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1、捕捉学生灵感，成就课堂精彩【内容提要】：数学课堂瞬息万变，学生经常会冒出各种意外“灵感”。当这种意外“灵感”出现时，也是教师大显身手之时。本文从两个课堂案例入手，生动阐述了数学课堂中学生的“灵感”是稍纵即逝的，教师应善于捕捉学生这一闪而过的 “灵感”，充分挖掘其潜在的教育资源，使数学课堂因学生的“意外灵感”而生成许多精彩。以及笔者对两个课堂案例所产生的反思与感悟。【关键词】 捕捉 灵感 预设 生成 生本观数学课堂上瞬息万变，学生经常会冒出各种意外“灵感”。它可能出现在课始，可能诞生在课中，当然也可能在课尾姗姗而至。这些意外“灵感”超出了课堂预设，也短时间影响了课堂教学秩序，本应当竭力“排斥”。
2、但从学生成长的角度来看，无论是“课堂教学”，还是“意外灵感”，都是学生生命成长的重要组成部分。有时，意外“灵感”所产生的教育价值是教学内容无法企及的。所以，教师面对学生的“意外灵感”要随机应变，努力把“没想到”变成“想到了”，把“干扰”巧妙淡化或转化成新的教学资源。当意外“灵感”出现时，也是教师大显身手之时，如果问题化解得巧妙，不仅能使教师自己迅速摆脱窘境，保证课堂教学顺利进行，而且还会赢得学生的敬佩；反之则犹如掉进了泥潭，不但这节课的教学任务完成不了，而且教师在学生心目中的威信也要大打折扣，甚至还会伤害学生的心灵。一数学课堂中学生的“灵感”是稍纵即逝的。 现代数学教学的焦点已不在于理论层面的
3、“应然”性探讨，而在于具体教学行为中的“实然”性操作，调动学生自主参与数学活动，在“做数学”的过程中掌握知识和发展能力已成为现实数学课堂教学的普遍追求。但是，有一种现象却不容忽视：教师面对课堂中不期而遇的学生的“灵感”往往在不经意间“一滑而过”，而滑过的“灵感”使我们错过了很多课堂的精彩，可以说是“赢得了起点，却失去了终点”，实在令人感到可惜。案例1 下面是笔者在一位年轻教师公开课“两角差的余弦公式”上的部分听课实录教师：大家都知道，cos=,那么是不是等于呢？学生：不是。教师：这个问题可以推广为如何用的正弦值、余弦值来表示。以前我们在哪里曾遇到过角度的余弦值呢？学生1：诱导公式中。教师：再想
4、想。学生2：三角函数定义中也出现过。教师：能否形象些？学生2: 三角函数线。教师：很好！下面请大家利用三角函数线来探究一下到底等于什么？学生自主探索几分钟后，教师挑选了一位学生来回答。学生3：我是先画出单位圆，如图1，以Ox轴为始边，作比较大的角，再以Ox轴为始边作较小的角，终边分别于单位圆相交于A、B两点，则目标角就是图中AOB，接下来我不知道该怎样作了教师：刚才学生3说以Ox轴为始边作角，陷入了困境，其实是角作得有问题，现在我们让角的始边与角的始边重合，如图2所示（注：此作图方法即教材中的作图方法），请大家继续探究一下。几分钟后，教师又挑了一位学生来回答。学生4;不妨设单位圆与x轴交于点C
5、，如图3所示，过点C作CDOB，垂足为D，则教师：请等一下，过点C作CDOB行吗？（注：此作图方法与教材中的作图方法有所不同）学生4：（学生无语）教师：其实这样是不行的，请同学们思考一下，是否有其他的作法？学生 5：如图4（即教材中的作图方法）过点B作BDOC，垂足为D。教师：很好，请继续。 于是学生5在教师的 “旁敲侧击”之下得到了如下的解法（即教材中的解法）：设AOC=,AOB=.作BDx轴，垂足为D，作BEOA，垂足为 E，再作EFx轴，垂足为F，作BGEF，垂足为G则BEG=AOC= OD=OF+FD=OF+BG=OEBE=OB+OB=OB（+）又OD=OB=+在教师的一番表扬之后，教
6、师继续引导：是否有同学想到了更简单的证法。我们刚刚学过的什么知识也涉及了角度的余弦？学生：数量积公式。教师：太棒了！接下来，教师熟练地引导学生利用数量积公式推导出两角差的余弦公式课后，我问了上课教师两个问题：笔者：为什么学生3作的图1没被采纳？教师:因为图1跟书本上的图不同，不好操作。笔者：那你为什么打断了学生4的作图过程？教师：这样就证明不出了。笔者分析：我们先看一个现象：当这位老师提出前两个问题时，学生的热情是高涨的，回答的声音也是响亮的。可是在学生3作的图1没被采纳，学生4的作图过程又被否定后，学生回答问题的声音就明显变轻了，这说明，教师在无形中已挫伤了学生的积极性。其实学生3作的图1很
7、好操作，学生4的想法也是非常好的，教师如果能够因势利导，让学生充分的探究，也许课堂会更加和谐，学生的探究热情会更加高涨，课堂会更加充满生机，这也是新课程所大力倡导的。下面是笔者用学生3作的图得到的解答过程： 如图5，设AOC=,BOC=. 作BDx轴，垂足为D，作BEOA，垂足为 E，再作DFOA，垂足为F，作BGDF，垂足为G。OE=OF+FE=OF+BG=ODBD=OB+OB=OB（+）又OE=OB=+可见，顺着学生3的思路也可以得到同样的结论。下面我们再来看被教师否定的学生4的思路是否也能继续下去。解：如图6，设AOC=,AOB=.作CDOB，垂足为D，作CEOA，垂足为E，再作EFOB
8、，垂足为F，作EG/OB，与CD的延长线交于点G。OD=OF+FD=OF+EG=OECE=OC+OC=OC（+）又OD=OC=+从上面的解答过程我们不难发现，其实顺着学生的思路，一样可以解决问题。一堂课时间是有限的，因此不同的课，我们制定的三维目标也必须有所侧重，“两角差的余弦公式”这堂课从内容上来讲是一堂公式探究课，因此这堂课的教学目标应该侧重在“过程与方法”上。既然是要体现“过程与方法”，那就要让学生主动地、充分的探究，教师要捕捉学生课堂上的瞬间灵感，而不是根据自己的预案牵着学生的鼻子探究。二有效捕捉课堂中的“灵感”，努力挖掘“灵感”的潜在资源。 “生成”是课程改革中使用频率较高的一个词，
9、追求互动生成的数学课堂已成为教师教学的追求。生成既有预料之内，也有意料之外。的确，课堂上我们经常会遇到这样的尴尬：教师正要进行下一环节教学时，学生可能会冷不丁冒出一个问题或补充一种算法，或提出一种疑问等。这时，放弃既定环节教学，就会影响教学任务的完成；装作末见，又显然有悖于“据学而教”的理念。每每遇此，教师常常进退两难。一个真诚关注学生发展的教师会果断地调整教学任务，敏锐捕捉稍纵即逝的生成点，并加以放大。因为，许多富有创造性的生成点是一闪而过的，一个时间差，就可能错失一次激情与智慧综合生成的良机。下面笔者以在执教“椭圆复习课”上的“意外收获”为例，与大家共赏善待生成所带来的无限风光。案例2 “
10、椭圆复习课”上的一个教学片断：多媒体出示如下的例题：当m是何值时，直线l：y=x+m与椭圆x2+2y2=2,（1） 有一个交点？（2）有两个交点？（3）没有交点？教师：请同学们思考一下，该怎样判断？学生（齐声）：联立方程组，用判别式法进行判断。师点头，并总结直线与椭圆的交点个数问题的常规解法。正当我要出示下一例题时，学生1追着问：老师，能否利用几何法求解？对于学生1这突如其来的问题，我心里实在没底，因为我自己以前从没想过这个问题。在判断直线与圆的位置关系时可以用代数法也可以用几何法，而判断直线与椭圆的交点个数问题我们一直只用代数法在判断。为了稳住学生，我首先是表扬这位学生：你的问题提得很好？爱
11、因斯坦说过“提出问题比解决问题更重要”。那么，你自己有想法吗？学生1：我是这样想的： 根据椭圆的定义，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为2a,即：|PF1|+|PF2|=2a2c,那么，当|PF1|+|PF2|=2a时，点P在椭圆上；当|PF1|+|PF2|2a时，点P在椭圆外；当|PF1|+|PF2|2a时，直线与椭圆相离；当dmin2a时，直线与椭圆相交。但是我不知道怎样来求d=|PF1|+|PF2|的最小值。 图1教师：太好了，你真了不起！看来学生1会让我们今天有意外的收获。哪位学生能替学生1解决这个问题呢？同学们都陷入了沉思。这时，学生2数学课代表举起了手，我示意他发言。学生2：老师，设
12、关于直线的对称点，可求得，则。当时，即m=时，图2直线与椭圆相切，即直线与椭圆有一个公共点；当时，即或时，直线与椭圆相离，即直线与椭圆没有公共点；当时，即时，直线与椭圆相交，即直线与椭圆有两个公共点。教师：这两位同学讲得很精彩！通过这两位同学的分析结果，我们找到了用几何法来解决直线和椭圆的交点个数问题！几何法对直线和椭圆的交点个数问题的处理，解决了学生1的疑惑，教室里洋溢着收获的喜悦。就在笔者以为这个问题已经圆满结束，可以继续讲解下面的例题时，学生3站起来发言：老师，我还有一种想法？椭圆是由圆上的每个点的横坐标（或纵坐标）压缩（或伸长）原来的若干倍得到的图形。那么，能不能将椭圆还原为圆来处理呢
13、？真是一石激起千层浪，学生3的疑惑立即引起了同学们的热烈响应，“精彩”居然接踵而来。难道学生3还会有更好的解法？强烈的好奇心让笔者决定继续听学生3说下去。教师：学生3说得在理。那具体如何操作？学生3接着说：先将椭圆转化为圆，椭圆方程 设则椭圆变为圆：，所以原题变为：当m是何值时，直线l：y=x+m与圆,(1) 有一个交点？（2）有两个交点？（3）没有交点？ 然后利用几何法便很快可以求解答案。学生3的话音一落，同学们马上响起了热烈的掌声。我示意学生们安静下来，首先表扬了学生3的想法的巧妙！然后让学生们按学生3的思路求解m的值。几分钟后，学生们发现求出来m的值与前面的答案不一致。都觉得学生3的解法
14、有问题。教师：大家求出来m的值与前面的答案不一致是吧！说明学生3的思路有错误，那么同学们能否找出其错误的原因呢？ 学生们又陷入了沉思之中片刻后，学生4站起来补充：老师，直线方程l：y=x+m应同时变为：才对。教师：非常不错！学习4对学生3的解法进行了正确的修改。所以正确的解法是：先将椭圆转化为圆，椭圆方程 设则椭圆变为圆：，同时直线方程变为：所以原题变为：当m是何值时，直线l：与圆,有一个交点？（2）有两个交点？（3）没有交点？然后利用几何法便很快可以求解答案。大家觉得学生3和学习4的解法怎么样？学生们异口同声的回答：太巧妙了！教师：是的，太妙了！我想刚才大家的掌声已是对学生3的奇思妙想的一个
15、最好的评价。刚才这几位同学的分析非常精彩，想到了老师都没想到的解法，现在我们用热烈的掌声表示对刚才几位同学聪明才智的肯定。（掌声）此时，下课铃响了。我要求每位同学把今天的收获写出来做在作业本上作为今天的作业。下课后，同学们还是沉静在收获的喜悦中。以上这个问题的圆满解决，让我长长地舒了口气。虽然自己备课上的很多内容还没开始。但是这节课收获的却不仅仅是两种解决直线与椭圆交点个数问题的新方法，而是通过对该问题的质疑和探索提高了学生的能力，倡导了“学贵在疑”的教学思想。三感悟与反思1. 数学教学的处理要注重以生为本，强调和谐发展。“以生为本”是课改以来深入人心的一大理念。强调“生本观”，并不是说教师无
16、原则的听从于学生，一味取悦于学生。而应是从促进学生的发展着眼，善于对学生的学习行为施行积极的干预和引领。在学生学习中，教师坚持善放手，敢放手，必要时扶一手的做法，也是“积极的干预和引领”；教学时能结合学科特点，不时对思想方法做必要的发掘与总结，不断促进学生数学素养的提高，为学生以后更顺利学习积累经验，更是“积极的干预和引领”，这些都是值得提倡的做法。也就是说，促进了学生和谐发展应该是数学教学的终极目标。2. 弹性设计堂课中的意外“灵感”虽然打乱了原先的教学计划，但收获的却不仅仅是某个问题的结果，而是通过对该问题的质疑和探索提高了学生的能力，倡导了“学贵在疑”的教学思想。所以笔者感觉到教学预设是
17、必要的，因为教学是一个有目的，有计划的活动。但同时这种预设不应是刚性的、机械的和过分统一的，而应是有弹性、有留白的预设。叶谰教授曾说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没激情的行程。”“一节课不应该完全是预先设计好的，在教师与学生，学生与学生的合作、对话、碰撞中，难免会出现一些超过教师预设方案之外的新问题、新情况，这就是课堂的动态生成。”因此教师应该注重宏观设计，着眼动态生成，突出系统开放，强调互动影响。这就要求教师在教学设计中，应充分考虑到课堂上可能出现的各种情况，并给教师和学生足够的留白，从而使整个预设留有更大的包容度和自
18、由度，为教学资源的生成提供可能，为个体知识的生成创造条件。3善待生成是一种态度，不是能力“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”是高中数学课程标准的基本理念之一。但在实际课堂教学中，问题的提出者大都来自教师。面对学生的问题和种种“意外”，教师缺乏的是积极应对的态度，而非能力。教师考虑更多的是意外生成会影响教学计划的完成，恰恰是这中担心让我们错过了许多美丽的风景，更挫伤了学生提问的积极性，阻碍了学生能力的拓展。数学教育家波利亚曾经说过：“学生的尝试越是五花八门，探究活动越是新颖灵活，那么，他们也就是越有可能得到异乎寻常的结果”。学生的思维不断得到涌现，正是在这种师生、生生之间的互相碰撞中，随时会发生
19、一些教师事先没有预料到的事情，打乱教师的教学思路。对于这样的“意外”生成，许多教师常常不知所措，或视而不见，或刻意回避。其实，非预设性教学正是新课程课堂教学的最重要特征。意料不到的课堂“意外”，是学生自主探究学习的自然生成，理应成为宝贵的课程资源。那些看似“离经叛道”的独特想法，往往能孕育“精彩”。我们应该把这“意外”及时纳入教学当中，耐心等待仔细倾听学生的每一次思维颤动，也许，它会让动态生成更加精彩。意外，曾给我遗憾，给我惊喜，也给了我许多启示。它来自互动的碰撞；来自个别学生的别出心裁。它是挑战，也是教育智慧迸发和提升的机遇；它是障碍，也是教学中独特的资源；它需要教师长期蕴积的教育艺术，也需
20、要教师充满创造的教育机智；它呼唤教师要冷静思考，更呼唤教师用心去感应，去把握。是啊，用爱心去理解，用热心去呼应，用巧心去运思。这样，意外，将成为课堂里的一道彩虹；意外，将引发我们心灵的异样光芒；意外，将沉淀成我教育生涯中一份珍贵的幸福记忆。4意外发生后的应变能力很重要所谓“智者千虑，必有一失”，课前准备得再充分，考虑问题再仔细，面对纷繁复杂的课堂，“意外”防不胜防。但出现“意外”并不意味着是坏事，它恰恰反映了学生主动参与课堂活动的程度。因为，只有在学生的思维被充分激发起来的课堂出现的机会最多。因此，如何灵活妥当地处理“意外”事件就显得尤为重要，它不仅关系着一堂课教学的成功，而且是衡量一位教师教
21、学机智的标志，可以反映出教师应变艺术的水准。马卡连柯说：“教育技巧的必要特征之一就是随机应变的能力，有了这种品质，教师才可能避免刻板的公式，才能估量此时此刻的情况特点，从而找到适当的方法并加以正确的运用。”而课堂上很多偶发事件是事先预料不到的，所以应随时因势利导，随机应变，巧妙地融进自己的教学中，利用意外情况与讲授内容快速地合理地契合，借题发挥做“文章”，这样灵感性的发挥创造，是课前备课在课堂上的随时延伸，是教师知识积累、各方面修养及激情瞬间的高度凝合。具有机智的教学，可以把偶发事件、失误等弥合在如同行云流水般的教学活动中，并达到天衣无缝的妙境。甚至面临“山穷水尽”的关头，也只需要急中生智地顺
22、水推舟就能化险为夷，出现“柳暗花明又一村”的喜悦。5要提高数学教师自身的专业素质课程改革要求数学教师应更新知识结构，努力扩展知识层面，具有宽厚的基础知识和现代信息素质，形成多层次、多元化的知识结构；有开阔的视野，善于捕捉和分析综合信息；有创新的教育观念与灵活多变的教学方法；有敏锐的洞察力和丰富的想象力及超前性和独创性的数学思维；能灵活地选择教学内容，善于创设发展学生个性品质的自由空间；能在数学教学中塑造学生的价值取向，理想和信仰、道德情操、审美情趣等，丰富学生的精神世界。终身教育的提出，要求教师把更新知识结构、扩展知识层面视为一种己任，使“终身学习”内化为教师的自觉行为。首先，中学数学教师要通
23、过自学或培训学习提高自己的专业理论水平；其次，中学数学教师要通过报刊、杂志、网络信息等收集有关的教育教学资料，充实自己的实践知识；再者，中学数学教师要学习数学史、数学文化的教育价值，学习数学在相关学科中的应用；还有，数学教师要不断学习心理学和教育学，从而以全新的发展的教育理论来支撑、改进自己的数学教学工作。老师们，让我们珍视课堂中的“灵感”。关注“灵感”这是一种智慧，也是一种创造。让我们带着欣赏的心态去洞察教学中发生各种有益的“意外”，去捕捉那充满智慧的“灵光一现”，让“灵感”孕育出精彩，绽放出美丽！参考文献：1张奠宙 普通高中数学课程标准解读M 江苏教育出版社 2004年2普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社 2003年3.关注学生发展 重建课堂文化南山区教育局局长 曾令格 4 .魏本义 应如何设计 更科学合理 中学数学教学参考 2008年第6期5 .郑毓信 数学教学方法改革之实践与理论思考J 中学教研 2006年第6、7期
