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1、4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形； (2) 计算xe(n)=x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？解：（1） x(n)的波形如题4解图（一）所示。(2) 将x(n)与x(n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe
2、(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0为整常数 （4）y(n)=x(n)（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n)解： （1） 令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(n
3、n01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。（2） 令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是
4、非时变的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。(4) y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n
5、0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。（5） y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。（6） y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非
6、时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。 （7） y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。（8） y(n)=x(n) sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)
7、sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1)（3） y(n)= x(k)（4） y(n)=x(nn0)（5） y(n)=ex(n)解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x
8、(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。（3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)|x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n00， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。（4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(
9、n)输出的波形。解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm)解法（二）采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)8. 设线性时不变系统的单位脉冲响
10、应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mn根据非零区间， 将n分成四种情况求解： n7时， y(n)=0最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时， y(n)=0 0n4时，=(10.5n1)0.5n=20.5n n5时最后写成统一表达式：y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)
