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1、课前练习,Continuity of Function,二、等价无穷小在求极限中的应用,一、无穷小量的比较,2.7 无穷小量的比较,2.7 无穷小量的比较,1.1、问题的提出,一、无穷小量的比较,一、无穷小量的比较,1.1、问题的提出,无穷小的和、差、积仍为无穷小.无穷小的商是什么？,引例:,趋向于零的“快慢”程度不同.,结论:,2.7 无穷小量的比较,1.1、问题的提出,一、无穷小量的比较,1.2、两个无穷小的关系,1.2、两个无穷小的关系:,一、无穷小量的比较,定义：,1.2、两个无穷小的关系:,一、无穷小量的比较,引例：,例1,解：,一、无穷小量的比较,一、无穷小量的比较,例1,解：,一
2、、无穷小量的比较,例2,解：,由题意知：,即,一、无穷小量的比较,例3,证：,2.7 无穷小量的比较,1.1、问题的提出,一、无穷小量的比较,1.2、两个无穷小的关系,二、等价无穷小在求极限中的应用,2.1、等价无穷小因子替换法,证,注意：,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,2.1、等价无穷小因子替换法,二、等价无穷小在求极限中的应用,替换方法：,要么替换整个分子（分母），要么替换分子（分母）中的因子,二、等价无穷小在求极限中的应用,证:,常用的几个等价无穷小:,二、等价无穷小在求极限中的应用,注意：不能滥用等价
3、无穷小代换.,无穷小代换原则：乘除可以替换，加减不能单项替换，只能总体代换!,2.1、等价无穷小因子替换法,二、等价无穷小在求极限中的应用,反例：,解,错解,2.7 无穷小量的比较,1.1、问题的提出,一、无穷小量的比较,1.2、两个无穷小的关系,二、等价无穷小在求极限中的应用,2.1、等价无穷小因子替换法,2.2、等价无穷小因子替换法应用举例,例1,解:,二、等价无穷小在求极限中的应用,例2,解:,例3,解：,二、等价无穷小在求极限中的应用,例4,解:,二、等价无穷小在求极限中的应用,例5,例6,解：,例7,解：,二、等价无穷小在求极限中的应用,例8,解:,例9,解:由题意知：,例10,解：
4、,二、等价无穷小在求极限中的应用,注：有些问题先恒等变形创造条件，再替换。,例11,解：方法1,二、等价无穷小在求极限中的应用,方法2,例12,解：,二、等价无穷小在求极限中的应用,一、关于求极限的几个要注意的问题,1.先判断极限类型，根据不同类型采取不同的方法；,2.求极限之前，要尽可能简化极限表达式。,常用方法有：,(1)先“替换”等价无穷小的因子；(2)对极限为非零常数的因子，可以用其极限值进行“置换”。,例如：,注意:,不是因子（加减的情形），不能“置换”!,例如：,例1,解：,例2,解：,例3,解：,二、含参变量极限表示的函数,参变量：参与某种运算的一个变量，简称参量。且当参变量取不
5、同数值时，计算结果也不相同。一般计算结果可表示为参变量的函数。,处理方法：运算时，将参变量暂时看成常数。,例1,例2,例2,作业：第80页 3(2)(4)(5)(7).,第二章总结,一、基本概念：,什么时候解题要分别考虑单侧极限？,（1）指数函数，绝对值函数以及偶次根式函数通常要分别考虑两个单侧极限是否存在；（2）如果是分段函数的分界点，而且在分界点的两侧函数表达式不同，则要分别考虑左极限与右极限。例如,第二章总结,4、无穷小量与无穷大量的概念与性质,5、连续函数的概念,第二章总结,7、函数有界,极限存在和连续的关系,6、间断点的概念与分类,第二章总结,二、极限的计算方法,1、确定型极限的计算方法：利用极限四则运算法；无穷小与有界变量的积仍为无穷小；无穷大与无穷小的关系。,2、未定型极限的计算方法：将未定型的极限转化为确定型的极限;或者利用两个重要极限.,第二章总结,罗比塔法则（第四章）,三、闭区间上连续函数的性质,第二章总结,
