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1、无穷限广义积分的计算陈雪静（宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013）摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣.关键词: 广义积分;收敛;计算方法广义积分是高等数学学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出
2、原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法.1 无穷限广义积分的定义定义1 设函数在区间上连续,取.如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分（也称作广义积
3、分）,记作,即=;这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,函数在无穷区间上的反常积分就没有意义,习惯上称为反常积分发散,这时记号不再表示数值了.类似地,设函数在区间上连续,取. 如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作,即=;这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.设函数在无穷区间内连续,如果广义积分和（为常数）都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数在无穷区间内的广义积分,记作,即=+ =+这时也称广义积分收敛;否则就称反常积分发散.上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分.2 无穷限广义积分的计算方法2.1利用广义积分的定义求无穷
4、限广义积分由定义计算可以分两步:1求定积分=.需要说明的是原函数均指有限形式.2取极限=.例11 计算解 = 2.2利用含参量积分的理论求无穷限广义积分含参量积分:（） （）统称为欧拉积分.其中称为格马函数.称为贝塔函数.且有递推公式 及 .因此在计算广义积分时看所给广义积分当为何值时对应的欧拉积分,然后用欧拉积分公式直接算出广义积分的值.例25 求（为正整数）解 此广义积分与表达式相似,因此可用函数法求解.= 注:.2.3利用变量代换法求无穷限广义积分有些函数的原函数不易求出或直接积分不出来,但如果对被积函数施以变量代换,在辅以一定的技巧就可以求出这类积分.作变量带换时,首先要对被积函数的结
5、构进行分析,然后再看积分限与被积函数的关系.变换的方向是求出原函数或求出一个含原积分的方程,从而求得所含广义积分的值.例32 求I=解 令x=,则I=上式加上I=得2I=故 I=2.4利用二重积分理论计算无穷限广义积分.利用二重积分理论计算广义积分时,应分两步:1把广义积分巧妙的化为一个二重积分.2计算二重积分,从而间接的计算出广义积分的值.例45 计算广义积分解 由于= 所以= 而= 其中D=故= 而=.例53 计算广义积分I=解 因为=所以I= = =-. 2.5积分号下求导法计算无穷限广义积分.收敛因子法:此方法是对被积函数引入一个收敛因子,因子中有一个参数, 对参数（不一定是收敛因子中
6、的参数）求导,有时可求得原积分的值.在此情况下引入的收敛因子加强了原积分的收敛性（如条件收敛的成为绝对收敛,或求导后发散的,变成一致收敛）.这样使积分号下求导条件得以满足.一般采用（k0)作为收敛因子.例65 求积分 () 解 引入积分因子（0)作积分= =故 = += (显然=I(0)=0)由此有 =所以 I= 故同样可得 =-2.6积分号下求积分法算无穷限广义积分这种方法是将被积函数中某一因子表为一个适当的积分.于是将原积分化成二次积分.交换这两个积分的顺序,就可求出所给的积分.例72 求积分I=解 由,于是I= =由,有=所以 =为了确定,令.得 故.2.7利用复变函数理论中的留数定理计
7、算无穷限广义积分. 定理15 设函数在实轴上处处解析,在上半平面除有限个孤立奇点外处处解析,且存在常数,使得当,且时, ,则推论 15 设是有理函数,与为的,次多项,多项式的次数比至少高2次,在实轴上没有零点,是在上半平面的孤立奇点,则例8 4 计算广义积分 解 因为,显然满足推论的条件,且,是在上半平面的孤立奇点,这两个点都是的一级极点,因此有 同理故=+ =2.8级数展开法求广义积分利用无穷级数计算广义积分也是常用的一种技巧.常有两种方法.其一是将被积函数展成级数以求积分;其二是将无穷区间上的广义积分表示成级数的形式以求积分.例92 求积分I=解 利用余弦函数的幂级数展开以及指数函数的展开
8、式 我们有=例105 计算广义积分.解 由于= 而= 故原式=-.利用级数展开求积分,展开的仅是被积函数的某个因子,“展开因子”选择应是其展开的级数形式比较简单;展开的级数连同被积函数剩下的因子可逐项积分;这些积分容易求出.因此记住一些常用函数的展开式及一些数项级数的和对积分计算是有益的.2.9利用概率统计知识求无穷限广义积分.例115 计算广义积分I=.解 因为为标准的正态分布密度函数所以= 1.即=1. 所以即=令=2.10用拉普拉斯变换求无穷限广义积分定义26 设在上有定义,且积分（是复变参量）关于某一范围内的收敛,则由这个积分确定的函数称为函数的拉普拉斯变换.并记做,即=,其中的称为的
9、像函数,称为的像原函数.定理 25 (Laplace变换存在定理) 设函数在的任何有限区间内分段连续,并且当时, 的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数,和,使得在上,则在半平面上,存在,且=是的解析函数.其中称为的增长指数.性质11（积分性质）若,则（为复数） （1）性质21(终值性质) 若,且的所有奇点全在平面的部 （2）性质31 若,在上解析,且收敛,则存在,且 （3）证明 由微分性知 = =由性质1 所以由性质2 即 =特别的,时,有. （4）性质41（象函数的积分性质）若,且积分收敛. （5）性质 51 设,且与皆收敛,则 （6） 证明 由（5）式, 由（4）式, = 例124 求
10、的拉普拉斯变换,并求积分.解 由定理2,因为,故在的实部大于零上, 拉普拉斯变换存在,且 =于是 （在的实部大于零）那么 由命题4知 =在利用命题5知 =.例136 计算下列积分解 , 由微分性质知,但是另一方面 当时,即=致谢：本文在写作过程中得到陈一虎老师的指导.在此表示感谢！参考文献:1 白水周.无穷限广义积分的几种有效解法J.开封大学学报,2000,14(1):49-50.2 李绍成.论广义积分的计算J.绵阳农专学报:自然科学版,1996,13(2):65-70.3 数学分析.华东师范大学数学系M.高等教育出版社,20014 宋叔尼,孙涛.复变函数与积分变换M.北京:科学出版社,200
11、6.5 刘开生,杨钟玄.无穷限广义积分的几种计算方法J.天水师范学院学报: 自然科学版,2002,22(2):9-10.6 盖云英,包革军.复变函数与积分变换学习指导M.科学出版社,2004.Ways of calculating limitless generalized integralCHEN Xue-Jing(Department of Mathematic,Baoji University of Arts and Science Baoji 721013,Shaanxi ,China)Abstract: ways of calculating generlazed integral
12、are given by using maths analysis, complex variable and integral transform, complex function and proabability statistical theroy. In the study the use of these methods can broaden their horizons, stimulate interest in learning mathematics. Key words: generalized integration; convergence; calculation method.
