算f(x)interp1(x,f,0.472,spline) %用3次样条插值方法计算f(x)interp1(x,f,0.472,cubic) %用3次多项式插值方法计算f(x)format short例6.8 某检测参数f随时间t的采样结果如表6.2，用数据插值法计算t=2，7，12，17，22，17，32，37，42，47，52，57时的f值。表6.2 检测参数f随时间t的采样结果t051015202530f3.10252.256879.51835.9296
5、8.84136.25237.9t35404550556065f6152.76725.36848.36403.56824.77328.57857.6T=0:5:65;X=2:5:57;F=3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,.6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6;F1=interp1(T,F,X) %用线性插值方法插值F1=interp1(T,F,X,nearest) %用最近点插值方法插值F1=interp1(T,F,X,spline) %用3次样条插值方法插值F1=inte
6、rp1(T,F,X,cubic) %用3次多项式插值方法插值例6.9 设z=x2+y2，对z函数在0,10,2区域内进行插值。x=0:0.1:1;y=0:0.2:2;X,Y=meshgrid(x,y); %产生自变量网格坐标Z=X.2+Y.2; %求对应的函数值interp2(x,y,Z,0.5,0.5) %在(0.5,0.5)点插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4) %在(0.5,0.4)点和(0.6，0.4)点插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5) %在(0.5,0.4)点和(0.6，0.5)点插值%下一命令在(0.5,0.4),(0.6,0.4
7、),(0.5,0.5)和(0.6,0.5)各点插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5)例6.10 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点(米)，用h表示测量时间(秒)，用T表示测得各点的温度()，测量结果如表6.2所示。表6.3 钢轨各点温度测量值 T xh0 2.5 5 7.5 10095 14 0 0 03088 48 32 12 66067 64 54 48 41试用3次多项式插值求出在一分钟内每隔10秒、钢轨每隔0.5米处的温度。x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64
8、,54,48,41;xi=0:0.5:10;hi=0:10:60;temps=interp2(x,h,T,xi,hi,cubic);mesh(xi,hi,temps);例6.11 用一个3次多项式在区间0,2内逼近函数。X=linspace(0,2*pi,50);Y=sin(X);P=polyfit(X,Y,3) %得到3次多项式的系数和误差X=linspace(0,2*pi,20);Y=sin(X);Y1=polyval(P,X)plot(X,Y,:o,X,Y1,-*)例6.12 设(1) 求f(x)+g(x)、f(x)-g(x)。(2) 求f(x)g(x)、f(x)/g(x)。f=3,-5
9、,2,-7,5,6;g=3,5,-3;g1=0,0,0,g;f+g1 %求f(x)+g(x)f-g1 %求f(x)-g(x)conv(f,g) %求f(x)*g(x)Q,r=deconv(f,g) %求f(x)/g(x)，商式送Q，余式送r。例6.13 求有理分式的导数。P=3,5,0,-8,1,-5;Q=10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100;p,q=polyder(P,Q)例6.14 已知多项式x4+8x3-10，分别取x=1.2和一个23矩阵为自变量计算该多项式的值。A=1,8,0,0,-10; %4次多项式系数x=1.2; %取自变量为一数值y1=polyval(A,x)
10、x=-1,1.2,-1.4;2,-1.8,1.6 %给出一个矩阵xy2=polyval(A,x) % 分别计算矩阵x中各元素为自变量的多项式之值例6.15 仍以多项式x4+8x3-10为例，取一个22矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。A=1,8,0,0,-10; %多项式系数x=-1,1.2;2,-1.8 %给出一个矩阵xy1=polyval(A,x) %计算代数多项式的值y2=polyvalm(A,x) %计算矩阵多项式的值例6.16 求多项式x4+8x3-10的根。A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)例6.17 已知(1) 计算f(x)=0的全
11、部根。(2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P) %求方程f(x)=0的根G=poly(X) %求多项式g(x)例6.18 设x由0,2间均匀分布的10个点组成，求的13阶差分。X=linspace(0,2*pi,10);Y=sin(X);DY=diff(Y); %计算Y的一阶差分D2Y=diff(Y,2); %计算Y的二阶差分，也可用命令diff(DY)计算D3Y=diff(Y,3); %计算Y的三阶差分，也可用diff(D2Y)或diff(DY,2)例6.19 设用不同的方法求函数f(x)的数值导数，
12、并在同一个坐标系中做出f(x)的图像。f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2);g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5);x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x)dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dpdpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值dx=diff(f(x,3.01)/0.01; %直接对f(x)求数值导数gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点
13、的导数plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-); %作图例6.20 用两种不同的方法求：先建立一个函数文件ex.m：function ex=ex(x)ex=exp(-x.2);然后在MATLAB命令窗口，输入命令：format longI=quad(ex,0,1) %注意函数名应加字符引号I=quadl(ex,0,1)例6.21 用trapz函数计算：X=0:0.01:1;Y=exp(-X.2);trapz(X,Y)例6.22 计算二重定积分(1) 建立一个函数文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数
14、f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2) 调用dblquad函数求解。global ki;ki=0;I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1)ki例6.23 给定数学函数x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t)取N=128，试对t从01秒采样，用FFT作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。N=128; %采样点数T=1; %采样时间终点t=linspace(0,T,N); %给出N个采样时间ti(i=1:N)x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采样点样本值xdt=t(2)-t(1); %采
15、样周期f=1/dt; %采样频率(Hz)X=fft(x); %计算x的快速傅立叶变换XF=X(1:N/2+1); %F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N; %使频率轴f从零开始plot(f,abs(F),-*) %绘制振幅-频率图xlabel(Frequency);ylabel(|F(k)|)例6.24 用直接解法求解下列线性方程组。A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;x=Ab例6.25 用LU分解求解例6.24中的线性方程组。A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,
16、-4;b=13,-9,6,0;L,U=lu(A);x=U(Lb)L,U ,P=lu(A);x=U(LP*b)例6.26 用QR分解求解例6.24中的线性方程组。A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;Q,R=qr(A);x=R(Qb)Q,R,E=qr(A);x=E*(R(Qb)例6.27 用Cholesky分解求解例6.24中的线性方程组。A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=chol(A)? Error using = cholMatrix must be pos
17、itive definiteJacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下：function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1;end例6.28 用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6)Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件g
18、auseidel.m如下：function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1;end例6.29 用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6)例6.30 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组，看
19、是否收敛。a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1;b=9;7;6;x,n=jacobi(a,b,0;0;0)x,n=gauseidel(a,b,0;0;0)有了上面这些讨论，下面设计一个求解线性方程组的函数文件line_solution.m。function x,y=line_solution(A,b)m,n=size(A);y=;if norm(b)0 %非齐次方程组if rank(A)=rank(A,b)if rank(A)=n %有惟一解disp(原方程组有惟一解x);x=Ab;else %方程组有无穷多个解，基础解系disp(原方程组有无穷个解，特解为x，其齐次方程组的基础解系为y)
20、;x=Ab; y=null(A,r);endelsedisp(方程组无解); %方程组无解x=;endelse %齐次方程组disp(原方程组有零解x);x=zeros(n,1); %0解if rank(A)n disp(方程组有无穷个解，基础解系为y); %非0解y=null(A,r);endend例6.31 求解方程组。A=1,-2,3,-1;3,-1,5,-3;2,1,2,-2;b=1;2;3;x,y=line_solution(A,b)例6.32 求方程组的通解。format rat %指定有理式格式输出A=1,1,-3,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8;b=1,4,0;x
21、,y=line_solution(A,b);x,yformat short %恢复默认的短格式输出例6.33 求在x0=-5和x0=1作为迭代初值时的零点。先建立函数文件fz.m：function f=fz(x)f=x-1/x+5;然后调用fzero函数求根。：fzero(fz,-5) %以-5作为迭代初值fzero(fz,1) %以1作为迭代初值例6.34 求下列方程组在(1,1,1)附近的解并对结果进行验证。首先建立函数文件myfun.m。function F=myfun(X)x=X(1);y=X(2);z=X(3);F(1)=sin(x)+y+z2*exp(x);F(2)=x+y+z;F
22、(3)=x*y*z;在给定的初值x0=1，y0=1，z0=1下，调用fsolve函数求方程的根。X=fsolve(myfun,1,1,1,optimset(Display, off)例6.35 求圆和直线的两个交点。圆：直线：先建立方程组函数文件fxyz.m：function F=fxyz(X)x=X(1);y=X(2);z=X(3);F(1)=x2+y2+z2-9;F(2)=3*x+5*y+6*z;F(3)=x-3*y-6*z-1;再在MATLAB命令窗口，输入命令：X1=fsolve(fxyz,-1,1,-1,optimset(Display, off) %求第一个交点X2=fsolve(
23、fxyz,1,-1,1,optimset(Display, off) %求第二个交点例6.36 求函数在区间(-10,1)和(1,10)上的最小值点。首先建立函数文件fx.m：function f=f(x)f=x-1/x+5;上述函数文件也可用一个语句函数代替：f=inline(x-1/x+5)再在MATLAB命令窗口，输入命令：fminbnd(fx,-10,-1) %求函数在(-10，-1)内的最小值点和最小值fminbnd(f,1,10) %求函数在(1，10)内的最小值点。注意函数名f不用加例6.37 设求函数f在(0.5,0.5,0.5)附近的最小值。建立函数文件fxyz.m：func
24、tion f=fxyz(u)x=u(1);y=u(2);z=u(3);f=x+y.2./x/4+z.2./y+2./z;在MALAB命令窗口，输入命令：U,fmin=fminsearch(fxyz,0.5,0.5,0.5) %求函数的最小值点和最小值例6.38 求解有约束最优化问题。首先编写目标函数M文件fop.m。function f=fop(x)f=0.4*x(2)+x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)+1/30*x(1)3;再设定约束条件，并调用fmincon函数求解此约束最优化问题。x0=0.5;0.5;A=-1,-0.5;-0.5,-1;b=-0.4;-0.5;lb=0;0;o
25、ption=optimset; option.LargeScale=off; option.Display =off;x,f=fmincon(fop ,x0,A,b,lb,option)例6.39 设有初值问题：y(0)=2试求其数值解，并与精确解相比较(精确解为y(t)=)。(1) 建立函数文件funt.m。function y=funt(t,y)y=(y2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求数值解y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解plot(t,y,b.,t,y1,r-); %通过图
26、形来比较例6.40 已知一个二阶线性系统的微分方程为：其中a=2，绘制系统的时间响应曲线和相平面图。建立一个函数文件sys.m：function xdot=sys(t,x)xdot=-2*x(2);x(1); 取t0=0，tf=20，求微分方程的解：t0=0;tf=20;t,x=ode45(sys,t0,tf,1,0); t,xsubplot(1,2,1); plot(t,x(:,2); %解的曲线，即t-xsubplot(1,2,2); plot(x(:,2),x(:,1) %相平面曲线，即x-xaxis equal例6.41 设将X转化为稀疏存储方式。X=2,0,0,0,0;0,0,0,0,0;0,0,0,5,0;0,1,0,0,-1;0,0,0,0,-5;A=sparse(X)例6.42 根据表示稀疏矩阵的矩阵A，产生一个稀疏存储方式矩阵B。A=2,2,1;3,1,-1;4,3,3;5,3,8;6,6,12;B=spconvert(A)例6.43 求下列三对角线性代数方程组的解。B=1,2,0;1,4,3;2,6,1;1,6,4;0,1,2; %产生非0对角元素矩阵d=-1;0;1; %产生非0对角元素位置向量A=spdiags(B,d,5,5) %产生稀疏存储的系数矩阵f=0;3;2;1;5; %方程右边参数向量x=(inv(A)*f) %求解
