《高三一轮复习导学案76 第13章 第05节——数学归纳法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三一轮复习导学案76 第13章 第05节——数学归纳法.doc（14页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、13.5数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk (kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述方法叫做数学归纳法难点正本疑点清源1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算nn0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值第(2)步
2、，证明nk1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0_.2用数学归纳法证明：“1aa2an1 (a1)”，在验证n1时，左端计算所得的项为_3用数学归纳法证明：“11)”，由nk (k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_4记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.5已知f(n)，则 ()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f
3、(2)题型一用数学归纳法证明等式例1求证：1222n2.探究提高用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证nn0时命题的真假(必不可少)“假设nk (kN*，且kn0)时命题正确”并写出命题形式分析“nk1时”命题是什么，并找出与“nk”时命题形式的差别弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 是否存在常数a，b，c使得等式122232n(n1)2(an2bnc)对于一切正整数n都成立？并证明你的结论题型二用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证
4、明：11n (nN*)探究提高(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有：放缩法；利用基本不等式；作差比较法等 设数列an满足a12，an1an (n1,2，)(1)证明：an对一切正整数n都成立；(2)令bn (n1,2，)，判断bn与bn1的大小，并说明理由题型三用数学归纳法证明整除问题例3用数学归纳法
5、证明an1(a1)2n1(nN*)能被a2a1整除探究提高证明整除问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出nk1时的情形，从而利用归纳假设使问题获证 求证：(3n1)7n1 (nN*)能被9整除32.归纳、猜想、证明从特殊到一般的思维能力试题：(12分)在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列an的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想审题视角(1)数列an的各项均为正数，且Sn，所以可根据解方程求出a1，a2，a3；(2)观察a1，a2，a3猜想出an的通项公式an，然后再证明规范解答解(1)S1a1得a1
6、.an0，a11， 1分 由S2a1a2，得a2a210，a21. 2分又由S3a1a2a3得a2a310，a3. 3分(2)猜想an (nN*) 5分证明：当n1时，a11，猜想成立 6分假设当nk (kN*)时猜想成立，即ak，则当nk1时，ak1Sk1Sk，即ak1，a2ak110，ak1.即nk1时猜想成立 11分由知，an (nN*) 12分批阅笔记(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力(2)本题易错原因是，第(1)问求a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出an的一般表达式第(2)问想不
7、到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.方法与技巧1利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明2利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题3利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题4利用数学归纳法可以证明整除问题，在证明时常常利用凑数、凑多项式等恒等变形5利用数学归纳法可以证明几何问题失误与防范1数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题2严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础3注意nk1时命题的正确性4在进行nk1命题证明时，一定要用nk时的命题，没有用到该命题而推理证明
8、的方法不是数学归纳法课时规范训练 (时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2成立，则下列结论正确的是 ()Ap(n)对所有正整数n都成立Bp(n)对所有正偶数n都成立Cp(n)对所有正奇数n都成立Dp(n)对所有自然数n都成立2某个命题与自然数n有关，若nk (kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得 ()An6时该命题不成立 Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立 Dn4时该命题成立3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证n
9、k1 (kN*)时的情况，只需展开 ()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)34设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是 ()A若f(3)9成立，则当k1，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8，均有f(k) (k1)，则当nk1时，左端应乘上_，这个乘上去的代数式共有因式的个数是_三、解答题8用数学归纳法证明： 对任意的nN*，. B组专项能力提升题组一、选择题1用数学归纳法证明不等式1 (nN*)成立，其初始值至
10、少应取()A7 B8 C9 D102用数学归纳法证明不等式时，f(2k1)f(2k)_.三、解答题7设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明8(2010江苏)已知ABC的三边长是有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数答案基础自测132.1aa23.2k4.5.D题型分类深度剖析例1证明(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立；(2)假设nk (kN*)时，等式成立， 即1222k2，则当nk1时，1222k2(k1)2(k1)2所
11、以当nk1时，等式仍然成立由(1)、(2)可知，对于nN*等式恒成立变式训练1解假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式122232n(n1)2(an2bnc)中，令n1，得4(abc) 令n2，得22(4a2bc) 令n3，得709a3bc 由解得a3，b11，c10，于是，对于n1,2,3都有122232n(n1)2(3n211n10)(*)式成立下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立(1)当n1时，由上述知，(*)式成立(2)假设nk (kN*)时，(*)式成立， 即122232k(k1)2(3k211k10)，那么当nk1时，122232k(k1)2(k1)(k2)2(
12、3k211k10)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10，由此可知，当nk1时，(*)式也成立综上所述，当a3，b11，c10时题设的等式对于一切正整数n都成立例2证明(1)当n1时，左边1，右边1，1，即命题成立(2)假设当nk (kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1. 又1，不等式成立假设当nk (kN*)时，ak成立那么当nk1时，a2k1a2k22k32(k1)1.当nk1时，ak1成立综上，an对一切正整数n都成立方法二当n1时，a12，结论成立假设当nk (kN*)时结论成立，即ak.那么当nk1时，由函数f(x)x (x1)的单调
13、递增性和归纳假设，知ak1ak.当nk1时，结论成立an对一切正整数n均成立(2)解1.故bn1bn.例3证明(1)当n1时，a2(a1)a2a1可被a2a1整除(2)假设nk (kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假设可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1时命题也成立，由(1)(2)知，对任意nN*原命题成立变式训
14、练3证明(1)当n1时，(3n1)7n127，能被9整除(2)假设nk (kN*)时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，那么当nk1时：3(k1)17k11(3k1)3(16)7k1(3k1)7k1(3k1)67k217k(3k1)7k13k67k(621)7k.由归纳假设知，以上三项均能被9整除则由(1)、(2)可知，命题对任意nN*都成立课时规范训练A组1B2.C3.A4.D5f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2 6an7. 2k18证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk (kN*)时等式成立，即有 ，则当nk1时， ，所以当nk1时，等式也成立由
15、(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立B组1B2.C3.B4.(5,7) 5(k21)(k22)(k23)(k1)26. (kN*)7解(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10， 解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是2a2a20，解得a2.(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10. 由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3，.下面用数学归纳法证明这个结论()n1时已知结论成立()假设nk (kN*)时结
16、论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由()、()可知Sn对所有正整数n都成立8证明(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos A是有理数(2)用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理数当n1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin A1cos2A也是有理数假设当nk(kN*)时，cos kA和sin Asin kA都是有理数当nk1时，由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin (k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)co
17、s kA(sin Asin kA)cos A，由和归纳假设，知cos (k1)A与sin Asin(k1)A都是有理数，即当nk1时，结论成立综合、可知，对任意正整数n，cos nA是有理数. 我的大学爱情观目录：一、 大学概念二、 分析爱情健康观三、 爱情观要三思四、 大学需要对爱情要认识和理解五、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处
18、理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：
19、1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间
20、去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（一） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（二） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人
21、的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（三） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，
22、要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（四） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（五） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在
23、一起的时间的多少程度。（六） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力。总结：男女之间面对恋爱，首先要摆正好自己的心态，树立自尊、自爱、自强、自重应有的品格，千万不要盲目地追求爱，也不宜过急追求爱，要分清自己的条件是否成熟。要树立正确的恋爱观，明确大学的目的，以学习为第一；规划好大学计划，在不影响学习的条件下，要对恋爱认真，专一，相互鼓励，相互学习，共同进步；认真对待恋爱观，做健康的恋爱；总之，我们大学生要树立正确的恋爱观念，让大学的爱情成为青春记忆里最美的风景，而不是终身的遗憾！
