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1、矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为。2、性质：（1）反身性：即.（2）对称性：若，则（3）传递性：即若，则（4） 若为矩阵，且，则一定存在可逆矩阵（阶）和（ 阶），使得.其中为阶单位矩阵.（5） 设是两矩阵，则当且仅当3、判定：矩阵等价的充要条件：两个矩阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的 阶矩阵，使由矩阵的等价关系，可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件：（1）矩阵与必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在 阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使得.（二）矩阵的合同：1、
2、定义：两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得成立，则称A,B合同，记作该过程成为合同变换。2、性质：（1）反身性：任意矩阵都与自身合同.（2）对称性：如果与合同，那么也与合同.（3）传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4） 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.（5） 复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 3、判定定义2 设均为数域上的阶方阵，若存在数域上的阶可逆矩阵，使得,则称矩阵为合同矩阵（若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵与合同必须同时具备的
3、两个条件： (1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域上的阶矩阵,（三）矩阵的相似1、定义：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得成立，则称矩阵A,B相似，记为。2、性质：性质3 (1)反身性 ; (2)对称性 由即得;（3）传递性 和即得 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) （其中是任意常数）；(5）；(6）若与相似，则与相似（为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么. 即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8）相似的矩阵有相同的行列式； 因为如果，则有： (9）相似
4、的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设，若可逆，则从而可逆.且与相似.若不可逆，则不可逆，即也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理 定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.3、判定：设均为数域上阶方阵，若存在数域上阶可逆矩阵使得,则称矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域上阶可逆矩阵，使得二、矩阵的等价、合同和相似之间的联系 （一）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存
5、在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系1、相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价 反过来，对于矩阵,等价，但是与并不相似，即等价矩阵未必相似2、 对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,(即与等价)，且 (为阶单位矩阵)，则与相似证明： 设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价又知,若记 ,那么,也即,则矩阵也相似3、 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵证明： 设阶方阵合同，由定义2有，存在阶可逆矩阵，使得， 若记,则有因此由定义1得到阶方阵等价反过来对于矩阵,
6、等价，但是与并不合同，即等价矩阵未必合同4、 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵证明：若存在一个正交矩阵,即使得即，则有，即与合同. 同理，若存在一个正交矩阵，即使得即与合同，则有 由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（二）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系另外，在一定条件下，两者是等价的若矩阵与正交相似，则它们既是相似也是合同的对于相似与合同矩阵之等价条件有以下联系1、 如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根则与既相似又合同证明：设与的特征根
7、均为因为与阶实对称矩阵，则一定存在一个阶正交矩阵 Q使得同理，一定能找到一个正交矩阵使得从而有 将上式两边左乘和右乘,得由于,有,所以，是正交矩阵，由定理8知与相似2、 若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同证明：不妨设是正交矩阵，则可逆，取,有，则与相似，又知是正交阵，所以与既相似又合同3、 若与相似且又合同，与相似也合同，则有与 既相似又合同证明: 因为与,与相似，故存在可逆矩阵,，使,令,则且,故与相似又因为与合同，与合同,故存在可逆矩阵,令而故与合同三、矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言 b.一般与初等变换有关 c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型
8、矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言 b.秩相等是必要条件 c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵 b.秩相等是必需条件 c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同 由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.
