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1、平行四边形复习,1,、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形,如图：,ABCD,对边分别为,AB,CD,，,AD,BC,2,、平行四边形的性质：,?,对边平行且相等,（,AB=CD,，,AD=BC,，,AB,CD,，,AD,BC,）,?,对角相等,（,A=,C,，,B=,D,）,?,对角线互相平分,（,BO=DO,AO=CO,）,A,B,C,D,O,3,、平行四边形的判定：,?,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,（,AB=CD,，,AD=BC,四边形,ABCD,为平行四边形）,A,B,C,D,O,?,两组对角分别相等的四边形是平行四边形,（,BAD=,DCB,，,ABC=,ADC,四边形
2、,ABCD,为平行四边形）,?,对角线互相平分的四边形是平行四边形,（,AO=CO,，,BO=DO,四边形,ABCD,为平行四边形）,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,（,AB=CD,且,AB,CD,四边形,ABCD,为平行四边形）,（,AD=BC,且,AD,CD,四边形,ABCD,为平行四边形,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,（,AB,CD,，,AD,BC,四边形,ABCD,为平行四边形）,学习检测,1,、如图，,ABCD,中，,A=120,，则,1=,。,A,B,D,C,1,60,2,、,如图,19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能,拼成下列四个图形，则其中是中心对
3、称图形的是（,）,C,A,B,C,D,图,19-6,3,平行四边形,ABCD,中，,AB=6cm,，,AC+BD=14cm,，则,AOB,的周长为,_,4,在平行四边形,ABCD,中，,A=70,，,D=_,BCD=_,A,B,D,C,A,B,D,C,O,ABCD,为平行四边形,BO=OD,，,AO=OC,AC+BD=14,BO+OD+AO+OC=14,BO+AO=7,AOB,的周长,=AO+BO+AB=7+6=13,ABCD,为平行四边形，,A=70,AB,CD,，,A=,BCD=70,A+,D=180,D=180,-,A=180,-70,=110,13,110,70,5,、点,A,、,B,
4、、,C,、,D,在同一平面内，从,AB,/,CD,；,AB,CD,；,BC,/,AD,；,BC,AD,四个条件中任意选两个，,不能使四边形,ABCD,是平行四边形的选法有（,）,A,B,C,D,A,B,D,C,B,6,、平行四边形的两邻边分别为,6,和,8,，那么其对角线应（,）,A,大于,2,，,B,小于,14,C,大于,2,且小于,14 D,大于,2,或小于,12,C,解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,设第三边为,x,8-6,x,6+8,，,2,x,14,解析：平行四边形的判定方法,7,、如图，,ABCD,中，,AB=5,，,AD=8,，,BAD,、,ADC,的平分线分别
5、交,BC,于点,E,、,F,上，则,EF=,。,E,A,B,D,C,F,2,解析：,BC,平分,BAD,，,DF,平分,ADC,BAE=,DAE,，,ADB=,CDF,ABCD,是平行四边形,AD,BC,，,AB=CD=5,DAE=,AEB,ADF=,DFC,AB=5,AD=8,AB=BE=5,，,CD=FC=5,EC=BC-BE=8-5=3,，,BF=BC-FC=8-5=3,EF=BC-BF-EC=8-3-3=2,8,、如图，,a,b,点，点,A,、,D,在直线,a,上，点,B,、,C,在直线,b,上，,如,S,ABC=5cm,2,，则,S,BCD=,。,a,b,A,D,B,C,5cm,2,
6、解析：,ABC,和,BCD,的底边都,为,BC,，高位,a,和,b,之间的距离，,面积相同,4,，如图，在,ABCD,中，点,E,为,AD,的中点，,CE,交,BA,的延线,于点,F,，若,BC=2AB,，,FBC=70,，求,EBC,的度数,F,A,B,E,D,C,解：,由,ABCD,可知,AB=CD DCAB,DCF=EFA,，,AEF=DCF,E,为,AD,中点,AE=ED,DEC,AEF,CD,AF,CE=EF,BC=2AB,，,AB=CD,AB=AF,BF=BC,EBC=FBC=,70,=35,2,1,2,1,5,：如图：已知,ABCD,，,EAD=,BAF,（,1,）试证明：,CE
7、F,是等腰三角形,（,2,）猜测,CE,与,CF,的和与,ABCD,周长关系，并说明理由。,E,A,F,B,C,D,解（,1,）,四边形,ABCD,是平行四边形,ADBC ABCD EAD=F BAF,E,又,EAD=BAF E=F CE,CF,CEF,是等腰三角形,（）,CE,CF,周长,由（）可知,F,BAF,EAD,E,FB,AB,AD,ED,周长,AB,BC,CD,DA,FB,BC,CD,ED,CF,CE,ABCD,ABCD,4,、如图，在,ABCD,中，,AE,、,BF,分别平分,DAB,和,ABC,，交,CD,于点,E,、,F,，,AE,、,BF,相关于点,M,（,1,）请说明：,
8、AE,BF,（,2,）判断线段,DF,和,CE,的大小关系，并加以证明,证明,(1),四边形,ABCD,是平行四边形,ADBC DAB,DAC,180,又,AE,、,BF,分别平分,DAB,和,ABC,BAE,DAB,ABF,ABC,BAE+ABF=,（,DAB+ABC,）,=90,AEBF,2,1,2,1,2,1,(2),四边形,ABCD,是平行四边形,AD=BC ABCD BAE=BFC,又,AE,、,BF,分别平分,DAB,和,ABC,BAE=AED ABF=CBF,DAF=AED CBF=BFC,DE=AD CF,BC,DE=CF,即,DE+EF,CD,EF DF=CE,E,A,B,C
9、,D,F,5.,在,ABCD,中，,AC,6,、,AB,4,，则,BD,的范围是,_,6,在平行四边形,ABCD,中，已知,AB,、,BC,、,CD,三条边的,长度分别为（,x+4,），（,x-4,）和,(2x-1),则这个四边形的周长,是,7.,已知,ABCD,的周长为,36CM,AB=8CM,BC=,;,当,B=60,时，,AD BC,间的距离,AE=,ABCD,的面积,=,2,x,14,20,10,4,3,3,40,三角形的中位线,1,、,连接三角形两边,中点,的线段叫三角形的中位线。,(,E,为,AC,的中点，,F,为,AB,的中点，,EF,为,ABC,中位线,),2,、三角形的中位线
10、,平行,三角形的第三边，且等于第三边,的,一半,.,(,EF,为,ABC,中位线,EF=?BC,，,EF,BC),3,、一个三角形有,三条,中位线。,A,B,C,E,F,1.,在,ABC,中，,D,、,E,分别是边,AB,、,AC,的中若,BC=5,，,则,DE,的长是,2.,已知：三角形的各边分别为,8cm,、,10cm,和,12cm,，,连结各边中点所成三角形的周长为,_ _,3,ABC,中，,D,、,E,分别为,AB,、,AC,的中点，,若,DE,4,，,AD,3,，,AE,2,，则,ABC,的周长为,_,_,2.5,10cm,18,A,B,C,E,D,1,题,A,B,C,E,D,3,题
11、,学习检测,4,已知：,ABC,中，点,D,、,E,、,F,分别是,ABC,三边的,中点，如果,DEF,的周长是,12cm,，那么,ABC,的周长,是,cm,24,A,B,C,E,D,4,题,特殊的平行四边形,矩形,1,、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形,（,四边形,ABCD,为平行四边形，,A=90,四边形,ABCD,为矩形）,2,、矩形的性质：,?,对边平行且相等,（,AB=CD,，,AD=BC,，,AB,CD,，,AD,BC,）,?,四个角都是直角,（,BAD=,ABC=,BCD=,CDA=90,）,?,对角线相等且互相平分,（,AC=BD,，,BO=DO,AO=CO,）,3,、注
12、意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半,BCD,中，,BCD=90,，,CO,是,BD,中线,CO=?BD,（或,CO=BO=OD,）,矩形的判定：,1,、有一个角是直角的平行四边形是矩形,四边形,ABCD,是平行四边形，,ABC=90,四边形,ABCD,为矩形,2,、对角线相等的平行四边形是矩形,四边形,ABCD,为平行四边形，,AC=BD,四边形,ABCD,为矩形,3,、有三个角是直角的四边形是矩形,ABC=,BCD=,CDA=90,四边形,ABCD,为矩形,学习检测,1.Rt,ABC,中，两条直角边分别为,6,和,8,，则斜边上的中,线长为,。,2,已知矩形的一条对角线长为,10cm,，
13、两条对角线的一个,交角为,120,，则矩形的边长分别为,_cm,，,cm,，,cm,，,cm,3,下列说法错误的是（,）,A,、矩形的对角线互相平分,B,、矩形的对角线相等,C,、有一个角是直角的四边形是矩形,D,、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,.,5,5,5,3,5,5,3,C,4.,如图，在矩形,ABCD,中，,BAD,的平分线交,BC,于,O,为对角线,AC,、,BD,的交点，且,CAE,15,，,（,1,）求证：,AOB,为等边三角形；,（,2,）求,BOE,的度数,ABE,为等腰直角三角形,(1),证明：,四边形,ABCD,是矩形,BAD=9,0,AC=BD,OA=AC,OB=
14、OD,OA=OB,又,AE,平分,BAD,BAE=4,5,CAE,15,BAO,=,BAE,+,CAE=6,0,AOB,为等边三角形,(2),解：由（,1,）可知：,BAE=4,5,，,AB=OB ABO=60,又,ABC=9,0,A,B,C,D,E,O,180,30,75,2,?,?,AB=BE OB=BE,BOE,=,BEO,又,EBO,=,ABC,-,ABO,=9,0,-6,0,=3,0,BOE=,5.,将矩形纸片,ABCD,沿对角线,BD,对折，再折叠使,AD,与对角,线,BD,重合，得折痕,DG,，若,AB=8,，,B,C=6,，求,AG,的长。,G,D,C,B,A,A,2,2,2,
15、2,1,0,6,8,B,C,A,B,?,?,?,?,解,:,矩形纸片,ABCD,DAB=90,AD=BC,AB=CD,BD=,又,ADG,沿,DG,折叠得到,ADG,AD=,A,D,AG=,A,G,A,B=AB-,A,D=10-6=4,设,AG=X,BG=AB-AG=8-X,由勾股定理得：,A,B,2,+,A,G,2,=BG,2,ADG,ADG,4,2,+x,2,=,（,8-x,）,2,解得：,x=3,AG=3,6.,如图,，在平行四边,ABCD,中，,E.F,为,BC,上的两点，,且,BE=CF,AF=DE.,求证：,(1)ABF,DCE;,(2),四边形,ABCD,是矩形,证明：（,1,）
16、,四边形,ABCD,是平行四边形,AB=CD,又,BE=CF,BE+EF=CF+EF,BF=CE.,在,ABF,和,DCE,中，,AB=CD,BF=CE,AF=DF,ABF,DCE,(2),由（,1,）的结论知,B=,C,平行四边形,ABCD,AB,CD,B+,C=180,B=90,四边形,ABCD,是矩形,A,B,C,E,F,D,7.,如图，在,ABC,中，点,O,是,AC,边,上（端点除外）的一个动点，过点,O,作直线,MN,BC,.,设,MN,交,BCA,的平分线于点,E,交,BCA,的外角平分线,于点,F,，连接,AE,、,AF,。那么当点,O,运动到何下时，四边,形,AECF,是矩形
17、？并证明你的结论。,当点,O,运动到,AC,的中点（或,OA=OC,）时，,四边形,AECF,是矩形,证明：,CE,平分,BCA,1=,2,，,又,MN,BC,1=,3,，,3=,2,，,EO=CO.,同理，,FO=CO,EO=FO,又,OA=OC,四边形,AECF,是平行四边形,又,1=,2,，,4=,5,，,1+,5=,2+,4.,又,1+,5+,2+,4=180,2+,4=90,四边形,AECF,是矩形,2,O,A,B,D,M,N,C,E,F,1,3,4,5,特殊的平行四边形,菱形,1,、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形,四边形,ABCD,为平行四边形，,AB=BC,四边形,ABC
18、D,为菱形,A,B,D,C,O,2,、菱形的性质：,?,四条边平行且相等,（,AB=CD=AD=BC,，,AB,CD,，,AD,BC,）,?,对角相等,（,BAD=,BCD,，,ABC=,CDA,）,?,对角线互相垂直，且平分对角,（,AC,BD,，,OAD=,OAB=,OCD=,OCB,）,3,、菱形的判定：,1,、有一组邻边相等的平行四边形是菱形,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB=BC,四边形,ABCD,为菱形,2,、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,四边形,ABCD,为平行四边形，,AC,BD,四边形,ABCD,为菱形,3,、四条边相等的四边形是菱形,AB=BC=DC=AD,四边形
19、,ABCD,为菱形,A,B,D,C,O,1,、菱形的的两邻角之比为,1,2,，且较短的对角线长,3,，则,菱形的周长是（,）,A,、,8 B,、,9 C,、,12 D,、,15,2,、四边形,ABCD,是菱形，,O,是两条对角线的交点，,AB=5,，,AO=4,，则对角线,AC,的长为,_,、,BD,的长为,_,。,3,、菱形的面积是,20,，它的一条对角线长,5,，则另一条对角,线长,_,。,学习检测,A,B,D,C,O,C,8,6,8,4,、如图,四边形,ABCD,是菱形，,ACD,30,BD=6cm,（,1,）,BAD,ABC,的度数。,（,2,）边,AB,及对角线,AC,的长（精确到,
20、0.01cm,）,.,A,B,D,C,O,解：,（,1,）,四边形,ABCD,是菱形,BCA,=,DCA,DAB,=,BCD,ABC,+,BCD=18,0,ACD,30,BAD,=,DCB=6,0,，,ABC=18,0,-,BCD=12,0,四边形,ABCD,是菱形,A,C,BD OA=OC,OD=OB,BC=CD,又,BCD=6,0,BCD,为等边三角形,BC=BA=BD=CD=AD=6cm,BO=DO=3cm,AOB,中,在,(cm),2,2,2,2,6,3,A,O,O,B,A,B,?,?,?,?,27,3,3,?,=,(cm),AC=2OA=,6,3,1,0,.4,0,?,5.,如图，已
21、知：在菱形,ABCD,中，,E,、,F,分别是,BC,、,CD,上,的点，且,CE=CF,。过点,C,作,CG,EA,交,AF,于,H,，交,AD,于,G,，,BAE=25,，,BCD=130,，求,AHC,的度数。,H,G,A,D,C,B,E,F,ABE,ADF,解：由菱形的性质可知：,BAE,=,DAF=2,5,又,BCD=130,BAF,=,BAD,-,DAF,=10,5,又,C,G,EA,AHC=18,0,-10,5,=7,5,6.,已知：如图，在梯形,ABCD,中，,AB,CD,，,BC,=,CD,，,AD,BD,，,E,为,AB,中点，,求证：四边形,BCDE,是菱形,1,2,证明
22、：,AD,BD,，,ABD,是,Rt,E,是,AB,的中点，,BE,=,1,2,AB,，,DE,=,AB,BE,=,DE,，,EDB,=,EBD,，,CB,=,CD,，,CDB,=,CBD,，,AB,CD,，,EBD,=,CDB,，,EDB,=,EBD,=,CDB,=,CBD,，,BD,=,BD,，,EBD,CBD,（,S,A,S,），,BE,=,BC,，,CB,=,CD,=,BE,=,DE,，,菱形,BCDE,（四边相等的四边形是菱形）,7.,如图所示，在梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,AB=AD,，,BAD,的平分线,AE,交,BC,于点,E,，连接,DE,（,1,）求证：四边形,A
23、BED,是菱形；,（,2,）若,ABC=60,，,CE=2BE,，试判断,CDE,的形状，并说明理由,（,1,）证明：如图，,AE,平分,BAD,，,1=,2,，,AB=AD,，,AE=AE,，,BAE,DAE,，,BE=DE,，,AD,BC,，,2=,3=,1,，,AB=BE,，,AB=BE=DE=AD,四边形,ABED,是菱形,理由：如图，过点,D,作,DF,AE,交,BC,于点,F,，,则四边形,AEFD,是平行四边形，,DF=AE,，,AD=EF=BE,，,CE=2BE,，,BE=EF=FC,，,DE=EF,，,又,ABC=60,，,AB,DE,，,DEF=60,，,DEF,是等边三角
24、形，,DF=EF=FC,，,CDE,是直角三角形,1.,正方形既是,_,图形，又是,_,图形,正方形有,_,条对称轴。,2.,正方形既是,_,形,又是,_,形，它既具有,_,的性质，又具有,_,的性质。,3.,在判断四边形是正方形时，可以先证该四边形是,_,形，再证该四边形是,_,形,。,4.,正方形的四条边,_,，并且对边,_.,邻,边,_,5.,正方形的四个角都是,_.,6.,正方形的两条对角线,_,且,_,并且每,条对角线平分,_.,特殊的平行四边形,正方形,中心对称,轴对称,四,矩形,菱形,矩形,菱形,矩形,菱形,相等,平行,互相垂直,直角,相等,互相垂直平分,一组对角,学习检测,1.
25、,判断：,（,1,）两条对角线互相垂直的矩形是正方形,.,（,）,（,2,）对角线相等的矩形是正方形。（,）,（,3,）四边都相等的四边形是正方形。（,）,（,4,）矩形包括长方形和正方形。（,）,（,5,）四角相等且两边相等的四边形是正方形,.,（,）,2.,正方形,ABCD,对角线的交为,O,，,E,是,OB,上的一点，,D,G,AE,于,G,DG,交,OA,于,F.,求证：,OE=OF.,A,B,C,D,E,G,O,F,证明：,四边形,ABCD,是正方形,AOE,=,DOF=9,0,AO=DO,又,D,G,AE,EAO,+,AEO,=,EDG,+,AEO=9,0,EAO,=,EDG,AE
26、O,EDG,OE=OF,3,、如图，在四边形,ABCD,中，,AB,=,BC,，,对角线,BD,平分,?,ABC,，,P,是,BD,上一点，过点,P,作,PM,?,AD,，,PN,?,CD,，垂足分别为,M,、,N,。,(1),求证：,?,ADB,=,?,CDB,；,(2),若,?,ADC,=90,?,，求证：四边形,MPND,是正方形。,证,明,：,(1),BD,平,分,?,ABC,，,?,ABD,=,?,CBD,。又,BA,=,BC,，,BD,=,BD,，,ABD,?,CBD,。,?,ADB,=,?,CDB,。,(2),PM,?,AD,，,PN,?,CD,，,?,PMD,=,?,PND,=
27、90,?,。,又,?,AD,C=90,?,，,四边形,MPND,是矩形。,?,ADB,=,?,CDB,，,PM,?,AD,，,PN,?,CD,，,PM,=,PN,。,四边形,MPND,是正方形。,A,B,C,D,N,M,P,4.,如图，在正方形,ABCD,中，,E,是,AB,上一点，,F,是,AD,延,长线上一点，且,DF=BE,（,1,）求证：,CE=CF,；,（,2,）若点,G,在,AD,上，且,GCE=45,，则,GE=BE+GD,成立吗？为什么？,解答：（,1,）证明：在正方形,ABCD,中，,BC=CD,，,B=,CDF,，,BE=DF,，,CBE,CDF,（,SAS,）,CE=CF
28、,（,2,）解：,GE=BE+GD,成立,理由是：,由（,1,）得：,CBE,CDF,，,BCE=,DCF,，,BCE+,ECD=,DCF+,ECD,，即,ECF=,BCD=90,，,又,GCE=45,，,GCF=,GCE=45,CE=CF,，,GCE=,GCF,，,GC=GC,，,ECG,FCG,（,SAS,）,GE=GF,GE=DF+GD=BE+GD,5,、如图，,ABC,中，,AB=AC,，,AD,是,ABC,的角平分线，点,O,为,AB,的中点，连接,DO,并延长,到点,E,，使,OE=OD,，连接,AE,，,BE,（,1,）求证：四边形,AEBD,是矩形；,（,2,）当,ABC,满足什么条件时，矩形,AEBD,是正方形，,并说明理由,（,1,）证明：,点,O,为,AB,的中点，连接,DO,并延长到点,E,，,使,OE=OD,，,四边形,AEBD,是平行四边形，,AB=AC,，,AD,是,ABC,的角平分线，,AD,BC,，,ADB=90,，,平行四边形,AEBD,是矩形；,（,2,）当,BAC=90,时，,理由：,BAC=90,，,AB=AC,，,AD,是,ABC,的角平分线，,AD=BD=CD,，,由（,1,）得四边形,AEBD,是矩形，,矩形,AEBD,是正方形,
