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1、例谈函数解析式的求法重庆黔江新华中学 侯建新一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数： 二次函数： 反比例函数： 正比例函数： 2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。(注意分段函数的定义域和值域)例（2001上海）设函数，则满足的x的值为 。解：当时，由得，与矛盾； 当时，由得，。 3、复合式若y是u的函数，u又是x的函数，即，那么y关于x的函数叫做f和g的复合函数。例 已知，则 ， 。解： 二、解析式的求法根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑
2、法、赋值（式）法、方程法等。函数的解析式是表示对应关系的式子，是函数三种表示法中最重要的一种，对某些函数问题，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出函数的解析式本文就常见的函数解析式的求法归类例析如下：1图象法例已知函数的图象如图所示求函数的解析式解：由图知函数是分段函数，分别对每段求解析式易得 评注：已知函数图象，求函数解析式，对于这类问题，我们只要能够准确地应用题中图象给出的已知条件确定解析式即可配凑法（满足范围才能取代）例已知求得解析式解：（）评注：已知，求的问题，可先用表示，然后再将用代替，即得的解析式例 已知，求。解：，（）。例 已知，求。解：，（）。例 已知：，求。解： 注意：1、
3、使用配凑法也要注意自变量的范围限制； 2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。换元法（满足范围才能取代）例已知，求函数的解析式解：令，则（引入新元要标注范围）从而评注：已知，求的问题，若用配凑法难求时，则可设，从中解出，代入进行换元来解在换元的同时，一定要注意“新元”的取值范围待定系数法当函数类型给定，且函数某些性质已知，我们常常可以使用待定系数法来求其解析式。例求一次函数，使得解：设一次函数为，则，由已知可得，比较系数得：，解得例 已知二次函数满足，求。解：设函数为，将代入得，解得，。例 已知二次函数满足且图象经过点（0，1），被轴截得的线段长为
4、，求函数的解析式。分析：二次函数的解析式有三种形式： 一般式： 顶点式： 双根式：解法1：设，则图象经过点（0，1）知：，即 c=1 由知：整理得：即： 由被轴截得的线段长为知，即 即 整理得： 由得： 解法2：由知：二次函数对称轴为，所以设；以下从略。解法3：由知：二次函数对称轴为；由被轴截得的线段长为知，；易知函数与轴的两交点为，所以设，以下从略。例 已知：为二次函数，且，求。解方程组法例已知，求的解析式解：已知将中变量换成，得联立、可得方程，消去得例 已知：，求。解：已知：用去代换中的得 由2得： 评注：已知满足某个等式，这个等式除是已知量外，还出现其他未知量，如（），等可以根据已知等式
5、再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出特殊值法对于抽象函数，我们常常使用赋值法来探求其函数解析式。例已知对一切，关系式都成立，且，求解：对一切、都成立令得，再令得例 已知定义在实数集上函数对于一切、均有，且，求。解：在中，令、得，即，。例 已知函数满足，求函数。解：以代原关系式中的得，与原关系式联立组成方程组解得：。对于函数，当满足形如（）或（）等关系时，我们可以用或代替关系式中的，将得到的新式子与原关系式联立消元，将从方程中解出来。例 已知函数对于一切实数都有成立，且。（1） 求的值；（2） 求的解析式。解：（1） 取，则有 （2）取，则有 整理得：7.递推法对于定于在上的函数，我们可以
6、把、等与数列中的项、等关联起来。我们直接从给定的条件关系式或通过巧妙的赋值，将其转化为数列的递推关系式，进而将求函数的解析式转化为求数列的通项。这样，我们便可以将求递推数列通项公式的思想方法迁移过来进行求解。例7 已知是定义在正整数集上的函数，并且对于任意的、，都有，且，求。解：令得那么有：各式叠加得：即（）8.变换法对于给定轴对称函数、中心对称函数、周期函数等在某区间的解析式要求另一区间上函数解析式一类问题，我们可从目标（待求）区间入手，构造变量属于已知区间，通过给定的函数的性质把待求的解析式和构造变量的函数值之间的关系关联，从而把函数在待求区间上的解析式求解出来。例8（奇偶变换法） 已知为定义在上的奇函数，当时，试求当时的解析式。解：设。则，那么，而为奇函数，。例9（对称变换法） 已知的图像关于直线对称，当时，试求当时的解析式。解：设，则，那么，而的图像关于直线对称，。例10（周期变换法） 已知偶函数为定义在上的周期为2的周期函数，已知当时，求当时的解析式。解：当时，而是周期为2的周期函数，；当时，而为偶函数，。综上得，当当时。
