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1、等价无穷小量在求函数极限中的应用摘要 主要讨论了等价无穷小量在求积商、和差及幂指结构函数极限中的应用, 并通过一些具体的例题体现了无穷小量替换在求极限中的灵活性、多样性和重要性.关键词 等价无穷小量; 积商结构; 和差结构; 幂指结构; 极限; 应用 1 等价无穷小量在求积商结构函数的极限中的应用1.1等价无穷小定义及重要结论 定义1.1.1 若 则称为时的无穷小量.定义1.1.2 若 则称与是当时的等价无穷小. 记作.应用等价无穷小代换, 必须记住一些基本的等价无穷小量, 如时, ,等.定理1.1.1 设函数在内有定义, 且有若存在, 则.证明 .定理1.1.2 设函数在内有定义, 且有若存
2、在, 则.证明 .由定理1.1.1和定理1.1.2,可以得到以下一个重要的结论, 它在求积和商的极限中有很重要的作用, 需加强对它的理解. 结论1.1.1 设为时的无穷小量, 若存在, 则. 证明 . 从结论1.1.1容易看出, 当时, 结论就是上面定理1.1.1的情形; 当去掉分子并略去相关条件, 结论1.1.1就是定理1.1.2的情形, 即两定理是结论的特殊情况, 需要要很好的理解上面的结论.1.2 定理和结论的应用举例例1.2.1 求.解 由于. 故由定理1.1.2得.例1.2.2 利用等价无穷小量求极限.解 由于这个极限的分子不满足上面定理和结论的要求, 需要我们对它进行转化,使之成为
3、定理和结论需要的形式, 容易看出, 而 故有. 说明 这道题是结论1.1.1的应用, 应注意的是, 在利用等价无穷小量代换求极限时,要注意所求极限的形式与上面所给定理和结论是否相对应, 不满足时不能随意替换, 需要适当的变形, 变成我们需要的形式, 如刚才这个极限的分子就不与上面的结论要求相对应, 需要上面的适当的变形.例1.2.3 求极限. 解 由于 由结论1.1.1得. 说明 这道例题与例1.1.2类似, 虽然形式比较复杂, 但只要严格按照上面的结论就可以迎刃而解了.2 等价无穷小量在求和差结构函数的极限中的应用2.1 重要定理及其结论 课本中一般强调等价无穷小代换法则只在乘除的情况下可以
4、使用, 在加减的情况下不能随意使用, 那么究竟在什么样的情况下加减的形式可以使用呢? 现在来着重介绍一下, 下面先来看和的情形. 定理2.1.1 设为时的无穷小量, 且, 则.证明 当时, 因为,知, 且所以 . 当时, 有已知条件知, 所以 故. 定理2.1.1表明, 在计算与两个无穷小量的代数和有关的极限运算时, 若其为同阶无穷小且两者商的极限不为时, 则可用与其等价的无穷小量分别替换, 将是运算过程更为简洁.对于差结构函数的极限类似得如下定理 定理2.1.2 设 为时的无穷小量,且 则. 定理2.1.2表明, 在计算与两个无穷小量的差有关的极限运算时, 若其为同阶无穷小且两者商的极限不为
5、时, 则可用与其等价的无穷小量分别替换, 将是运算过程更为简洁. 定理2.1.1和定理2.1.2解决了等价无穷小量在求和差结构函数的极限中的应用, 下面对定理2.1.1和定理2.1.2推广可得到如下一些结论.结论2.1.1 设为时的无穷小量, 且 若或存在, 则或 证明 由所给条件知,再由结论1.1.1可直接得.结论2.1.2 设,为时的无穷小量, 且为常数, 若存在, 则. 证明 由知从而 即. 同理.所以. 结论2.1.2的得到增强了定理的应用范围, 使其应用更加广泛, 进一步体现了等价无穷小代换的广泛性与灵活性, 暗示我们对于一些复杂的极限可以通过等价无穷小代换使之简洁而有效. 2.2
6、定理和结论的应用举例例2.2.1 求极限. 解 由于当时, 并且.故当时, .又由于当时, , 并且.故当时, 由结论2.1.2得. 说明 这道题是对定理和结论的直接应用, 对于既有积商, 又有和差的极限, 首先判断其是否符合和差形式的条件, 然后在应用上面推广的结论, 这样做显然比直接利用洛必达简单些, 在求极限中, 往往我们先利用等价无穷小代换, 再利用洛比达会起到事半功倍的效果.例2.2.2 求极限为常数. 解 因为当时, 所以由结论2.1.1有.例2.2.3 求极限. 解 当时, , 并且.故当时, .又当时, 并且.故当时, .所以由结论2.1.2有=. 说明 例2.2.3跟例2.2
7、.1一样, 只要严格遵守上面推广的结论就可以很快得到结果, 其解法既快捷又简便, 很好的体现了利用等价无穷小代换求极限的优越性. 总之, 有上述的几个例子可以发现, 对于某些函数极限的计算利用等价无穷小替换比洛比达法则简单易行, 可起到事半功倍的效果, 必要的时候两种方法可以同时进行.3 等价无穷小量在求幂指结构(未定式、)函数的极限中的应用3.1重要定理及其结论 本节主要介绍等价无穷小量了幂指结构函数极限中的应用, 在幂指结构函数极限中利用等价无穷小代换可以适当的把繁琐的式子进行化简, 从而有利于我们更快更好的解决这一类极限, 下面我们先从引理入手.引理3.1.1 设和在有定义, 为时的无穷
8、小量, 且 则有.证明 由条件知 , 且所以.引理3.1.2 设和在有定义, 为时的无穷小量, 且 则.证明 因为, 又因为,所以下面介绍未定式、的基本定理及其结论 定理 3.1.1 设,为时的无穷小量, 且 则型. 证明 由的连续性及引理3.1.1得 . 结论3.1.1 设为时的无穷小量, 且 则.结论3.1.2 设为时的无穷小量, 且 则.结论3.1.3 设,为时的无穷小量, 若它们满足如下条件 1） 2）;则. 证明 由得再由定理3.1.1可得.定理3.1.2 设,为时的无穷小量, 且 则型. 证明 由的连续性及引理3.1.2得. 根据定理3.1.2, 下面得到更一般的情况 结论3.1.
9、4 设,为时的无穷小量, 且, 则.定理3.1.3 设,为时的无穷小量, 且, 则型. 证明 由的连续性及引理3.1.1得 .待添加的隐藏文字内容2 结论3.1.5 设,为时的无穷小量, 且 则注释3.1.1 很容易看出, 上面的部分定理是结论的特殊情况, 三种未定式的情况互有关联, 因此要想很好的应用定理和结论, 需要对三种未定式灵活应用, 提倡相互联系解题, 反对将它们割裂. 注释3.1.2 这些结论将定理进行了适当的推广, 不但有指数的形式, 而且融合和差的形式, 一方面使其应用更加广泛, 另一方面突出体现了等价无穷小代换在求极限的灵活性和多样性的特点.3.2定理和结论的应用举例例3.2
10、.1 求极限.解 因为, 所以.又因为, 故由定理3.1.1及结论3.1.3可得.说明 这是一个型的极限,是对定理及结论的应用, 首先判断它是否符合定理或结论的条件, 然后再利用定理或结论.例3.2.2 求极限解 由于当时, , 且, 所以满足结论3.1.3的条件,故由结论3.1.3得 说明 这也是一个型的极限, 与例2.2.1类似, 加深对结论3.1.3的理解.例3.2.3 求极限（是常数）. 解 在的内, 无论如何可以有, 又当时, 有, 则由定理3.1.2得. 说明 这是一个型的极限, 是对定理3.1.2的简单应用, 同样需要判断是否符合条件即可. 例3.2.4求极限 解 由于和是时的无
11、穷小量, 且时, 满足定理3.1.3的条件, 所以有. 说明 这是一个型的极限, 是对定理3.1.3及结论的简单应用.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(上冊)M.(第三版).北京:高等教育出版社,2001:59 62.2 储亚伟,刘敏.等价无穷小量在极限运算中的应用J.阜阳师范学院学报(自然科学版),2005,22(3):7173.3 宋振云.无穷小替换在求型极限中的应用J.高师理科学刊,2009,29(4):7678.4 祝微,杨春艳.等价无穷小代换定理的拓展J.长春师范学院学报(自然科学版),2010,29(1):1214.5 孙玉海.等价无穷小在求复合函数极限中的应用J.抚州师专学报,2001,20(3):11136 唐加冕.等价无穷小量在极限运算中的应用J.赤峰学院学报(自然科学版),2010,26(3): 45.
