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1、新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习特殊平行四边形全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形.3面积：4判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平
2、行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：4判定：（1）一
3、组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直
4、角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积：边长边长对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，在ABC中，ACB=90，BA，点D为边AB的中点，DEBC
5、交AC于点E，CFAB交DE的延长线于点F（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：B=A+DGC【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得ADG=G，再证明B=DCB，A=DCA，然后再推出1=DCB=B，再由A+ADG=1可得A+G=B【答案与解析】证明：（1）DEBC，CFAB，四边形DBCF为平行四边形，DF=BC，D为边AB的中点，DEBC，DE=BC，EF=DF-DE=BC-CB=CB，DE=EF；（2）DBC
6、F，ADG=G，ACB=90，D为边AB的中点，CD=DB=AD，B=DCB，A=DCA，DGDC，DCA+1=90，DCB+DCA=90，1=DCB=B，A+ADG=1，A+G=B【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出ADG=G，1=B掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半类型二、菱形2、（2016广安）如图，四边形ABCD是菱形，CEAB交AB的延长线于点E，CFAD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明RtCDFRtC
7、BE，即可得出DF=BE【答案与解析】证明：连接AC，四边形ABCD是菱形，AC平分DAE，CD=BC，CEAB，CFAD，CE=FC，CFD=CEB=90在RtCDF与RtCBE中，RtCDFRtCBE（HL），DF=BE【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等同时考查了全等三角形的判定与性质 举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由 【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由ADB
8、C，ABCD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AEBC于E，CFAB于FCFBAEB90 AECF（纸带的宽度相等）ABECBF，RtABERtCBF,ABBC,四边形ABCD是菱形. 类型三、矩形3、已知：如图，D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MAMC求证：CDAN；若AMD2MCD，求证：四边形ADCN是矩形【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等求出DACNCA，然后利用“角边角”证明AMD和CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得ADCN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
9、角的和推出MCDMDC，再根据等角对等边可得MDMC，然后证明ACDN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证【答案与解析】证明：CNAB，DACNCA，在AMD和CMN中，AMDCMN（ASA），ADCN，又ADCN，四边形ADCN是平行四边形，CDAN；AMD2MCD ，AMDMCDMDC，MCDMDC，MDMC，由知四边形ADCN是平行四边形，MDMNMAMC，ACDN，四边形ADCN是矩形【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等4、如图所示，在矩形ABCD中，AB6，BC8将矩形ABCD沿CE折叠后
10、，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入RtAEF中，由折叠可知CDCF，DEEF，易得AC10，所以AF4，AE8-EF，然后在RtAEF中利用勾股定理求出EF的值 【答案与解析】解：设EF， 由折叠可得：DEEF，CFCD6， 又 在RtADC中， AFACCF4，AEADDE8 在RtAEF中， 即， 解得：3 EF3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB 3，B
11、C 5，则重叠部分DEF的面积是_【答案】5.1.提示：由题意可知BFDF，设FC，DF5，在RtDFC中，解得，BFDE3.4，则3.435.1.类型四、正方形5、如图，一个含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EFAE交DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AEEF根据正方形的性质推出ABBC，BADHADDCE90，推出HAECEF，根据HEB是以B为直角的等腰直角三角形，得到BHBE，H45，HACE，根据CF平分DCE推出HFCE，根据ASA证HAECEF即可得到答案【答案与解析】 探究：AEEF 证明：BH
12、E为等腰直角三角形, HHEB45，BHBE. 又CF平分DCE，四边形ABCD为正方形， FCEDCE45， HFCE. 由正方形ABCD知B90，HAE90DAE90AEB, 而AEEF，FEC90AEB， HAEFEC. 由正方形ABCD知ABBC，BHABBEBC， HACE, AHEECF （ASA）, AEEF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】（2015黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E若CBF=20，则AED等于 【答案】65。类型五、综合应用6、如图所示，E、F、G、H分别
13、是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为_形 (1)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是菱形 (2)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是矩形 (3)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是正方形 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性【思路点拨】本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形【答案与解析】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线ACBD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EHBD，HGAC，得EHGH，故四边形EFGH为菱形(2)ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形易得GHBD，即GHEH，故四边形EFGH为矩形(3)ACBD且ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形 【总结升华】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键举一反三：【变式】已知，在四边形ABCD中，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_.【答案】AB=BC或 BC=CD或 CD=DA或DA=AB（答案不唯一）
