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1、东北大学第九届东软杯大学生数学建模竞赛暨2011年全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛参赛队编号：（20093481）选择题目：A B基于公路汽车侧滑的公路合理性分析和改进方案一 摘要本论文通过上网查找事故发生地的实际情况，结合公路设计的标准要求，忽略次要因素，对于问题一，建立了基于分析汽车在弯道内侧滑的条件的公路合理性模型，计算出汽车在弯道内行驶最容易发生事故的点和进入弯道而不发生事故的最大速度。对于问题二，设计缓和曲线，建立了缓和曲线的曲线方程模型，使汽车通过缓和曲线能从直道平滑的过渡到弯道。对于问题一，首先，通过在google地图上取点，描绘出事故多发地弯道的曲线形状，将屏幕坐标点转化为实际
2、道路情况坐标点。其次，对得到的反映实际路况的一系列坐标点进行Hermite插值处理，并将处理后的点拟合成一个多项式函数。再次，通过分析汽车入弯后行驶时的情况得出发生侧滑的条件。最后，考虑汽车在弯道上每一点行驶的滚动摩擦力，结合已经分析得出的侧滑条件，计算得出在弯道上最容易发生事故的点的坐标，并求出该点对应的进入弯道的初始速度的值，这个值就是能顺利过弯而不发生事故的速度最大值。通过计算得出进入弯道的最大速度为17.2839m/s转换为km/h为62.2221km/h即超过此速度后汽车在弯道内一定会发生事故。对于问题二，由于不要求成本最低，则假设不能改变S型弯道的形状，依据问题一的结论，在不改变弯
3、道形状的前提下，通过设计缓和曲线使汽车安全过弯，缓和曲线作用主要有两点，一是提示司机前方有弯，需减速至60km/h以下，二是使汽车车头能平滑的转动至弯道切线方向，而不因为车头转动过快使汽车失去控制。缓和曲线的设计通过对缓和曲线的要求推导出霍尔布鲁克螺线（回旋线）模型，根据要求改变道路成本最低，确定处缓和曲线的最小长度，通过最小长度确定回旋线的参数。求解缓和曲线方程式，通过转化，近似，将此问题转化为求解一个带初值的二阶微分方程的问题，微分方程为：此微分方程无法求得解析解，因此采用计算出其在设置缓和曲线范围内的一系列数值解，之后通过最小二乘法对缓和曲线方程做拟合的方法近似计算缓和曲线方程。论文中图
4、七为缓和曲线与弯道连接的示意图。关键词：Hermite插值，最小二乘法拟合，滚动摩擦力，缓和曲线，霍尔布鲁克螺线（回旋线），微分方程数值解， 二 问题重述广元市利州区宝轮镇街道上，于2010年5月25日发生一起交通事故。一辆拉砖的货车一头撞进路边居民房内，司机受伤。该段道路的上段是近2公里的长坡，到出事路段时，则是一段S形的急弯陡坡路。“这一段公路至少都有40多米宽，是宝轮的形象公路。”张建东来到宝白公路另一端说，他家门口的公路，却因为建了一座“山珍大厦”，将整个道路差不多占去一半，该大厦同时将往宝轮方向行驶的车辆的视线完全挡住。“我们认为这段路设计上有问题，以前这里就是一块平地，本来可以建成
5、没有坡的道路，现在却是原没有坡的拱了个坡，没有弯的造了个弯。”附近居民说，行驶至该路段的驾驶员被前方十字路口的建筑挡住视线，驶过此路段的车辆车速都很快，一下坡就遇到红绿灯，根本来不及刹车。汽车行驶经过下坡路段后，车速达到较大的值，在不知道前方有弯道和红绿灯的情况下，不会减速刹车。遇到红绿灯后刹车已经来不及了。在题目给定的条件下，同学们可自行设计符合题意的情景，建立你的数学模型：(1) 说明道路设计是否合理；(2) 如道路设计不合理需要如何修改设计在最小成本的情况下得到最大改善。三 模型假设1. 汽车在下坡时不知道前方有急弯。汽车在不知情情况下沿下坡路段一直加速。2. 当汽车发现红绿灯时立即刹车
6、减速，并开始过弯。汽车进入弯道为平滑入弯，即是沿弯道的切线方向进入弯道的。3. 汽车的转弯半径约等于弯道的曲率半径。4. 假设汽车发生的事故只有侧滑而没有侧翻的情况，即当失去平衡时汽车四轮没有离开地面。5. 认为只要侧滑就为发生事故。四 问题分析 通过查阅google地图中当地地形的实际情况的卫星视图可清楚的看到事故发生路段的地形情况，事故所发生路段为一个直道下坡之后接一个S型弯道如下图所示：S型弯道直道山珍大厦图片一：事故发生地地形示意图结合google地图中的地形和照片中的路口实际情况，分析事故发生的原因可以推断，汽车行驶经过下坡路段后，车速达到较大的值，在不知道前方有弯道和红绿灯的情况下
7、，不会减速刹车。遇到红绿灯后汽车刹车过弯，但已经来不及将速度降低到正常过弯的情况。由于离心力的作用，导致汽车失去控制，发生事故。分析道路设计是否合理即可转化为分析汽车以一定速度从坡道上行驶下来后不发生事故的最大速度的问题。改良公路线型使汽车能平滑入弯。第一步，通过取点将入弯段得公路弯道曲线离散化，用Hermite插值对所取离散的点进行插值处理，之后用最小二乘法拟合出在入弯处得公路曲线的函数。第二步，结合第一步所得的函数，计算在入弯处的函数在此点的曲率半径，结合牛顿力学进行分析，得出实际允许的最大速度，与实际情况比较得出公路设计是否合理第三步，以汽车在弯道路段不发生侧滑为原则，对以上两步求得的结
8、果进行优化分析，结合公路设计中的缓和曲线，尽可能大的增大最大速度，权衡成本与速度最优得出结论。五 符号说明符号含义在地图上取得一系列的点汽车行驶到弯道处得曲线方程汽车驶入弯道时，弯道的起点弯道在处开始到处结束，汽车入弯时在的曲率半径，在弯道中行驶在处得曲率半径汽车的质量，汽车入弯时的速度，汽车行驶到时的速度 汽车的滚动摩擦系数汽车的横向附着力系数路面超高，即公路平面与水平面夹角刹车后滑行，从刹车点到的路程。缓和曲线的方程。缓和曲线的起始点。点处距开始处距离。缓和曲线段行驶的平均速度。缓和曲线上行驶的离心加速度变化率为L缓和曲线的总长度。直线段得斜率，即入弯点的弯道斜率缓和曲线上点处得曲率半径六
9、 模型建立6.1 原始数据的取得和处理6.1.1 对所取的点进行Hermite插值用google地图中的点在屏幕上的坐标得到在题目描述路段的道路曲线上的点的坐标并将通过比例尺转化为横纵坐标都为m的点设为。以水平东西方向为x轴，以水平南北方向为y轴建立直角坐标系，。在中对事故发生路段着重取点增大取点的密集程度，提高准确性。对取得的一组点中的事故发生路段的点设为，设其中有若干组点进行Hermite插值，得到更加密集的一组点，使曲线更加平滑。6.1.2 最小二乘法拟合由于Hermite插值得到的插值多项式一阶可导但二阶不一定可导，而求曲线的曲率时必须用到函数的二阶导数值，因此，对Hermite求得的
10、更密集的点用最小二乘法进行拟合，拟合成一个多项式函数，设用最小二乘法拟合求得弯道曲线的方程为，并求得汽车在处入弯。6.2 公路弯道设计合理性分析公路设计的合理性可由入弯不发生侧滑的最大速度衡量，即容许通过该路段不发生事故车辆的最大速度。通过动力学理论分析可求得此最大速度。6.2.1弯道曲线中的曲率半径道路曲线的方程为，则曲线上点的的曲率半径为： (1)在点的曲率半径为6.2.2 汽车不发生侧滑时速度条件模型 轮胎在路面上出现横向滑移时的附着系数称为横滑附着系数设其为。汽车通过弯道时，在未使用制动的条件下，不出现侧滑的条件是离心力不大于横向附着力与汽车重力在路面平行方向的分力之和。汽车离心力可表
11、示为 (2)公示中m为汽车的质量，v为汽车过弯的速度。汽车的横向附着力可表示为： (3)由于公路设计时路面都不会是平整的，路面与水平面之间都有很小的夹角，设路面与水平面之间的夹角即路面超高为，因此重力在路面方向的分力为： (4)在很小时由于，即则可以用近似的代替，即上式可化为： (5)要使汽车入弯后不出现侧滑的情况须有： (6)由以上各式可解得： (7)6.2.3 刹车之后速度变化模型刹车之后，发动机停止工作不做功，汽车依靠原有动能在路上滑行，摩擦力最大可取滑动摩擦力，不发生侧滑时取滚动摩擦力为。设滑到处时汽车速度为，在此处弯道的曲率半径为。由刹车后汽车动能转化为内能。从处入弯到达处汽车划过距
12、离由弧长公示可得： (8) 汽车行驶到处时的速度满足关系式： (9)判断公路设计是否合理即判断在弯道曲线上的每一点上是否都有 (10)由以上各式带入化简可得： (11)在曲线的每一点都要满足上式，因此应满足： (12)将上式作为评判公路是否合理的标准。6.3 缓和曲线道路改善模型 在不改变弯道形状的情况下，使道路状态改善，在弯道上发生事故的事故率降低，只有降低入弯时的速度才能达到目的，在6.2的出的结论基础上，在坡道和弯道间加入缓和曲线，缓和曲线能提醒司机前方有弯道，提醒司机减速。经分析该段道路容易发生事故的主要原因就是司机不能提前知道事故路段是一个S型弯道，即弯道曲线的曲率半径变化过快，车通
13、过在坡道和弯道曲线之间加入一条缓和曲线可解决此问题。缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间过渡的线型，是道路平面线型要素之一。在加入缓和曲线后，汽车行驶至缓和曲线范围时开始减速。让司机有足够的时间调整车头方向，使汽车平滑入弯。6.3.1 缓和曲线的曲线方程模型此处的缓和曲线应为在一条直线与圆曲线之间的过渡，在理想状态下此缓和曲线应满足如下性质：1.在缓和曲线开始处，曲率半径应与直线曲率半径一致，均为无穷大。2.在缓和曲线结束处，曲率半径应与弯道曲线的曲率半径相同。3.以缓和曲线开始处为参照点，在曲线任意点处曲线的曲率半径都与对应的曲线长成反比例。由以上性质建立缓和曲线方程模型
14、，设缓和曲线从处开始至处结束，为缓和曲线上任意一点，此点距处距离为，曲率半径为。缓和曲线总长为。在曲线任意点曲率半径与对应曲线长成反比例： (13)为使上式满足当时，当时。必须找出一个待定的比例系数，为推导上的便利，由于和都为正数因此选比例系数为。上式可化为： (14)此公式即为缓和曲线公式，满足此条件的螺旋线称为霍尔布鲁克螺线（回旋线）。用此作为公路直线段与弯道段的过渡曲线可满足平滑过渡的要求。6.3.2霍尔布鲁克螺线（回旋线）中参数的确定以上推导得出的霍尔布鲁克螺线方程中缓和曲线总长为是未知量，即缓和曲线的初始位置是未知的。霍尔布鲁克螺线的参数未知，可根据6.2中拟合出的缓和曲线终点的曲率
15、半径等于弯道起始点的曲率半径得出与的函数关系如下： (15)分析上述函数式，必须引入其他因素来确定缓和曲线长度的值从而确定出螺线中的参数。缓和曲线的长度应尽可能的小，从而降低修改公路的成本，缓和曲线的最小长度可综合旅客过弯时的舒适程度和缓和曲线段行驶时间长短确定。（1）根据旅客的舒适程度确定旅客的舒适程度是有离心加速度的变化率决定的，设在缓和曲线上行驶的离心加速度变化率为，进入弯道时的离心加速度为，缓和曲线上行驶平均速度为，缓和曲线上行驶的时间为，则： (16) (17)综合确定的取值 (18)这A的取值即可确定：。（2）行驶时间不宜过短确定缓和曲线上行驶的时间为，缓和曲线上行驶平均速度为，则
16、有，由此可得出螺线参数A的取值： (19)综合以上两点，可由（1）先计算出的值，再由（2）式条件调整的大小，达到最优解决问题的目的。6.3.2 霍尔布鲁克螺线直角坐标系下曲线方程的推导 设霍尔布鲁克螺线在直角坐标系下的方程为则由上一问模型中给出的公式得在螺线上的每一点的曲率半径都满足表达式，距缓和曲线开始时的长度满足表达式。在螺线上每一点都满足，得出在螺线的曲线方程应满足： (20)曲为了简化计算，当缓和曲线上点的曲率半径充分大时可将近似的等于直线上从点到点的直线距离，设直线的方程为。则上微分方程可化为： (21)求出此微分方程即可得出的表达式，积分得到的表达式。要求解处此微分方程解析解非常困
17、难，本模型通过计算数值解在曲线上描点后拟合得出其曲线方程。七 模型求解7.1 原始数据的处理在地图上取地图在屏幕上像素点的坐标为原始拟合数据，由于题目中给出坡道是一条直线，因此在二维平面上取点时坡道部分只取起点和终点，弯道部分为分析的重点，在弯道部分取点密集在地图中取点并用matlab画出折线图图像如下：图二 像素点的初始数据需要对数据进行处理，将数据的像素点对应成距离，由于在地图中缩放都是按比例进行的，即X轴缩放多少倍，Y轴也缩放多少倍，由地图比例尺可知转化成距离图像如下图三 处理后道路实际情况示意图由模型假设得图中直线部分与曲线部分相切，即只考虑曲线部分图形即可，将图像中的第一个点去掉后可
18、得弯道部分的取点情况（如图中曲线1），像素点坐标是离散的值，各个点之间不光滑，而拟合曲线时越光滑越好，对所得曲线进行分段Hermite插值，通过取每0.2m为一段插值后的曲线（图中曲线2）比插值前光滑程度上有明显改善图四 弯道插值前后的对比曲线为提高计算的准确度，计算曲率半径时可将数据沿东西方向平移，即将横坐标减去2300。将图像中X和Y变化后用一下过程拟合。求解过程中需要计算切入点的曲率半径，因此需用最小二乘法对所得插值后各点进行多项式拟合，比较各个阶次多项式的拟合情况，决定用10次多项式对弯道曲线进行拟合，拟合情况和各次多项式拟合的程度如下：图五 拟合曲线与原曲线拟合度对比由以上图形可得出
19、弯道曲线部分的拟合多项式为：y = p1*x10 + p2*x9 + p3*x8 + p4*x7 + p5*x6 + p6*x5 + p7*x4 + p8*x3 + p9*x2 + p10*x + p11 Coefficients: p1 = 3.1713e-023; p2 = -1.4584e-019; p3 = 2.835e-016; p4 = -3.0413e-013; p5 = 1.9759e-010; p6 = -8.0578e-008; p7 = 2.0784e-005; p8 = -0.0033561; p9 = 0.33085; p10 = -18.581; p11 = 695
20、.16;上述多项式即为插值拟合后得到的拟合曲线方程。去掉一些不合理的点之后得到多项式函数曲线图像如图图六 最终确定的多项式函数曲线在如图曲线中X的取值可从50m到680m可研究此段水平方向上0.6公里的弯道情况来说明公路设计的合理性和缓和曲线的设计。7.2 公路弯道设计合理性求解7.1.1 计算弯道的曲率半径由求得的拟合多项式函数及曲率半径的公示计算可得曲率半径为：for i = 1:1:1259in=x(i) out(i)=p1*in10 + p2*in9 +p3*in8 + p4*in7 +p5*in6 + p6*in5 +p7*in4 + p8*in3 +p9*in2 + p10*in+
21、p11;endd1=diff(out,1);d2 = diff(out,2);d1=abs(d1);d2=abs(d2);for i = 1:1:1259ans(i) = sqrt(1+d1(i)2)3)/d2(i);end 因此在入弯时曲率半径为142.9576m。此曲率半径在x=50时取得，最小曲率半径为86.9802m此曲率半径在x=555m是取得。min(ans)ans = 86.98027.1.1 计算弯道个点的长度 根据曲线弧长的计算公式，在计算公式中，积分可变成求个段得和matlab实现代码如下：s = sqrt(1+d12);for i = 1:1:1259s(i) = sqr
22、t(1+d1(i)2);endfor i = 1:1:1259q(i)=sum(s(1:i);end 得出的q即为各点到起点的曲线长度。7.1.2 选取合适的参数 在公路上行驶假设地面对汽车的横向附着力系数是一个常量，并且不会改变。查阅相关资料可取，路面超高，为了简化计算此处的滚动摩擦因数取附着力系数的即。下面来求最容易失去控制发生侧滑的点在曲线中的位置。按照模型推理出来的公式求各点的速度的matlab代码如下：for i = 1:1:1259f(i)=sqrt(2*(1/30)*0.25*9.8*q(i)+ans(i)*9.8*0.25*(31/30);endmin(f)ans = 17.2
23、839得出要安全过弯在弯道入口处得最大速度为17.2839m/s转换为km/h得入弯时的速度应为62.2221km/h。即在入弯处应限制最大速度60km/h7.3 缓和曲线设计模型的求解7.3.1缓和曲线中参数的确定考虑汽车中乘客的舒适程度，查阅相关资料得到离心加速度变化率一般都在0.35到0.5之间，即，平均速度取0.0214v得： (22)结合行驶时间不超过3s得，为方便计算取L=50m。当L=50m时A=84.5451。7.3.2计算缓和曲线在直角坐标系下的方程由模型建立中给出的公式结合已算出的数据可将微分方程中参数加以确定： (23)其中=84.5451，=1.2133，=0.0270
24、，由假设得到直线的斜率与入弯点的斜率相等，因此=1.2133，此微分方程求解析解很困难，因此求出一系列数值解后描点得出曲线的形状，再用最小二乘法拟合出缓和曲线的曲线方程。求解微分方程数值解需对模型中变量做近似，因为两点间直线距离最短，当直线距离为50米时缓和曲线取值大于50米，但由于缓和曲线的曲率半径很小所以可以近似的认为缓和曲线设置在直线长度为50区间内，求解得出直线上距离入弯点50米得点的坐标为（18.5000，243.0834）求解过程如下：x=0:0.5:50;and = (50-x)*sqrt(1+1.21332)and(38)ans = 49.5271x(38)ans = 18.5
25、000即计算出微分方程中x坐标为18.5到50的各点的函数值即可。求解步骤如下：1.将微分方程变为一阶微分方程组： (24)2.上述方程中求出关于x的一系列值。3.对求积分，得出即为缓和曲线上的点。描点得到加入缓和曲线后公路的弯道情况如下：图七 缓和曲线与弯道连接示意图曲线用4次多项式拟合后多项式函数为：y = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5 Coefficients: p1 = 1.2659e-017 p2 = -1.747e-015 p3 = 8.7342e-014 p4 = -1.2133 p5 = 341.97九 模型优化1.公路设计合理性的优化考虑
26、到方便计算，上述模型只从汽车过弯道时是否发生侧滑情况加以分析，但没有考虑另一种罕见的事故情况即侧倾，当汽车速度过快入弯时，车头方向来不及调整，可能造成汽车侧倾，侧倾与侧滑相似也有一个不发生侧倾的最大速度， 得出不发生侧倾的最大速度后可依照原模型进行分析。具体过程与侧滑时相同。2.缓和曲线的优化 在设计缓和曲线时，可加入对超高渐变的设计，设弯道超高为，则应使超高随缓和曲线长度的怎大均匀变化即超高与距初始点长度比值为一个常数即： (25) 在超高上升过程中，缓和曲线应有一个旋转轴，旋转轴与行车道外测边缘之间的相对坡度。附加坡度或超高渐变率太大太小都不好。可由下面公式确定： (26)其中为旋转轴至行
27、车道外侧边缘的宽度，为超高坡度与路拱坡度的代数差。依照此标准设计出来的缓和曲线能将超高平缓的从0变化到e。八 模型评价与推广 解题过程中分析了公路上行驶的汽车是否发成侧滑建立了一系列模型，抓住重要因素舍弃不重要因素，对汽车的滚动摩擦力，路面超高，滑动摩擦力，侧滑条件，能否平滑过渡等问题进行了详细的讨论与分析，依据物理学知识建立了第一个模型，讨论了在弯道曲线上行驶时发生侧滑的条件，紧接着考虑汽车刹车后在滚动摩擦力作用下在弯道曲线上行驶的情况，整个过程中考虑因素比较充分，模型虽然不是很复杂，但能比较好的反映出，事故发生路段的真实情况。计算结果合理。该模型运算量比较小，适宜推广应用。 问题二中通过在
28、直到与弯道之间添加缓和曲线，来提醒司机前方有弯，并使汽车能从直线平滑过渡到弯道。车头角度均匀变化，当入弯时车头正好与弯道切线方向一致，使汽车能顺利的入弯而不因为速度过大或来不及调整角度而发生事故，通过计算确定出缓和曲线的方程，通过数值积分计算出缓和曲线上各点，之后通过拟合，拟合出缓和曲线的方程。再通过使缓和曲线的长度最短，此时改造道路的成本最小。 侧滑模型缺点：在汽车在弯道中减速时，减速的加速度没有考虑超高的情况，可能使减速的过程减慢。造成结果不太准确。 缓和曲线模型点：由于只在二维空间上建立模型，没有考虑超高的设置情况，即路面从平面变化到倾斜面时缓和曲线段应该将超高从0变化到路面值，这点在模型优化中提出了改进方案。 总而言之，此模型适用性较强，对一些不足之处可根据适用的实际情况加以改进使之更加适合具体情况。十 参考文献（1） 编著者：马莉 等. 书名Matlab数学实验与建模M. 出版地：北京清华大学学研大厦， 出版社：清华大学出版社，年代：2010年1月 页码.：235（2） 编著者：周立，许洪国，张健 等. 题目：单车弯道交通事故车速模型 中国汽车工程学会2004汽车安全技术国际研讨会M. 年代：2004年 页码.：191-195（3） 编著者：方国涛 等. 题目：公路平面设计中合理回旋线参数的计M. 北方交通 年代：2011年 页码.：28-29
