求数列通项公式的十一种办法汇总.doc

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1、求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)总述:一利用递推关系式求数列通项的11种方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数,其定

2、义域是自然数集的一个函数。一、累加法1适用于:-这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2若,则两边分别相加得例1已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。例2已知数列满足,求数列的通项公式。解法一:由得则所以解法二:两边除以,得,则,故因此,则练习1.已知数列的首项为1,且写出数列的通项公式.答案:练习2.已知数列满足,求此数列的通项公式.答案:裂项求和评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;若f(n)是关于n

3、的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1.适用于:-这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若,则两边分别相乘得,例4已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,),则它的通项公式是=_.解:已知等式可化为:()(n+1),即时,=.评注:本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关

4、系式,从而求出.练习.已知,求数列an的通项公式.答案:-1.评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型(1)若c=1时,数列为等差数列;(2)若d=0时,数列为等比数列;(3)若时,数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法:设,得,与题设比较系数得,所以所以有:因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,所以即:.规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项

5、公式逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列中,求数列的通项公式。解法一:又是首项为2,公比为2的等比数列,即解法二:两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的练习已知数列中,求通项。答案:2形如:(其中q是常数,且n0,1)若p=1时,即:,累加即可.若时,即:,求通项方法有以下三种方向:i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即:,令,则,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即:,

6、令,则可化为.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。例7已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数法):设,比较系数得,则数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,即解法二(两边同除以):两边同时除以得:,下面解法略解法三(两边同除以):两边同时除以得:,下面解法略练习.(2003天津理)设为常数,且证明对任意1,;3形如(其中k,b是常数,且)方法1:逐项相减法(阶差法)方法2:待定系数法通过凑配可转化为;解题基本步骤:1、确定=kn+b2、设等比数列,

7、公比为p3、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8在数列中,求通项.(逐项相减法)解:,时,两式相减得.令,则利用类型5的方法知即再由累加法可得.亦可联立解出.例9.在数列中,,求通项.(待定系数法)解:原递推式可化为比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列,首项,公比为.即:故.4形如(其中a,b,c是常数,且)基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。例10已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得,所以由,得则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。5.形如时将作为求解分

8、析:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。例11已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得或,不妨取,(取-3结果形式可能不同,但本质相同)则,则是首项为4,公比为3的等比数列,所以练习.数列中,若,且满足,求.答案:.四、迭代法(其中p,r为常数)型例12已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以又,所以数列的通项公式为。注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13.(2005江西卷)已知数列,(1)证明(2)求数列的通项公式an.解:(1)略(2)所以又bn=1,所以.方法2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法3:设c,则c,转化为

9、上面类型(1)来解五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p0,例14.设正项数列满足,(n2).求数列的通项公式.解:两边取对数得:,设,则是以2为公比的等比数列,练习数列中,(n2),求数列的通项公式.答案:例15已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以。两边取常用对数得设(同类型四)比较系数得,由,得,所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此则。六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例16已知数列满足,求数列的通项公式。解:求倒数得为等差数列,首项,公差为,七、换元法适用于含根式的递推关系例17已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,则代入得即因为,则,即

10、,可化为,所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得。八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明。例18已知数列满足,求数列的通项公式。解:由及,得由此可猜测,下面用数学归纳法证明这个结论。(1)当时,所以等式成立。(2)假设当时等式成立,即,则当时,由此可知,当时等式也成立。根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。九、阶差法(逐项相减法)1、递推公式中既有,又有分析:把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。例19已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。解:对任意有当n=1时,

11、解得或当n2时,-整理得:各项均为正数,当时,此时成立当时,此时不成立,故舍去所以练习。已知数列中,且,求数列的通项公式.答案:2、对无穷递推数列例20已知数列满足,求的通项公式。解:因为所以用式式得则故所以由,则,又知,则,代入得。所以,的通项公式为十、不动点法目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法不动点的定义:函数的定义域为,若存在,使成立,则称为的不动点或称为函数的不动点。分析:由求出不动点,在递推公式两边同时减去,在变形求解。类型一:形如例21已知数列中,求数列的通项公式。解:递推关系是对应得递归函数为,由得,不动点为-1,类型二:形如分析:递归函数为(1)若有两个相异的不动点p,

12、q时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q,再将两式相除得,其中,(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除,得,其中。例22.设数列满足,求数列的通项公式.分析:此类问题常用参数法化等比数列求解.解:对等式两端同时加参数t,得:,令,解之得t=1,-2代入得,相除得,即是首项为,公比为的等比数列,=,解得.方法2:,两边取倒数得,令b,则b,转化为累加法来求.例23已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,得,则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。练习1:已知满足,求的通项答案:练习2。已知数列满足,求数列的通项答案:练习3.

13、(2009陕西卷文)已知数列满足,.令,证明:是等比数列;()求的通项公式。答案:(1)是以1为首项,为公比的等比数列。(2)。十一。特征方程法形如是常数)的数列形如是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为若有二异根,则可令是待定常数)若有二重根,则可令是待定常数)再利用可求得,进而求得例24已知数列满足,求数列的通项解:其特征方程为,解得,令,由,得,例25已知数列满足,求数列的通项解:其特征方程为,解得,令,由,得,练习1已知数列满足,求数列的通项练习2已知数列满足,求数列的通项说明:(1)若方程有两不同的解s,t,则,由等比数列性质可得,由上两式消去可得.(2)若方程有

14、两相等的解,则,,即是等差数列,由等差数列性质可知,所以例26、数列满足,且求数列的通项。解:令,解得,将它们代回得,得,则,数列成等比数列,首项为1,公比q=2所以,则,十二、四种基本数列1形如型等差数列的广义形式,见累加法。2.形如型等比数列的广义形式,见累乘法。3.形如型(1)若(d为常数),则数列为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构造转化为型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得,分奇偶项来分求通项.例27.数列满足,求数列an的通项公式.分析1:构造转化为型解法1:令则.时,各式相加:当n为偶数时,.此时当n为奇数时,此时,所以.故解法2:时,两式相减得:.构成以,为首项,以2为公差的等差数列;构成以,为首项,以2为公差的等差数列.评注:结果要还原成n的表达式.例28.(2005江西卷)已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解:方法一:因为以下同上例,略答案4.形如型(1)若(p为常数),则数列为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过逐差法得,两式相除后,分奇偶项来分求通项.例29.已知数列,求此数列的通项公式.注:同上例类似,略.

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