一元二次方程知识点全解及练习.doc

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1、第23章 一元二次方程第一节 一元二次方程的定义与一般形式 13知识点1 一元二次方程的定义 13知识点2 一元二次方程的一般形式 14第二节 一元二次方程的解法 15知识点1 直接开平方法解一元二次方程 15知识点2 因式分解法解一元二次方程 16知识点3 配方法解一元二次方程 18知识点4 公式法解一元二次方程 19第三节 一元二次方程的解法 22知识点1一元二次方程根的判别式 22知识点2一元二次方程根与系数的关系 23第四节 一元二次方程的实践与探索 26知识点1一元二次方程根的实践 26知识点2一元二次方程的探索 29赢家大比拼:勇闯三关 唯我甲天下! 32排 查 第一节 一元二次方

2、程的定义与一般形式 评 价 知识点1 一元二次方程的定义 【 】 观察下列方程有何共同特点? (1) ; （2）; （3）； （4）. 上述方程都符合: (1) 一元: 含有一个未知数; (2) 二次: 未知数的最高次数都是2, 二次项系数不为0; (3) 整式方程, 这样的方程叫做一元二次方程.例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1） （2） （3） （4） 解: （1）不是二次; （3）不是整式方程; （4）不是, 化简后没有二次项; （2）是,符合三个条件: 一元, 二次, 整式方程.例2方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方

3、程为一元一次方程？解：当2时是一元二次方程；当2，0时是一元一次方程；挑战你: 学透知识 想通方法 挑战需要智慧!1, 指出下列方程，哪些是一元二次方程？ （1）x（5x-2）x（x1）4x2； （2）7x262x（3x1）； （3）； （4）6x2x； （5）2x25y； （6）-x202 关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？3,关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？4关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？ 知识点2 一元二次方程的一般形式 【 】 一元二次方程的一般形式：（a、b、c是已知数，a0）， 其 左边是关于未知

4、数的降幂排列 ; 右边是0 . 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。 把一元二次方程非一般形式化为一般形式需要五步: 去分母; 添括号; 去括号; 移项; 合并同类项.例1将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) (2)（x-2）(x+3)=8 解: 1） (2)（x-2）(x+3)=8 6y2-y=0 (移项) x2+3x-2x -6-8=0 (去括号,移项) 二次项系数为6 x2+x-14=0 (合并同类项) 一次项系数为-1 二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-14。 常数项为0挑战你: 学透知识 想通方法

5、 挑战需要智慧!1，将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）；（3）；（4）2已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值排 查 第二节 一元二次方程的解法 评 价 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 【 】试一试解下列方程:（1）；（2）解（1）， （2） 因为x是4的平方根， x2=1 所以， 因为x是1的平方根， 即x2 所以x1 这种方程左边是含有未知数的平方，右边是非负数，直接用平方根的知识解方程，叫做直接开平方法例1、解下列方程：（1）x220; （2）16x2250.解（1）x22. （移项） （2）16x225.（移项）

6、 .（直接开平方法） x2（化系数为1）所以原方程的解是，. x.（直接开平方法） 所以原方程的解是，.挑战你: 学透知识 想通方法 敢于挑战,人生的太阳就从你这里升起!1,解下列方程：（1）（x2）2160； （2）(x1)2180；（3）(13x)21； （4）4(2x3)2250.(5) (6)、4（x+2）2=9(2x1)22 一元二次方程(x+p)+q=0有解，q的范围。 知识点2 因式分解法解一元二次方程 【 】例2解下列方程：（1）； （2） 方法分析: 方程左边提公因式分解因式,右边为0解（1）x（3x2）0 (移项,为什么?) 所以x0或3x20 x（x3）0 所以x0或x3

7、0， 例3解下列方程：（1）；（2） 方法分析: 方程左边平方差公式分解因式,右边为0.解（1）(x+1+2)(x+1-2)=0 (2) (x+1+16)(x+1-16)=0(x+1+2)=0或(x+1-2)=0 (x+1+16)=0或(x+1-16)=0 X1=-3 x2=1 X1=-17 x2=15 十字相乘法分解因式补充介绍： 十字相乘法是对二次三项式进行因式分解，包括十字的构成，十字的判断，因式的书写。 补例：用十字相乘法对下列各式分解因式 （1） x2-2x-3; (2) 2x2-3x+1. 解（1）十字的构成: 二次项系数1， （2）十字的构成: 二次项系数2， 写成11，竖着写；

8、常数项-3，写成 写成12，竖着写；常数项1，写成1（-3）或-13，竖着写，然后交叉。 (-1)（-3）或13，竖着写，然后交叉。 1 -3 1 3 1 -1 1 1 1 1 1 -1 2 -1 1 1十字的判断：交叉积的和=一次项的系数11+（-3）1=-2，对 12+（-1）(-1)=-3，对1（-1）+31=2，错。 12+11=3，错。因式的书写：横着写。 因式的书写：横着写。 x2-2x-3=（x-3）(x+1) 2x2-3x+1=（x-1）(2x-1)例3解下列方程：（1） x2-2x-3=0; (2) 2x2-3x+1=0. 方法分析: 方程左边用十字相乘法分解因式,右边为0.

9、解 （1） x2-2x-3=0; (2) 2x2-3x+1=0. （x-3）(x+1)=0 （x-1）(2x-1)=0 x-3=0或x+1=0 x-1=0或2x-1=0 X1=3 x2=-1 X1=1 x2=。 这种将方程左边提公因式，用平方差公式，用十字相乘法进行分解因式，左边为0，分别解这两个一元一次方程，这种方法叫做因式分解法挑战你: 学透知识 想通方法 敢于挑战,有智慧地去迎接它!1解下列方程：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）2小明在解方程时，将方程两边同除以x，得到原方程的解x3，这种做法对吗？为什么？3，谁对谁错：小张和小林一起解方程x（3x2）6（3x2）0

10、小张将方程左边分解因式，得（3x2）（x6）0，所以3x20或x60得小林的解法是这样的：移项，得x（3x2）6（3x2），方程两边都除以（3x2），得x6小林说：“我的方法多简便！”可另一个根哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？4 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 知识点3 配方法解一元二次方程 【 】配方：配成完全平方。其完全平方公式为： 抓住三个特点： 两数平方和； 两数积2倍； 正的积2倍，两数和的完全平方；负的积2倍，两数差的完全平方。填一填： （1）+6x+( )=(x+ )； （2）-8x+( )=(x- )；（3）+( )=(x+ )； （4）4-6x

11、+( )=4(x- )=(2x- )例4 用配方法解下列方程：（1）；（2）方法分析：移常数项到右边，左边配成一个含未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而用直接开平方求解解（1），（两边都加上1） （2） =6 （配方） (移常数项到右边) = (用直接开平方求解) （两边都加上4） =-1 =1（配方） =1 (用直接开平方求解) ，. 我们把方程的左边配成一个含未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而用直接开平方求方程的解这种解一元二次方程的方法叫做配方法用配方法解下列方程的四步: 化二次项为1; 移常数项到右边; 配方; 用直接开平方求解.例5用配方法解下列方程：（1）；（2）

12、解（1）(移常数项到右边) （2）(移常数项到右边) （两边都加上9） （配方） （配方）所以x34(用直接开平方求解) 所以 (用直接开平方求解) x挑战你: 学透知识 想通方法 敢于挑战,人生的月亮照你美!1用配方法解下列方程：（1）8x20； （2）5x60(3)pxq0（0）（4）412x10； （5）32x30 知识点4 公式法解一元二次方程 【 】 用配方法解一般形式的一元二次方程abxc0（a0） (因为a0，方程两边都除以a,) (移常数项到右边) （配方） 因为a0，所以40，当4ac0时， 所以(用直接开平方求解) 于是得到解一元二次方程abxc0的求根公式： 利用这个公式

13、，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的根这种解方程的方法叫做公式法 公式法解一元二次方程需要满足两个条件: (1) 方程为一般形式; (2) 4ac0.例6解下列方程：（1）2x60； （2）4x2； （3）44x1018x； （4） 54x120解（1） a2，b1，c6，4ac42（6）14849 (4ac0)所以， （2） 4x20(方程化为一般式) （3）412x90(方程化为一般式) 因为4ac24 (4ac0) 因为4ac0， 所以 所以， （4）因为4ac256 (4ac0) 所以 挑战你: 学透知识 想通方法 敢于挑战,人生才有真正的意义!1,用公式法解下

14、列方程：（1）6x10； （2）2x6；（3）43x1x2；（4）3x（x3）2（x1）（x1）2解下列方程：（1）260； （2）274； （3）34x；（4）x（x1）3（x1）0； （5）2； （6）32（5x）2解下列方程：（1）10；（2）2； （3）2x80；（4）34x1； （5）x（3x2）60； （6）3求满足下列要求的x的所有值：（1）36的值等于21； （2）36的值与x2的值相等4用适当的方法解下列方程：（1）34x2x； （2）1； （3）（31）x0；（4）x（x6）2（x8）； （5）（x1）（x1）； （6）x（x8）16；（7）（x2）（x5）1；（8）2（2

15、x1）5已知A27x1，B6x2，当x为何值时AB？排 查 第三节 一元二次方程的解法 评 价 知识点1一元二次方程根的判别式 【 】 我们在一元二次方程的配方过程中得到（1）发现当且仅当4ac0时，右式有平方根.直接开平方，得也就是说，一元二次方程abxc0（a0）当且仅当系数a、b、c满足条件4ac0时有实数根观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：当4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当4ac0时，方程有两个相等的实数根 ；当4ac0时，方程没有实数根 于是4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用表示.根的判别式应用有两种类型的题目: (1) 不知根的情况, 三步: 算, 推

16、, 答; (2) 知道根的情况, 三步: 列, 解, 答.例1：m取什么值时，关于x的方程有两个相等的实数根？求出这时方程的根解: 因为关于x的方程有两个相等的实数根所以 -(m+2)2-42(2m-2)0 (列)m2+4m+4-16m+160 (解)m2-12m+200 m或 m10.(答) m或 m10时, 关于x的方程有两个相等的实数根.例2：不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）2x23x-40； （2）16y2924y解 （1）(算)=4ac （2）16y2 -24y90 =32-42(-4)=410 (推) (算)=4ac(答) 方程有两个不等的实数根. =242-4169=0

17、 (推) (答) 方程有两个不等的实数根.例3：不解方程，判别下列方程的根的情况：解 (算)=4ac=()2-4k2=4k20. (推)(答) 方程有两个实数根.挑战你: 学透知识 想通方法 敢于挑战,人生才是美丽无比!1,不解方程，判别下列方程根的情况（1）a2x2-ax-10（a0）； （3）（2m21）x22mx1=02：已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 3：试说明：不论x取何值，关于x的方程总有两个不相等的实根. 知识点2一元二次方程根与系数的关系 【 】 解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？

18、（1）2x0；（2）3x40；（3）5x60方程 一般地，对于关于x的一元二次方程pxq0（p、q为已知常数，4q0），试用求根公式求出它的两个根、，算一算、的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？=-p, =q 对于方程 ， 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：结论1如果ax2+bx+c=0（a0）的两个根是x1，x2，那么：结论2如果方程x2+px+q0的两个根是x1，x2，那么x1x2-p，x1x2=q挑战你: 学透知识 想通方法 敢于挑战,人生才会幸福无比!1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： 2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？ 3.已知方程的两个根为，求

19、的值.4.若m，n是方程的两个实数根，求代数式的值. 5.已知方程 的一个根是1，求另一根及m的值.排 查 第四节 一元二次方程的实践与探索 评 价 知识点1一元二次方程根的实践 【 】 在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答分析题意：常用的方法画图分析法；列表分析法。解答步骤：设，找，列，解，验，答。例1学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为54

20、0，小道的宽应是多少？分析作出图1 解 设道路宽为xm，则两条小道的面积分别为32x和20x，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得 322032x20x540 解之得 x1=2 x2=50 经检验x2=50不符题意答：小道的宽应是2 m。 如果设想把道路平移到两边，如图2所示。解 设道路宽为xm，则种植面积为540变为一个长为（32-x）m，宽为（20-x）m的长方形的面积根据题意，得 （32-x）（20-x）540 解之得 x1=2 x2=50 经检验x2=50不符题意答：小道的宽应是2 m。例2某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为315元已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百

21、分率分析若一次降价百分率为x，则一次降价后零售价为原来的（1x）倍，即56（1x）元；第二次降价百分率仍为x，则第二次降价后的零售价为56（1x）的（1x）倍 从而得到 降低前（1降低率）2=降低后，降低一次（1降低率），降低二次（1降低率）2。解设平均降价百分率为x，根据题意，得56（1x）315 解这个方程，得 因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意，符合本题要求的是x02525% 答：每次降价百分率为25%挑战你: 学透知识 想通方法 敢于挑战,人生才是美丽无比!1学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸经试验，彩纸面积为相

22、片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽（精确到01厘米）2竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式爆竹点燃后以初速度20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g10米/秒）3某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到01%）4据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖求这两年中获奖人次的平均年增长率5已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数6学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵

23、三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽（精确到01米） 7某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到483万元问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？8学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏请你设计，如何搭建较合适？ 知识点2一元二次方程的探索 【 】问题1小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方

24、体盒子 （1）如果要求长方体的底面面积为81cm，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？折合成的长方体底面积（）81644936251694剪去的正方形边长（cm）折合成的长方体侧面积（）在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点看看与你的感觉是否一致问题2阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收

25、入的平均年增长率应为多少？分析翻一番，即为原净收入的2倍若设原值为1，那么两年后的值就是2若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的15倍、12倍、那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？挑战你: 学透知识 想通方法 敢于挑战,人生才是美丽无比!1某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为3000千克，出油率为55%改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到1%）2某

26、商店准备进一批季节性小家电，单价40元经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？3某市人均居住面积146平方米，计划在两年后达到18平方米在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等请你把问题补充完整，再予解答4一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到

27、01米）5水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完经结算，这批水果共盈利500元若两次打折相同，每次打了几折？（精确到01折）6为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率（精确到1%）7某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元服装厂向24名家庭贫困学生免费提供经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润问这批演出服共生产了多少套？8如图，某建筑物地基是一

28、个边长为30米的正六边形要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等请你给出设计方案（画图并标注尺寸） 赢家大比拼:勇闯三关 唯我甲天下! 第一关 平衡关1解下列方程：（18分）（1）32x；（2）6400； （3）x（3x1）3x；（4）y（y2）4y； （5）4x（1x）1；（6）t（t2）302已知A27x1，B4x1，分别求出满足下列条件的x的值：（6分）（1）A与B的值互为相反数；（2）A的值比B的值大33已知关于x的方程（2xm）（mx1）（3x1）（mx1）有一个根是0，求另一个根和m的值（5分）4已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数（5分）5要在某正方形广场靠墙

29、的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分的面积为100平方米求原正方形广场的边长（精确到01米）（5分）6村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为16平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多04米求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度（5分）7如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在B处迎头拦截问经过多少时间能赶上？（5分） 第二关 阴阳关8解下列方程：（12分）（1）4（x2）（3x1）0；（2）（2x1）3（2x1）20；（3）5；（4）309解下列关于x的方程（a

30、、b是常数，且ab0）：（6分）（1）ax20；（2）ab（）xab011已知x1是一元二次方程（a2）（3）xa10的一个根，求a的值（4分）12已知关于x的方程24x3q0的一个根是1，求它的另一个根和q的值（4分）13已知代数式5x7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？（5分）14学校原有一块面积为1500平方米的长方形场地，现结合整治环境，将场地的一边增加了5米，另一边减少了5米，结果使场地的面积增加了10%，求现在场地的长和宽（5分） 第三关 鬼门关15试求出下列方程的解：（6分）（1）（x）5（x）60； （2）16证明：不论m取何值，关于x的方程（x1）（x2）总有两个不相等的实数根（4分）17已知xy0，且32xy80，求的值（5分）18已知关于x的方程（m1）（m2）x2m0.它总是二次方程吗？试求出它的解（5分）19某产品每件生产成本为50元，原定销售价65元经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答（5分）