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1、基于错误分析 把握教学本质 以乘法分配律的教学为例【摘要】 乘法分配律是乘法运算定律教学中的一个重点，对其意义的理解及灵活运用是学生学习的一个难点。基于对学生的错误分析，会发现学生只重视乘法分配律的“形”，忽视了对乘法分配律最本质意义上的理解。笔者认为 乘法分配律的教学应基于学情、把握本质的基础上引导学生自然建构知识体系。【关键词】 乘法分配律 错误分析 本质教学乘法分配律是小学阶段简便计算中比较难掌握和理解的，学生在练习的过程中往往会出现很多的错误。因为它不像其他运算定律那样只有单一的运算关系，它沟通了乘除法和加减法之间的联系：它既有顺向的分配形式，又有逆向的合成形式；它既有典型的常规题型，
2、又有非典型的变式题型，因而显得更加复杂。一、测评及分析1、 对象与方法选取本校四年级4个班的学生共计163人，进行乘法分配各题型进行问卷调查，要求学生在规定时间内完成。2、测评试题及错题分析题号题型与要求试题错误人数1顺向的分配形式：括号里的两个加数要分别乘括号外的数，再把积相加。（4+100）2562顺向的分配形式：括号外的数要分别乘括号里的两个数，再把积相加。125（8+80）73乘法对减法的分配：括号外的数要分别乘括号里的两个数，再把积相减。76（100-2）104乘法对减法的分配：括号里的两个加数要分别乘括号外的数，再把积相减。（40-8）25105逆向的合成形式：两个乘法中相同的因数
3、只能写一次。3534+356646逆向的合成形式：两个乘法中相同的因数只能写一次。42512-425277乘法分配变式题：把接近整百(十)的数看作整百数与一个数的和，再运用乘法分配律。7710198乘法分配变式题：把接近整百(十)的数看作整百数与一个数的和，再运用乘法分配律。2541169乘法对减法的分配变式题：把接近整百(十)的数看作整百数与一个数的差，再用乘法分配律。3299710乘法对减法的分配变式题：把接近整百(十)的数看作整百数与一个数的差，再用乘法分配律。56981711合成形式变式题：把73看作731，再用乘法分配律。73+73992612合成形式变式题：把92看作921。再用乘
4、法分配律。9231-9228通过上面的数据，可以看到：失分多的为第 (3)、(4)、(8)、（10）、(11)、(12)题，即变式题、乘法对减法的分配题等。【典型错误1】 概念性错误（4） （408)25=25408=10008=991（8） 2541=25（40+1）=2540+1=1001【典型错误2】 混淆性错误 (11) 73+7399=73299=14699=145【典型错误3】定势性错误或其他错误(4) (208) 125=(1258)一20=100020=980(2) 12588=125880=100080=80000在进行错题分析时，不禁思考：学生这么难掌握乘法分配律的原因到底
5、出在哪里？学习这一内容时会遇到哪些困难？这些困难又该如何解决？在与任课教师的交流中，大部分教师认为乘法分配律是历届学生学习的易错点和难点，并且认为学生错误的原因主要是粗心大意、不认真听讲、练习过少等。但是，真的仅仅是这些原因吗？二、分析错题根源 直击知识本质通过对错题的分析与教师的访谈，究其原因大致有以下几点：1.知识层面分配律的公式是通过不完全归纳法推导得到的，过程看似简单，却展现了从特殊到一般再到特殊的数学思维过程。在此之前，学生主要运用算术思想，是建立在直观基础之上的。而乘法分配律是代数思维注重的是关系的符号化及其运算，在某种程度上是无法依赖直观的。从算术思维到代数思维的转化，也间接造成
6、了分配律的难以掌握。其次，分配律有很强的抽象性与概括性，它将小括号以及“、+”结合在一个算式里。分配律左、右形式发生变化而结果不变，学生很难体会到“变与不变”的哲学思想。再次，分配律既有严格的适用条件，又有变换的推广应用。乘法对加法或减法同时满足左右分配律甚至还有几个加数的和及其他的变换形式。所以，分配律知识本身的复杂性，造成了学生很难理解与掌握它的本质。2教材层面以下是三种主要教材版本（人教版、苏教版、北师大版）：三种不同版本的教材所设置的情景虽不同，但无一例外都是让学生在解决实际问题的过程中发现并理解乘法分配律。学生通过对情景的分析得出乘法分配的表达形式，但学生容易忽略了两种方法间的等量关
7、系和他们间“形”的联系与变化。其次教材更注重结合实际意义对所求结果进行分析，得出两种表达式相等的结论。这里的结论并没有动态“分配”的过程，学生头脑中很难建立公式的形式和实质意义之间的联系。理解是应用的基础，当理解发生障碍时，机械的记忆与套用，不可避免地会出现各种问题。所以学生在第一次学习乘法分配律时不是很扎实。3教师层面很多教师在教学乘法分配律时注重让学生记住乘法分配律的“形”，而没有挖掘其中的“神”。这些教师的教学思路：创设情境解释算理发现规律。整个环节看似逻辑性很强，但仔细研究，教师的教学设计还停留在表面。这样的设计对于规律的归纳只停留在“形”的模仿上，为什么相等，为什么可以转化，缺乏必要
8、的理论支撑。学生无法在头脑中建立意义上的联系，就只能机械地记忆和套用公式，做题时就不可避免地出现错误。4学生层面瑞士著名儿童心理学家皮亚杰认为，儿童达到认知成熟需要经历四个阶段：感知动作期(02岁)、前运算阶段(27岁)、具体运算阶段(7、811、12岁)和形式运算阶段(11、12。14、15岁)。四年级学生处于具体运算阶段，他们在考虑问题时只注重了书面语和符号表征，但是这种表征又离不开具体事物的支持，不能产生抽象思维。同时，此阶段的儿童思维从前运算阶段发展而来，还带有很多前运算阶段的思维方式。因此。在对抽象符号的陌生与对图形敏感的相互作用下，造成学生更善于把公式当成特殊的图形去记忆，而忽略了
9、公式中所包含的本质。从以上原因可以看出，学生对乘法分配律所表现出的易错难懂现象，不仅仅是教师认为粗心大意、不认真听讲、练习过少的原因，它还与儿童认知心理发展、分配律的知识特点和教材及教师的教学有着密切的联系。为了更好地帮助学生克服学习困难，教师应该在设计教案及教学时要结合知识，学生的认知特点进行有效教学。三、基于错误分析的乘法分配律的本质教学基于前面的原因分析，最终的源头还在于对数学本质的认识，所以提出了以下几点的教学策略来破解学生学习乘法分配律的困难。（一）、系统把握，注重前期渗透学习乘法分配律应该注重学生已有的知识经验，找到知识的生长点，经过同化和顺应，构建新的认知结构。那么，学生已有的知
10、识经验、知识的生长点是什么呢?怎样构建新的认知结构呢?笔者认为学生已有的知识经验是“几个几相加，乘法的意义”，因为在低年级学习乘法的意义后，后继教材中都有所孕伏、渗透。所以，我们在教学乘法分配律前应系统地把握好教材，为今后的继续学习打下好的基础。（1）回顾乘法算式的意义。在北师大版第三册“8,9的乘法口诀”第83页教材中有这样的题目： 教师在教学这题时不因只为计算而计算，而要最大限度地挖掘练习题的多重功能。如“95+5”先让学生计算出结果，接着追问：“还可以怎么算?”有些学生可能会根据算式的意义“9个5连加后，再加一个5，就等于10个5，所以可以用510=50”来计算，这其实就是为学习乘法分配
11、律打下基础。（2）回顾两位数乘两位数的竖式计算北师大版三年级下册“队列表演（二）”第38页：1412的算法是：先用个位上的2乘14，再用十位上的1乘14，然后把两次的得数加起来也就是先算2个14，再算10个14，最后算12个14，用式子表示是：1412=14(2+10)=142+14l0，同样运用了乘法分配律（3）回顾计算长方形的周长如长方形的长是28米，宽是22米，周长是多少米?算式是：282+222或者(28+22)2，这两道算式都是求长方形的周长，可以用等号连接，这也为学习乘法分配律作孕伏。在运算定律的教学中，我们应当重视将学生已有的知识和经验与新知进行有效地链接，这样抽象的运算定律对于
12、学生而言将变得丰富和生动起来。（二）、立足本质 促进意义建构在乘法分配律简算的教学中要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生准确理解概念，弄清楚概念的内涵和外延，巩固新学的知识和方法。1、丰富素材，让感知从单一走向丰富两种情景处理方式：对照组：教师呈现教材植树情境图，要求学生列式，然后引导学生观察相等的一组算式，进而概括出乘法分配律。实验组：教师呈现：(1)数形感知：出示长方形植树地：这块地的周长是多少?教师引导学生列出两种算式。(2)生活感知：我们班有男生15人，女生20人，如果每人植树3棵，一共可以
13、植树多少棵?让学生用两种方法列式解答。(3)正例感知：你还能举出像上述这样的两个算式的例子吗?(4)反例感知：有同学列举出(42)+25=4+252+25，这个例子对吗?上述案例中，对照组教师囿于教材编排，陷入“一事一例”框框，学生因感知素材单一。而导致感知体验贫乏，所获取的数学表象必然是苍白肤浅的。实验组教师以教材例子为载体，通过创造性处理教材，变“一”为“几”，既关注了学生已有经验，为学生提供乘法分配律的多样化数学模型，有利于学生借助已有经验加以理解、内化，使学生对乘法分配律的感知变得更加丰富、充分。2、注重意义感悟，建构运算定律我们通过计算发现（36+14）6=366+146，教师要让学
14、生具体说明算式每一步的意义：等号左边表示6个36+14的和；等号右边分别表示6个36和6个14，366+146表示6个36与6个14的和。启发学生写出如下算式：36+36+36+36+36+36 6个36的和14+14+14+14+14+14 6个14的和竖着看：算式是(36+14) 6；横着看：算式是366+146。不管是竖着看，还是横着看，都是求6个36与6个14的和，所以(36+14)6=366+146，与多少人种树有同样的道理。这样处理，教师不仅注重了乘法分配律“形”的抽象、概括与建构，而且立足于“等式两边求相同的几个几”这一概念本质，再适时加以追问，引导学生用乘法的意义来理解和解释乘
15、法的分配律，不但注意了学生对外部形态的归纳和应用，更注重了学生对乘法分配律本质上的理解。3、回归生活实际，拓展定律运用苏霍姆林斯基认为：“人的内心里有一种根深蒂固的需要，总想自己是发现者、研究者、探寻者。在儿童的精神世界中，这种需求特别强烈。但如果不向这种需求提供养料，这种需求就会逐渐消失，求知兴趣也与之一道熄灭。因此练习的设计应给学生提供足够的养料。如：(1)根据乘法分配律把式子填完整：(27+73)9=口口+口口， 2512+258=口(口+口)，口(口+口)=763+737。(2)美术兴趣小组的男生买了17套水彩笔，每套8元；女生中有13人也想买同样的水彩笔，请你算一算一共用去多少钱?学
16、生会出现两种方法，比较两种方法哪种简便呢?学生在解决实际问题过程中，发现运用乘法分配律能给计算带来方便，就会喜爱它，从内心深处接纳它。当然，练习中还需要引导学生对乘法分配律进行合理的联想和必要的扩展。学生才能再次经历探究之旅，不仅巩固了新知，还会对乘法分配律的内涵与外延有更深的体验和更多的发现，而这样的探索与发现，会帮助学生真正领悟乘法分配律的本质。（三）、后期延伸 提高简算意识学习乘法分配律的最终落脚点不在于对内涵本质的理解，在于运用乘法分配律进行简便运算，而简便计算教学的落脚点又在于使学生形成自觉计算的意识和能力。(1)理解为本，强化对比教育家赞可夫认为“知识的巩固性不是靠大量的复习，而是
17、靠知识的广度来达到”。“广度”不是指范围很广，最主要是指知识之间的本质联系。因此分配律教学的主要任务是提高学生对知识间的关系与结构的理解，能进行知识的转化与变换，能运用知识解决综合与变化的问题。根据运用乘法分配律进行简便计算的难易程度，分成了以下七类。第一类：直接运用乘法分配律。如：(300+6)12 25(4+8)第二类：先分解成整十、整百数加几，再利用乘法分配律。如：4227 84101第三类：先分解成整十、整百数减几，再利用乘法分配律。如：9916 19823 第四类：乘法分配律的反应用。如：3216+1432 782+783+785第五类：乘法分配律反应用的特殊类型。如：9913+13
18、 17810l178 第六类：部分简算和二次简算。如：234+2315+15+8 67102-673第七类：易错类。如：25(48) 12531255 (2)优化算法，增强意识有相当一部分学生要看到“简便计算”这一要求才会使用简算方法，没要求的就不用简算。针对这一现象，在进行练习设计时，教师应想方设法使学生认识到题中一旦涉及计算，不管有无简算要求，都要自觉选择合理灵活的方法进行计算，以提高计算的效率和质量。如：巩固练习中买东西问题，简便计算不仅仅是计算题的专利，只要涉及计算的领域都要思考是否能运用简算，特别是应用到解决实际的生活问题中。总之，乘法分配律的教学重在“悟”，切忌“灌”，本质上的理解远远胜于形式上的模仿。在教学时，教师要从定律的本质入手，通过丰富感知素材、强化数学表象、顺应学生概括、设计精当练习等途径，引导学生积极参与，自主探究，大胆交流，进而促进学生深刻理解，主动建构，灵活应用，让学生真正领会到“形散而神不散”的真谛参考文献：1楼磊 胡早娣,加强“课组”设计 提升教学效率J小学数学参考，2013.2陈卓英,把握数学本质 破解学习困难J小学数学参考，2013.2苏霍姆林斯基.给教师的建议M北京：教育科学出版社，19848
