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1、 基于学情，精心建构，实现高效课堂 以“乘法分配律”建模教学为例【摘要】乘法分配律是乘法运算定律教学中的重点，也是学习简便运算的难点。曾教学过乘法分配律的教师都有同感：该课容易上，但学生运用该定律进行简便运算时，总是不尽人意，尤其是遇到变式后的题型，更是束手无策。有些教师认为这只是学生一种粗心的现象，于是在后期的学习中不断地进行机械化的题组训练。然而在题海战术下，效果仍是甚微，于是有些教师又开始埋怨学生为什么会这么笨。学生粗心？学生笨？其实这只是一个假象，真相在于教师在教学中没有引导学生成功建构乘法分配律的模型。如何有效地建模，提高课堂效率，这是我们每个教师都应思考的问题。现笔者透过错例分析，
2、结合乘法分配律的教学经验，浅谈在数学教学中如何有效地建构数学模型，提高教学效率。【关键词】模型、建构、乘法分配律一、透过错例分析，了解教学现状。笔者在对四、五年级错例的整理和分析中，发现学生用乘法分配律进行简便计算，无论是在新授课、练习课、单元测验，还是在期末考试中的出错率都较高。且四、五年级学生出现的错例存在共性问题。例如：年级错例原形出错率四年级左：30% 右：42%五年级左：28% 右：50%这些经常练习的题型，为什么学生的出错率这么高呢？尤其是右边的错例，看似受“凑整思想”所致，事实呢？解题不正确的学生，显然是建模不成功。那能正确解题的学生是否就意味着建模成功呢？带着这些疑惑，笔者决定
3、从教师和学生两方面进行调查了解。（一）学生方面：首先笔者从四、五年级中共抽取了解题正确的学生40人进行了访谈。并设计了以下访谈问题：1 说说你对乘法分配律的认识。2 举例说说什么是乘法分配律？3 你能用字母表示乘法分配律吗？通过访谈，发现：仅10%的学生能用数学语言表述什么是乘法分配律。10%的学生能通过生活中的例子举例说明乘法分配律，30%的学生举出了类似“36123688=36（12+88）”的例子，认为该例子就是乘法分配律。20%的学生能用字母表示乘法分配律，其中四年级的学生占多数（因为四年级刚学完乘法分配律不久。）由此看来，大部分学生没能真正理解乘法分配律，只是机械式地记住了乘法分配律
4、的表征。（二）教师方面：在交谈中，发现一些教师在乘法分配律的教学中存在着三种情况：1没有创设较好的生活情境帮助学生提炼乘法分配律在生活中的原型。2没有充分地利用乘法的意义去分析该模型，着重点放在通过计算结果去证明乘法分配律的成立。3教师在教学中更多关注的是学生对定律的外在形式的记忆，过快地让学生去归纳乘法分配律的公式。这三种情况都导致学生没有充分经历乘法分配律模型的构建过程，思维只停留在乘法分配律表征的认识上，机械化记住公式。因此，在解题过程中，学生只会解相同固定模式的题，而遇到同一知识的变式题型就变得无计可施，错误百出。 基于以上情况的分析，不难发现教师对模型思想缺乏理解，在教学中不够重视数
5、学模型的建构，或是没有精心设计建模过程，从而导致建模效果不理想。标准（2011年版）提出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外世界联系的基本途径。”小学阶段数学中的数学模型一般指能描述或反映特定问题或具体事物关系的数学结构。而“问题情境建立模型求解验证的数学活动”则可充分体现模型思想的基本要求，有利于学生在活动的过程中理解、掌握有关知识与技能，积累数学活动经验。在这些理论的指导下，笔者对乘法分配律的建模进行了研究，现以乘法分配律教学为例，浅谈在教学中如何有效地构建数学模型。一、认真分析教材，把握知识本质。（一）理解乘法分配律的核心本质。乘法分配律的核心本质是乘法的意义，也就是对几个相同加数
6、的合与分。例如：（ab）c=acbc，顺着看是将（a+b）个c拆分成a个c和b个c，逆着看是将a个c和b个c合成（a+b）个c。因此，在教学中应引导学生从乘法的意义上去理解乘法分配律的模型结构。如果脱离了乘法的意义去理解，那学生就不能真正地理解乘法分配律的本质，在解题时只会“依葫芦画瓢”。（二）区分乘法分配律与其它运算定律的区别。乘法分配律和其它乘法运算定律的区别乘法分配律乘法交换律乘法结合律运算符号2种运算符号1种运算符号1种运算符号涉及四则混合运算乘法内部运算乘法内部运算（三）了解乘法分配律的延伸。乘法分配律较于乘法交换律和乘法结合律，它本身的知识延伸度较大。其主要存在多种变式，主要分两个
7、方面：在“数”方面：从整数推广到小数和分数。在“形”方面有：（ab）c=ac-bc （a+b+c）d=adbdcd ab+a aba。二、基于学情，精心建构模型。数学课程标准(实验稿)指出：要让学生亲生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。就是教师要把数学教学和学生的生活实际相结合，从学生的生活实际和已有的知识出发，让学生在熟悉的事物和具体情境中，通过数学活动理解数学知识的含义，主动建构数学知识。（一）借助生活原型，抽象出数学模型。数学学习要关注与学生生活相关的生活经验。因为许多数学知识其实来源于生活原型，所以学生的生活经验是一种宝贵的教学资源，可以利用它成为学生学习数学的一个切
8、入点。如在乘法分配律的教学中，我们可以借助学生熟悉的购物情境，有效帮引导学生从生活原型中抽象出数学模型。 【教学片断】师：同学们，夏天到了，学校准备订做夏装校服。下面是两款不同的校服，你们喜欢哪一款呢？课件出示：第一款：上衣35元，裤子25元。 第二款：上衣30元，裤子20元。（学生兴致高涨地说出自己喜欢的款式）师：我们全班有48人，如果我们班都订第一款校服，共需要多少钱？ 师：谁来说说你是怎样列式的？ 生：（35+25）48 师：有没有不同的列式？ 生：35482548师：说说这两个式子分别表示什么意思？生：第一条式子表示先算一套校服的价钱，再算48套校服的总价。生：第二条式子表示先算出48
9、条 师：这两个算式相等吗？生：相等师：为什么？生：因为两个算式的计算结果相等。师：那你会把这两个算式写成一条等式吗？ 生：（35+25）48=35482548教学反馈：通过创设生活情境，让学生在所熟悉的购物情境中解决生活中的问题，不但激发了学生的学习兴趣，且学生能较好地用数学语言表述式子所表示的意思，让学生经历了从生活原型中抽象出乘法运算定律模型的过程。（二）借助学习经验，理解数学模型。学生的认知基础，是学习新知识的起点，它起着旧知向新知过渡的桥梁作用。教师在每次教学之前都应该充分地了解学生已有的认知基础和学习经验，理解新旧知识间的联系，充分利用学生的学习经验来服务于新知的教学，从而提高课堂教
10、学的有效性。在教学乘法分配律前，笔者分析了学生已经具有的与乘法分配律相关的学习经验。人教版知识点举例二年级上册乘法的意义36=18 表示有6个数。三年级上册长方形的周长 3厘米 5厘米3252 （5+3）2=6+10 =82 =16（厘米） =16（厘米）三年级下册笔算乘法 根据以上学习经验，可以运用乘法的意义来帮助学生从表及里地理解乘法分配律的内在意义。而后三种学习经验可以在学生对乘法分配律有了初步认识后，用来加深对乘法分配律的理解。【教学片断】师：同学们请观察（35+25）48=35482548，等式的左边先算出35+25=60，6048表示有多少个48？生：60个48师：那你能运用乘法的
11、意义来证明（35+25）48=35482548吗？生：等式左边有60个48，右边35个48加上25个48，也是60个48，所以等式是成立的。师：如果我们要买c套第二款校服，一共要多少钱呢？生：（3020）c 生：30c20c师：这两个算式相等吗？怎样可以证明它们是相等的呢？（在教师的引导下，学生能说出（3020）c表示50个c，而30c20c表示30个c加上20个c，也是50个c，所以两个算式的结果是相同的。）教学反馈：在教师的引导下，学生能基于乘法的意义这一旧知的有效利用，学生从数字模型自然过渡地数字与字母相结合的模型，为抽象出字母公式作了一个很好的铺垫。（三）通过观察归纳，生成最终数学模型
12、。在建模的过程中,学生需要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，生成最终数学模型。乘法分配律较为抽象，如果最终模型的生成仅靠一组等式来概括出数学模型，那会导致学生建模不深刻。因此，在乘法分配律的教学中，当学生已经经历了解决问题得出一类具有相同结构的模式时，我们应充分利用这类式子，引导学生去进行类比观察，归纳概括模型的结构特点，实现数学模型的最终生成。【教学片断】师：仔细观察这三组式子： （35+25）48=35482548 （30+20）48=30482048 （3020）c=30c20c说说这三组等式的左边和右边有什么相同和不同的地方？生：等式的左边都是先求和，再算
13、积；右边都是先求积再求和。生：左边是用两个数的和与一个数相乘，右边是把括号里的两个数分开，分别与这个数相乘再相加。师：同学们，你们观察得真仔细，那你能照样子写出具有这些特点的式子吗？师：谁来说说，你写的式子是什么？不用计算，你能用乘法的意义去证明你所写的式子的左右两边是相等的吗？ 师：接下来，请同学们根据自己所写的式子，同桌间互相说说为什么式子的两边相等。 师：同学们，存在这样规律的式子还有很多，能写完吗？ 生：写不完。 师：想一想，能否用字母式子来表示这一规律？试着写一写。 （学生用了不同的字母来表达乘法分配律。笔者选择了（ab）c=acbc来进行板书。） 师 ：同学们，这就是我们今天所学的
14、乘法分配律。 师：谁能结合这条式子用文字说一说什么是乘法分配律？ 生：两个数的和与一个数相乘变成把两个数分别与这个数相乘，再相加。 出示课件：乘法分配律的概念：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这两个数分别相乘，再相加。 师：观察这条式子，从左边往右边看，我们知道了两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。这就是乘法分配律。 如果从右边往左边看呢？ 生：两个数分别与同一个数相乘再相加，可以先把这两个数相加，再与这个数相乘。 师：说得真好，其实这是乘法分配律的逆向思维。 教学反馈：在教师的引导下，多数学生能较好地概括乘法分配律的结构特点，能结合这些特点写出类似的式子，能根
15、据乘法的意义去证明式子的两边相等，能用字母表示这一规律，能用文字语言较为完整地表述乘法分配律。（四）分层设计练习，应用数学模型数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁。而课堂练习则是实现数学模型这一价值的途径之一。因此完成新授知识的教学后，应分层设计练习，让数学模型得以应用和深化，让学生充分体验模型的价值。且可以通过课堂练习的完成情况了解学生对知识的掌握情况。1设计基础练习，巩固数学模型。运用乘法分配律填上合适的数。 （404）25=12（2537）= 125（808）=36126412=（）6855-685=（）把左右两边相等的算式用线连起来。4812+5212 3215+681532+6
16、815 2540+25425(40+4) (48+52)1214(45-5) 114+254(1125)4 1445-145 教学反馈：解第组题，正确率达约96%。解第组题时，约20%的学生将(1125)4和114+254连线，约30%的学生将32+6815 和3215+6815连线，在评讲中，针对学生课堂生成的错例，教师及时引导学生运用对比观察的方法去分析错因，进一步巩固乘法分配律的模型。在后期的练习中这几类错例的出错率有较大的降低。2设置变式练习，拓展数学模型（1）从“数”上变式 在学生掌握了乘法分配律的模型，可以适当地把整数拓展到小数。例如设置该题：在下面的方框里填上同一个数，再计算出结
17、果。 4456= 师：无论在方框里填什么数，只要是同样的数，我都能很快地算出结果，你们知道其中的秘密吗？ 师：如两个方框里的都是0.5，你还能运用乘法分配律写出右边的式子吗？ 教学反馈：该题能较好地调动学生思考欲望，约80%的学生能说出解题的秘密：运用了乘法分配律，且能写出440.5+560.5=(44+56)0.5. （2）从“形”上变式 将（ab）c=acbc拓展为（a-b）c=ac-bc 【教学片断（练习环节）】师：同学们，我现在来看看第一款校服一套要多少元？（60元）第二款校服一套要多少元？（50元）师：这两款校服的质量都很好，那你们认为我们订做哪一款校服更好？为什么？生：第二款。因为
18、第二款既便宜又好看。师：你真有经济头脑，学校也是这么想的，所心决定统一订做第二款校服，这样一来，我们全班订做第二款校服比订做第一款校服节省多少钱呢？引导学生得出： （6050）48 = 60485048 （ab）c=ac-bc将（ab）c=acbc拓展为（a+b+c）d=adbdcd课件出示第二款校服和运动鞋。 师：买6件上衣、6条裤子和6双运动鞋，一共需要多少钱？引导学生得出：（302050）6=306206506 （a+b+c）d=adbdcd。教学反馈：大部分学生都能结合情境以及刚才的学习经验推导出（ab）c=ac-bc和（a+b+c）d=adbdcd。将（ab）c=acbc拓展为ab+
19、a=a(b+1)或aba=a(b-1)设置课后思考题：填一填：35935=（）？ 你能很快地算出两道式子的结果吗？想一想，它们与乘法分配律有什么关系，你发现了什么？ 994848 6910169设置该题的目的在于为学生提供一个思考的空间，进一步拓展模型，同时也为下一节练习课设下埋伏。构建数学模型是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以激发学生的学习兴趣，还能让学生体验到数学的价值，学习能力得到不断的提高。因此，我们教师在平时的教学中应该基于学情，精心建构数学模型，实现高效课堂。参考文献：1 王光明 范文贵 新版课程标准解析与教学指导2012年7月2 黄伟星小学数学教学中要重视培养模型思想小学数学教师2013第4期
