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1、第2章 线性系统的运动分析,定量分析-对系统的运动规律进行精确的研究，即定 量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。定性分析-则着重对决定系统行为和综合系统结构具 有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观 测性和稳定性等,2.1 线性系统的自由运动2.2 线性系统的一般运动2.3 连续系统的状态空间描述的离散化2.4 线性离散时间系统的一般运动,2.1 线性系统的自由运动,线性系统自由运动分析的数学实质,系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。,指在输入向量 及初始状态 的条件下系统的运动,1.齐次状态方程解的一般表达式2.状态
2、转移矩阵,（一）齐次状态方程解的一般表达式,因此,齐次状态方程的解为:,根据标量指数函数定义式:,定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵,于是齐次状态方程的解为:,另用拉氏变换法求解齐次微分方程:,拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:,对比,将矩阵指数函数 或 称为系统的状态转移矩阵，记为,状态转移矩阵 包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。,包含了自由运动性质的全部信息，完全表征了系统的动态特性。,当且仅当A的特征值均具有负实部，线性定常系统为渐进稳定。,如果t为某给定常数T，那么零输入响应 就是状态空间中由初始状态 经线性变换常数阵 所致。,几点解释：,（二）状
3、态转移矩阵,1.状态转移矩阵的基本性质；2.状态转移矩阵的计算。a.直接求取；b.拉普拉斯变换；c.化矩阵A为对角型或约当型；d.化矩阵指数 为A的有限项。,证：,（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质,由性质推出：,证：,式(2.1.14)式逐项对t求导,这个性质表明，状态转移矩阵 与系统矩阵A满足交换律。,证：根据矩阵指数函数的定义，有,表明 具有分段组合的性质。,证：根据性质和及逆矩阵定义，有,证明：,可把一个转移分为若干个小的转移来研究。,若 为 的状态转移矩阵，则 引入非奇异变换 后的状态转移矩阵为：,证：,式中：,1.直接求取法,例2.1 已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵。,解：根据
4、定义有：,结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。,（2）状态转移矩阵的计算,2.化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法矩阵A的特征值互异,例2.2 已知系统矩阵，试用化矩阵A为对角规范型方法求系统状态转移矩阵。,解：矩阵A的特征方程为,矩阵A有重特征值,设矩阵A为“友”矩阵，且有m1重特征值，m2重特征值，互异特征值,例2.3 已知系统矩阵，试用化矩阵A为约当规范型方法求系统状态转移矩阵。,解：矩阵A的特征方程为：,两种常见的状态转移矩阵形式,设,设,例2.4 已知系统矩阵,试求状态转移矩阵,解:,矩阵A有复数特征值，此时需要将A化为模态标准
5、型,模态标准形,其中：,例2.5已知系统的系数矩阵,求系统状态转移矩阵,解：矩阵A的特征值为,解得：,例2.6已知系统的系数矩阵A,求系统状态转移矩阵,解:在第1章知识得到,结论：化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，并建立其了矩阵A的特征值和状态转移矩阵的直观联系，更便于对系统进行分析，但计算相对复杂，特别适合一些简单系统的计算和分析。,3.拉普拉斯变换法,结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍要借助计算机来计算。,P63例2.4,P63例2.4 已知系统矩阵，试用拉普拉斯
6、变换法求系统状态转移矩阵。,解:,4.化矩阵A为有限项法(待定系数法),这种方法是利用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley-Hamilton),将 的的无穷级数化为矩阵A的有限项之和进行计算。,则A满足：,应用凯莱-哈密尔顿定理,a.矩阵A有n个互异的特征值,下面按A的特征值形态分两种情况讨论,例2.6 重做例2.3 已知系统矩阵，试用凯莱-哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵。P67,解：在例2-3中已求出矩阵A的特征值,b.矩阵A有n重特征值,A有重特征值时，得不到式（2.23-1）所示的线性独立的n个方程,式（2.24-1）对 求一次导数，得到一个独立方程，求n-1次导数，就可以得到n-1个独
7、立方程。,如果A的特征值,例2.7 试用化矩阵指数 为A的有限项法求解P68,解:在例2.4中已求得矩阵A的特征值,【例2.8】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。,解：利用性质,所以该矩阵不是状态转移矩阵。,例2.9 根据已知状态转移矩阵，求A,解：根据状态转移矩阵性质2,(一)线性系统的零状态强迫运动,系统的运动由两部分组成其中第1项,是初始状态的转移;,第2项是，为控制输入作用的受控项,正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的u使x(t)的运动轨迹满足期望的可能性。,线性系统的零状态响应就是在 求取非齐次状态方程 的解。,2.2 线性系统的一般运动,线性系统的零状态响应就是系统对于各个时刻
8、，由输入量在该时刻引起的状态改变的转移对时间的积累,（二）线性系统的一般运动,设线性系统的非齐次状态方程和输出方程为：,初始状态为 的解,由拉氏变换的卷积积分定理,具体用哪个公式，视求解方便而定。,例2.10 已知系统矩阵,，且,，输入矩阵,单输入u(t)为单位阶跃函数，试求系统的状态响应。P69 例2-8,解：在例2.2中已求得状态转移矩阵：,2.5 线性离散时间系统的一般运动,离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和Z变换法。,迭代法：迭代法对于定常系统和时变系统皆适用。,设线性离散系统的状态方程为：,当k=0，1，2，k-1时，得到：,便于记忆的矩阵形式:,2.Z变换法：Z变换法仅适用于
9、定常系统。,对式(2.54)两边进行Z变换,可得:,整理得,两边进行Z反变换,可得,1.解的形式与连续系统相似，x(k)也是由两部分构成，第1部分是系统自由运动分量，只与系统结构和初始状态有关；第2部分是系统的受控项，不仅与系统结构和初始状态有关，还与u的大小有关；,2.在对控制的转移中，第k时刻的状态与当前的u(k)无关，由其前k-1时刻的u(1),u(2)u(k-1)的线性组合构成。,教材 P78 例2.11 P81例2.12,解:1.迭代法,2.Z变换法,先求系统的状态转移矩阵,令:k=1,2,3,可得到与迭代法相同的x(1),x(2),x(3)。不同的是Z变换法可以得到封闭的解析形式。
10、,补充作业：已知如下离散时间系统，u(k)是从单位斜坡函数t采样得到的，求系统状态解的表达式。,2.4 线性时变系统的解,线性时变系统方程为,证明,（2.44）式两边对 t 求导,并且 时,即,2.4.2 状态转移矩阵 的基本性质,1）满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即,2）可逆性,3）传递性,4）,2.4.3 状态转移矩阵 的计算,用级数近似法计算,（2.53）,解,将 代入（2.53）式,其中,2.4.4 线性时变系统非线性齐次状态方程的解,（2.49）,2.4.5 系统的输出,2.6 连续系统的状态空间描述的离散化,离散化,式（2.6.2）减式（2.6.1）乘以 得：,2.6.3,采用零阶保持器，其数学模型为：,令：,例2.11给定线性连续定常系统：,解：在例2.2中已求得状态转移矩阵：,且采样周期T=0.1秒，试建立时间离散化模型,
