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1、在这本章，将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它应用功的概念分析系统的平衡问题。从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，是解决静力学平衡问题的另一途径；不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，组成了动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。,15-1约束 虚位移 虚功,平面单摆,例如：,曲柄连杆机构,1约束及其分类为研究方便，对静力学中约束概念重新定义，即限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。下面从不同角度对约束分类。,（1）几何约束和运
2、动约束,当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。如图4，车轮作纯滚动。,又如图3，质点M在固定曲面上运动，其曲面方程就是该质点的约束方程，即,限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构中的限制条件都是几何约束。,几何约束,运动约束,当约束条件与时间有关，并随时间变化时，这类约束称为非定常约束。,如图，初始时摆长 l0,匀速v拉动绳子。则,（2）定常约束和非定常约束,约束条件不随时间改变的约束为定常约束。定常约束方程中不显含时间，前面的例子中约束条件都是定常约束。,该方程中显含时间t,（3）其他约束,若约束方程中含有坐标对时间的
3、导数，且方程不可能积分为有限形式，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，这类约束称为非完整约束。反之，若约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。例如上述做纯滚动的车轮的约束就是完整约束。,完整约束的一般形式为,几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。,如右图，刚性杆限制了质点M拉伸和压缩方向的位移，这类约束称为双侧约束（或固执约束）。若刚性杆改为绳，则只限制单一方向运动，该类约束称为单侧约束（或非固执约束）。显然双侧约束方程为等式，单侧约束方程为不等式。,本章只讨
4、论定常的双侧几何约束：,式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。,某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。,虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。,M,2虚位移,系统中质点在平衡时本来是不动的，但我们设想在约束允许条件,下，给某质点一个任意的、极其微小的位移。,实位移是在一定条件下真正实现的位移，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；而虚位移仅与约束条件有关，在定常约束下，实位移只是所有靴位移中的一个，而虚位移可以有多个，甚至无穷多个。,而对于非定常约束，如图所示，由于实位移与时间有关，
5、而虚位移是将时间固定后，约束允许的位移，此时实位移不再是虚位移之一。,*质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这些关系通常有两种方法：,(一)几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。,(二)解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（q1,q2,qk），广义坐标分别有变分，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为,力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功，记为。,3虚功,虚功有正功和负功，它尽管和实位移中的元功采用了同一符号dW，但它们之间有本质区别，虚功是假象的，不是真实发生的。在静止质点系或机构中，力没有做任何功，但力可
6、以有虚功。,例1 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知 OC=BC=a，OA=l),解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。,1、几何法,将C、A、B点的坐标表示成广义坐标 的函数，得,2、解析法,对广义坐标 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：,如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所做虚功的和等于零，称这种约束为为理想约束。质点系受有理想约束的条件：,4理想约束,*在动能定理一章中已分析过光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束均为理想约束，现从虚功的角度，这些约束也为理想约束。,1）光滑支承面,2）光滑铰链,4）无重刚杆。5
7、）不可伸长的柔索。,3）刚体的纯滚动,*5自由度、广义坐标,一个自由质点在空间的位置：（x,y,z)一个自由质点系在空间的位置：(xi,yi,zi)(i=1,2n)3n对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s)个独立坐标。确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。,通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可取线位移（x,y,z,s 等）也可取角位移（如,等）。在完
8、整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。,一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为,一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、qk 为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。,例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：,广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。,例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。,两个自由度 取广义坐标，,15-2 虚位移原理,如图，设一质点系静止平衡，任取一质点，则该质点也处于静止平衡状态，有,若给质点系某虚位移，则作用与该质点上力的虚功之和为,对质点系所有质点，都
9、可以得到上面同样的等式，把这些等式相加，得,如果质点系具有理想约束，则约束力在虚位移中所作的虚功和为零，即,（15-1）,所以可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和为零。这个结论称为虚位移原理，也称虚功原理，式（15-1）又称虚功方程。该方程也可写成解析式：,（15-2）,*上面的推导证明了虚位移原理的必要性，下面给出其充分性：,充分性：即质点系满足，质点系一定平衡。若，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。,在 方向上产生实位移，取，则,*虚位移原理的应用1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2、求系统在已
10、知主动力作用下的平衡位置；3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；4、求平衡构架内二力杆的内力。,虽然虚位移原理的条件是质点系应具有理想约束，但也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当作主动力，在虚功方程中计入摩擦力所作的功即可。,例1 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间的关系。,解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。,1、几何法：使A发生虚位移，B的虚位移，则由虚位移原理，得虚功方程：,由 的任意性，得,2、解析法 由于系统为单自由度，可取为广义坐标。,由于 任意，故,解：这是一个具有两个自由度的系统
11、，取角及为广义坐标，现用两种方法求解。,例2 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及。,y,应用虚位移原理，,代入(a)式，得：,解法一：,由于 是彼此独立的，所以：,由此解得：,而,代入上式，得,解法二：,先使 保持不变，而使 获得变分，得到系统的一组虚位移，如图所示。,再使 保持不变，而使 获得变分，得到系统的另一组虚位移，如图所示。,而,代入上式后，得：,图示中：,例3 多跨静定梁，求支座B处反力。,解：将支座B 除去，代入相应的约束反力。,例4 滑套D套在光滑直杆AB上，
12、并带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置（角）平衡时，加在AB杆上的力偶矩M？,解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故可以用虚位移原理求解。,选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。,由虚位移原理，得：,以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。,应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：,1、正确选取研究对象：,2、正确进行受力分析：画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。4、应用虚位移原理建立方程。5、解虚功方程求出未知数。,第十五章结束,
