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1、学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文高阶常微分方程解法是我个人在导师徐河苗指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名： 日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名： 日期：指导教师声明书本人声明：该学位论
2、文是本人指导学生完成的研究成果,已经审阅过论文的全部内容,并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性.指导教师签名： 时间：摘 要本文首先介绍了高阶常微分方程的定义和性质,并对其进行了分类.继而介绍了高阶齐次线性微分方程和高阶非齐次线性微分方程的求解方法;在求解齐次线性微分方程主要采用了欧拉待定指数函数法、降阶法，还特别阐述了二阶线性微分方程的幂级数解法;在求解非齐次线性微分方程主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法、常数变易法.最后通过一些例子对这些方法的具体应用做了介绍.关键词：拉普拉斯变换；常数变易法；降阶法；幂级数AbstractThis paper first intr
3、oduces the high order ordinary differential equation of the definition and properties,and analyses the classification.And then introduces the high order homogeneous linear differential equation and the homogeneous linear differential equation solution;In solving the homogeneous linear differential e
4、quation mainly adopts backlog index function method,euler reduced order method.Also is especially expounds two erder linear differential equation of the power series solution;In the solution of a homogeneous linear differential equation mainly adopts more coefficient method,Laolace transform method,
5、the variation of constant.Finally through some examples of the specific application of these methods are introduced.Keyword: Laplace transform; Constant variation; Reduction Method; Power Series目 录1.引言12.预备知识13.齐次线性微分方程的解法23.1欧拉待定指数函数法23.1.1特征根只有单根的情形33.1.2特征根有重根的情形432降阶法53.3二阶线性方程的幂级数解法84.非齐次线性微分方程
6、的解法94.1比较系数法.104.2拉普拉斯变换法124.3常数变易法135.结束语15参考文献166.附件17附件一17致 谢19高阶常微分方程的解法08404228数学与应用数学指导教师徐1. 引言常微分方程在数学占据着重要的位置，它的求解问题是学习这门课程的重点也是难点，它的解存在很多的性质，这就引导我们可以通过不同的性质对它的解进行研究，出现了很多种不同的解法。 我们讨论如下的阶线性微分方程 (1)其中及都是区间上的连续函数.这样的方程我们称它为阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程.特别地，当,则上述方程变为 (2)我们称它为阶齐次线性微分方程,并把这个方程叫做对应与上述非齐次
7、线性微分方程的齐次线性微分方程.类似于一阶微分方程,高阶微分方程解的存在性及怎样求解是学习高阶微分方程的一个重点.本文就高阶微分方程的解法问题进行讨论.2.预备知识定理1：如果是齐次线性微分方程的个解,则它们的线性组合也是它的解,其中是任意常数. 这个定理通常被称为叠加原理.定理2：方程任一组个线性无关的解称为方程的一个基本解组,基本解组的以任意常数为系数的线性组合构成齐次线性微分方程的通解.定理3：设为方程的基本解组,而是方程的特解,则方程的通解可表为其中为任意常数, 即：非齐次线性微分方程的通解可表为它的一个特解与对应齐次线性微分方程的通解之和.3.齐次线性微分方程的解法若齐次线性微分方程
8、(2)中所有系数都是常数,则方程有如下形式 (3)其中,为常数.我们称它为阶常系数齐次线性微分方程.3.1欧拉待定指数函数法阶常系数齐次线性微分方程的求解问题可以归结为代数方程求根问题.下面介绍基本解组的欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）.由于一阶常系数齐次线性微分方程,有形如的解,且它的通解就是.因此，我们对于方程(3)也去试求指数函数形式的解其中是待定常数,可以是实数,也可以是复数.将代入方程(3)中，有 =,其中是的n次多项式.可得,为方程(3)的解的充要条件是是代数方程的根.我们称它为方程(3)的特征方程,它的根就称为特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论.3.1.1特征根只有
9、单根的情形设,是特征方程的个互不相等的根,则相应地方程(3)有如下个解：.由于而最后一个行列式是著名的范德蒙德行列式,它等于,由于假设,故此行列式不等于零,从而,于是解组线性无关，即在区间上线性无关，从而构成方程的基本解组。 如果均为实数,则方程(3)的通解可表示为,其中为任意常数.如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭地出现,设是一个特征根,则也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程(3)有两个复值解和.这样一来,对应于特征方程一对共轭复根,我们可求得方程(3)的两个实值解,.3.1.2特征根有重根的情形设特征方程有重根,则,.当时, ,也就是特征方程的形式为,而对应的
10、方程(3)变为,可见它有个线性无关的解,即特征方程的个线性无关解.当时,我们作变量变换,注意可得.于是方程(3)化为.对应的特征方程为.直接计算可得.因此,从而.可见特征方程的根对应与特征方程的根,而且重数相同.这样,问题就化为前面讨论过的的情形了.我们知道方程的重根对应于方程的个解，因而对应于方程的重根,方程(3)有个解 (4)同样,假设特征方程的其他根的重数依次为（单根相当于）,而且,则方程(3)对应有解 (5)可以证明以上(4)和(5)全部个解线性无关,从而构成方程(3)的基本解组.设特征方程有复重根时,假设是重特征根,则也是重特征根,则可得到方程(3)的个实值解例1 求解方程解: 特征
11、方程有根,因此,通解为,其中为任意常数.32降阶法可降阶的一些方程类型:n阶微分方程的一般形式,即.a) 含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是.若能求得该方程的通解：，即对上式进行次积分,即得的通解这里为常数b) 不显含自变量的方程一般形式:因为 用数学归纳法可得:.将这些表达式代入,可得:,即得新方程,它比原方程降低了一阶.c) 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶这里可以分为两种情形：情形1：设是二阶齐线性方程的非零解.令,则;.代入,得,即.引入新的未知函数方程变为.是一阶线性方程,解得则.因而（）因它与之比不等于常数,故线形无关. 因此的通解为（这里是
12、任意常数）情形2：一般已知齐线性方程的个线性无关解,显然令,;.代入上面已知齐线性方程得已知齐线性方程故的系数恒为零,化为不含的方程.令,则在的区间上方程变为.且是上述方程.已知线性方程的解及以上变换知或.因此是的解.若.则.即因此,对仿以上做法,令.则方程化为关于的阶段线性方程可得上述方程的个线性无关的解.重复以上做法,可降低阶.例2 求方程的通解解: 令,则方程化为这是一阶方程,其通解为,即有,对上式积分4次,得原方程的通解为.3.3二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程,求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程在初始条件下的特解(不失去一般性,可设).定理42:若方程上
13、述方程中系数和都可展成的幂级数,且收敛区间为,则该方程有形如的特解,也以为级数的收敛区间.定理52:若上述方程中系数和都具有这样的性质,即和均可展成的幂级数,且收敛区间为,则该方程有形如的特解,这里,是一个待定常数,级数也以为收敛区间.证明略.例3 求方程满足初始条件的解解: 设级数为方程的解,这里是一个待定常数,由初始条件得: 因而;.将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得;，;即.因而也即对一切正整数成立.故方程的解为4.非齐次线性微分方程的解法讨论常系数非齐次线性微分方程的求解问题,这里是常数,而为连续函数.4.1比较系数法.对于的不同形式,可以分为两种类型进行分析.类型 设,
14、其中及为实常数那么方程(1)有形如的特解,其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时,取）,而是待定常数,可以通过比较系数来确定.1) 若,则现在分两种情况进行讨论:第一种情况：不是特征根的情况,即,则,这时取,将代入方程(3),并比较的同次幂的系数,得到常数必须满足的方程这里,这些待定常数可以从该方程唯一地逐个确定出来.第二种情况：是重特征根的情况,即,而,也就是,方程(1)将变为令,则上述方程化为对该方程来说,由于已不是它的特征根,它有形如的特解,因而前面所述方程有特解满足.这表明是的次多项式,其中的幂次的项带有任意常数,但因我们只需要知道一个特解就够了,特别地取这些任意常数均为
15、零,于是我们得到方程的一个特解这里是已确定了的常数.2) 若,则此时可作变量变换,将方程(1)化为其中都是常数,而且特征方程的根对应于上面所化方程的特征方程的零根,并且重数也相同,因此,利用上面的结果就有如下结论：在不是特征方程的根的情形,所化方程有特解,从而方程(1)有特解；在是特征方程的重根的情形,所化方程有特解,从而方程(1)有特解类型 设,其中为常数,而是带实系数的的多项式,其中一个的次数为,而另一个的次数不超过,那么我们有如下结论：方程(1)有形如 的特解,这里为特征方程的根的重数,而均为待定的带实系数的次数不高于的的多项式,可以通过比较系数的方法来确定.根据类型的讨论过程,当不是实
16、数,而是复数时,有关结论仍然正确.现将表为指数形式根据非齐次线性微分方程的叠加原理,方程与 的解之和必为方程(3)的解.4.2拉普拉斯变换法常系数线性微分方程还可以应用拉普拉斯变换法进行求解,由积分所定义的确定复平面上的复变数的函数,称为函数的拉普拉斯变换法,其中在有定义,且满足,里为某两个正常数,我们将称为原函数,而称为像函数.设给定微分方程及初始条件,其中是常数,而在上连续且满足原函数的条件.注意,如果是给定微分方程的任意解,则及其各阶导数均是原函数,记和那么,按原函数微分性质有,于是,对给定微分方程两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质就得到即 或 ,其中和都是已知多项式,由此,这就是给定
17、微分方程的满足所给初始条件的解的像函数.而可直接查拉普拉斯变换表（附表）或由反变换公式计算求得.例4 求方程满足初值条件的解.解: 对方程两端施行拉普拉斯变换,得到方程的解的像函数所应满足的方程,由此,并注意到,得,直接查拉普拉斯变换表（附表）,可得和的原函数分别为和,因此,利用线性性质,就求得的原函数为这就是所要求的解.4.3常数变易法首先给出阶非齐次线性微分方程及其对应的齐次线性微分方程设是齐次线性微分方程的基本解组,因而为上面齐次线性微分方程的通解,把其中的任意常数看作的待定函数,这时通解变为将它代入非齐次线性微分方程就得到必须满足的一个方程,但待定函数有个,即,为了确定它们,必须再找出
18、个限制条件,为此,我们按下面的方法来给出这个条件.对微分等式得,令条件 得到表达式重复以上做法我们可以得到个条件和表达式.将以上所得的通解和表达式代入非齐次线性微分方程,并注意到是的解,得到这样,我们得到了含个未知函数的个方程（即上面所说的条件）,们组成一个线性代数方程组,其系数行列式就是,它不等于零,因而方程组的解可唯一确定,设求得,积分得,这里是任意常数,将所得的表达式代入即得方程非齐次线性微分方程的解显然,它是非齐次线性微分方程的通解,为了得到方程的一个解,只需给常数以确定的值.例如,当取时,即得解.例5 求方程的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为.解: 应用常数变易法,令将
19、它代入方程,则可得决定和的两个方程及,解得由此于是原方程的通解为,其中为任意常数.5.结束语本文通过一些例题运用拉普拉斯变换法，常数变易法，降阶法等方法对高阶常微分方程怎样求解做了详细的介绍.常微分方程的种类很多，每一个方程都可以用不同的方法去求解,但肯定存在一个更加实用的方法使该方程的求解更加简便.本文虽然详细的介绍了高阶常微分方程的求解问题,但在这一方面还存在着一定的局限性,对于一些特殊的常微分方程还不够简便易行.因此,常微分方程的求解问题还需要更多的人深入的对常微分方程进行研究,并对其求解的方法进行总结.参考文献1 徐新容.关于常微分方程的常数变易法.2011年第08期2 王高雄.周之铭
20、.朱思铭.王寿松.常微分方程.第二版.北京:高等教育出版社,19833 陈华喜.高阶常系数线性非齐次微分方程几种解法.2010年第05期4 金顺利.张建全.李燕.关于微分方程的常数变易法.2010年第02期5 武忠祥.魏战线.吴云江.历届数学考研试题研究.西安:交通大学出版社,20026 伍卓群.李勇编.常微分方程.北京:高等教育出版社,20047 和慧民.一类线性微分方程的降阶解法.2005年第17期8 林武忠.汪志鸣.张九超.常微分方程.北京:科学出版社,20049 陈家声.常微分方程的幂技师解法.1989年04期10 周义仓.靳祯.秦军林.常微分方程及其应用.北京:科学出版社,200311 叶彦谦.常微分方程.北京:高等教育出版社,19826.附件附件一 序号原函数像函数的定义域11234567891011121314致 谢 在论文收笔之际,我向导师徐河苗致以最真挚的谢意,感谢老师学术上的悉心指导、精心教诲,感谢老师生活上无微不至的关心与照顾,感谢老师严谨的科研态度和为人处事之道对我至关重要的影响.本文是在老师的指导下完成的,从选题到结构安排、内容细节都凝聚着老师的心血和汗水,再次对老师表示衷心感谢.另外,对关心支持我的家人、朋友、室友和师妹表示由衷谢意和诚挚祝福.
