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1、分组逐差法的改进唐郁生夏金虹(桂林电子工业学院 ,广西桂林541004)摘 要 : 分析了分组逐差法的不足 ,提出了改进方案 分组平均逐差法 ,并给出了提高分组平均逐差法精密度的两种方法 。关键词 : 分组逐差法 ;分组平均逐差法 ;逐差法精密度中图分类号 : O4 - 33 文献标识码 :A 文章编号 :1003 - 7551 (2004) 03 - 0030 - 051 分组逐差法的优点与不足111分组逐差法的优点分组逐差法是物理实验中常用的数据处理方法 ,特别是当被测量之间为线性关系时更具有其简便直观的独特优点1 - 3。设已知 x , y 为线性关系 : y = ax + b , 其中
2、 a , b 为待定常数 。实验上测得一组 k 个( xi , yi ) 值 , 其中 k = 2 m , 各 xi = xi + 1 - xi = c ( i = 1 , 2 ,差法3 得, k - 1) , c 为常数 ,yi = yi + 1 - yi , 则由分组逐m( yi + m -yi )y = i = 1,m2故m( yi + m - yi )mi = 1( yi + m -yi )2y= m = i = 1a =,mmx( xi + m -xi )( xi + m -xi )i = 1i = 1m2 kkb = y - a x = 1 y 1- a x .iik i = 1k
3、 i = 1在上述求 a 、b 过程中 , 充分利用了多个数据取平均 , 减少了随机误差 , 提高了测量结果的精密度4 。112分组逐差法的不足事物总有两面性 , 分组逐差法也有其不足 。该法要求数据 ( xi , yi ) 的个数必须为偶数 , 且各 xi 须为等距分布1 - 3 ,5 - 8 。这就可能产生三个问题 :( 1) 当条件所限 , 实验测得的数据个数为奇数 , 就不能用本法 ; 若要用则要去掉数据组的一个头部或尾部数据 , 以合偶数要求 。这就不能充分利用数据 , 影响了测量结果的精密度 。(2) 若在实验数据中 , 各 xi 不等距分布 , 也不能用本法 ; 若要用则要去掉一
4、部分数据 , 使余下数据的 xi等距分布 , 这样测量结果精密度也受影响 , 还不一定能做到 。(3) 当实验数据经检查发现有坏数据 ( 如粗大误差) , 将这一个 ( 或若干个) 坏数据去掉后 , 余下的好数 据往往 xi 不等距分布 , 数据个数为奇数 , 不能用本法 ; 若要用则须按 ( 1) 、( 2) 要求去掉若干好数据 , 但测量结果精密度下降 , 这也不一定能做到 。3收稿日期 :2004 - 07 - 15综上可知 , 分组逐差法确有不足 , 需要改进 。2 分组逐差法的改进 分组平均逐差法211分组逐差法的本质由分组逐差法 , 知2 mm yi - yim i = m + 1
5、 i = 1 12 m 1m yi -yi( yi + m -yi ) y - y m m i = m + 1 m i = 1 i = 1a =,m2 mm2 mm11x - x ( xi + m -xi ) xi - xi x-xiim i = m + 1 m i = 1i = 1 i = m + 1 i = 1 mb = y - a x = 1 y k 1k- a x .iik i = 1k i = 1由上可见 , 将数据 ( xi , yi ) ( i = 1 , 2 , m , 高组即 组为 i = m + 1 , m + 2 , k , k = 2 m ) 分为高低 ( 即 , )
6、两组 , 低组即 组为 i = 1 , 2 , k , 分别求各组 ( xi , yi ) 的平均值 x , x , y , y , 则y -y a =(1),x -x 而对全部 ( xi , yi ) 取平均得 x , y , 则b = y - a x ,(2)这就是分组逐差法的本质 。212分组逐差法的改进设物理量 x , y 的关系为 y = ax + b , 常数 a 、b 待定 。实验测量得到一组数据 ( xi , yi ) , i = 1 , 2 , k 可为奇或偶 : k = 2 m 或 k = 2 m + 1 , 各 xi 的间隔不限于等距 , 可为任意值 。且, k ,yi
7、= axi + b +i , ( i = 1 , 2 ,其中 i 为 yi 的测量误差 。将 k 个 ( 3) 式分为高低两组 :, k)( 3): yi = axi + bi +i , i = 1 , 2 , m 。, 2 m1 ( 当 k = 2 m ) , 或 i = m + 1 , m + 2 , 2 m + 1. ( 当 k: yi = axi + bi +i , i = m + 1 , m + 2 ,= 2 m + 1) 。分别对 、两组式子相加求平均 , 得y = a x + b + ,(4)(5)y = a x + b +.其中y = 1 y , x m = 1m = 1k1k
8、x , y y , ( k = 2 m) , 或 y= y , ( k = 2 m + 1) ,i i iim i = 1m i = 1m i = m + 1m + 1i = m + 1 kkx = 1 x , ( k = 2 m) , 或 x1 x , ( k = 2 m + 1) .=iim + 1i = m + 1m i = m + 1又由于随机误差的特点 , 在 ( 4) , (5) 式中 , = 1 0 , m = 1k1k 0 , ( k = 2 m + 1) 1 0 , ( k = 2 m) 或 =iiim i = 1m i = m + 1m + 1i = m + 1故y = a
9、 x + b ,(4 )(5 )y = a x + b .两式联立求得y - y a =(6),x - x k k ky = a x + b +, 而 b = y - a x - , 其中 , y = yi , x = xi ,= i 0 ,i = 1i = 1i = 1故b = y - a x(7)可以看出 , (6) 、( 7) 两式的本质与分组逐差法的 ( 1) 、( 2) 两式相同 。所以姑且把 ( 6) 、( 7) 两式代表的数据处理方法称为分组平均逐差法 。分组平均逐差法是对分组逐差法的改进 , 由上可见 , (6) 、(7) 两式对数据个数的奇偶并无限制 , 对各 xi是否等距分
10、布亦无要求 , 故为普遍情形下求 a 、b 的通用公式 。对因实验条件所限 , 数据个数是奇数 , 或 xi 不等距分布的数据组可用本法 ; 对有坏数据的数据组 , 无论坏数据是单个还是多个 , 个数是奇还是偶 , 都可 在剔除坏数据后 , 放心使用本法 。这就大大扩展使用范围 , 便于在各种情况下运用本法处理数据 , 而且测 量结果精密度较高 。应用实例 用迈克尔孙干涉仪测波长下表是用迈克尔干涉仪测 He2Ne 激光所得数据 。3波长计算公式9 为= 2d = 2 ( d - d1 ) = 2 ( d - d1 ) , ( n= 0) ,1nn - n1n故d = n + d1 ,2把上式与
11、 y = ax + b 对比 , 知 d = y , n = x , = a , d1 = b.2所以 , 由 ( 6) 式 , 可得分组平均逐差法求波长的公式为2 ( d - d )=,( 8)n - n 例 1取上表的 17 个数据 ( k = 17) , 数据序号 i = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26 , 28 , 30 , 32 。按 (8) 式求得1 = 635. 5nm ,序号 i环数 ni数值 di (mm)序号 i环数 ni数值 di (mm)序号 i环数 ni数值 di (mm)1
12、032122000125503213949123110032156980250321236071360032141078241150321585553100321251951465032142656251200321601324150321267651570032144248261250321617305200321283671675032145843271300321633106250321299551780032147417281350321649027300321315351885032149013291400321664828350321331371990032150598301450
13、3216806994003213472120950321521943115003216964710450321363172110003215379032155032171233115003213789822105032155388以 0 = 632. 8nm 为标准 ,则相对误差E1 = 0. 43 % ,而相对 A 类不确定度EA1 = 0 . 0174 % ,EA1取三位有效数字是为了便于与例 2 比较 。由于系统误差拟另文讨论 ,本文只求相对 A 类不确定 度 (相对随机误差) 。例 2在例 1 中 ,去掉 i = 17 号数据 , 取 k = 16 个数据 , 求得2 = 635. 4
14、nm ,EA2 = 0 . 0177 % 。上两例中 ,各 xi 都并非全部等距分布 , 且例 1 数据是奇数个 , 但用本法求解不受此限制 。例 2 数据个数减少 , 相对随机误差变大 。提高分组逐差法精密度的两种方法测量结果的系统误差尤其是未定系统误差受各种因素影响 , 难以减少10 , 拟另文讨论 ; 本文从减少随机误差入手 , 探讨提高分组逐差法精密度的两种方法 。( 1) 增加数据的个数 ( k)由上两例已可见 , 数据个数 ( k) 增加 , 可减少相对随机误差 , 提高精密度 。这是由于数据的随机误差 服从正态分布 , 大量数据求平均 , 正负随机误差互相抵消的必然结果 。由 (
15、 8) 式 ,42 ( d - d )= 2d ,=n - n n故 的相对随机误差 EA 的平方E22 2A = Ed + En,而S 2+ S 22dd d ,E2=(9)d( d) 2 dnS 2+ S 22n n ,E2=(10)n( n) 2 n其中 , S 2 , S 2 , S 2 , S 2 分别为 d , d , n , n 这四个平均值的标准偏差 。按误差理论 , 当 k , d d n n m 和 m + 1 , S 2 , S 2 , S 2 , S 2 , 相对随机误差 E , 测量结果精密度上升 。d d n n 请再看下面例子 :A例 3例 4例 5取 k = 4
16、 , i = 1 , 11 , 22 , 32 , 求得 3 = 635. 3nm , EA3 = 0. 065 % 。取 k = 8 , i = 1 , 5 , 10 , 14 , 19 , 23 , 28 , 32 , 求得 4 = 635. 4nm , EA4 = 0. 035 % 。取 k = 32 , i = 1 , 2 , 3 , 31 , 32 , 求得 4 = 635. 4nm , EA5 = 0. 013 % 。由例 3 、例 4 、例 2 、例 1 、例 5 可见 , 当 k , 即 k = 4 8 16 17 32 , 相对 A 类不确定度 ( 相对随机误差) EA i
17、下降 : EA3 EA4 EA2 EA1 EA5 , 测量结果的精密度逐步提高 。然而随着 k 增加 , EA 下降幅度趋 缓 , 而测量工作量太大 , 故 k 不必太大 , 满足试验要求即可 。( 2) 增大 n 与 n 的差值 ( n - n )当 k 保持不变 , S 2 , S 2 , S 2 , S 2 不变 , 而当 n - n ( = n) , 由 (10) 式知 E ; 而 n - n( =d d n n n n) , 由 (8) 式知 , 将导致 d - d = ( d) , 由 (9) 式知 Ed 。故 的相对随机误差 EA 。再请看下面例子 :例 6取 k = 8 , i
18、 = 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 求得 6 = 634. 9nm , EA6 = 0. 065 % 。(下转第 36 页)( 5) 将每个合并圈作为一个乘积项 , 将各乘积项相加即是逻辑函数化简后的最简与或表达式 。为了使化简结果达到最简状态 , 在逻辑卡诺图上加圈合并最小项的过程中必须着重把握如下三点 :第一 , 尽量减少合并圈的数目 , 因为每个合并圈代表合并结果中的一个乘积项 , 所以合并圈越少 , 则化 简后的结果中所包含的乘积项就越少 。第二 , 使合并圈尽可能扩大 , 根据前述合并最小项的规则 , 合并圈越大 , 参与合并的最小项
19、方格越多 ,即 2 的幂次越高 , 合并后减少的因子就越多 , 则合并圈所代表的乘积项包含的因子就越少 。第三 , 每个合并圈内都必须保证至少有一个“1”格只被圈过一次 , 即每个合并圈内必须至少保证有一 个特征“1”格 , 以此来避免合并结果中出现冗余项 。化简后的结果是逻辑函数的最简与或表达式 , 在与或表达式中所含乘积项越少 , 每个乘积项所含因子越少 , 则与或表达式越简洁 , 所以合并过程中只要把握了以上几点 , 则必能保证将逻辑函数化为最简状态 。5结束语基于逻辑函数化简是逻辑电路分析和设计中十分重要的一环 , 而逻辑卡诺图化简法又是化简逻辑函数的重要方法 , 所以逻辑卡诺图显得特
20、别重要 。本文所述的几个问题一般人在学习时常常限于机械记忆 ,不能准确熟练地应用 , 所以了解了以上问题对理解掌握逻辑卡诺图和提高分析设计数字逻辑电路的能力 都具有十分重要的意义 。参考文献1 余孟尝 1 数字电子技术基础简明教程 M 1 北京 :高等教育出版社 ,20021612 王毓银 1 脉冲与数字电路 M 1 北京 :高等教育出版社 ,1992 ,513 阎石 1 数字电子电路 M 1 北京 :中央广播大学出版社 ,20011614 毛法尧 ,欧阳星明 ,任宏萍 1 数字逻辑 M 1 武汉 :华中理工大学出版社 ,19961915 许开华 1 用卡诺图化简逻辑函数过程中的几个问题 J
21、1 四川 :攀枝花大学学报 ,2002121(上接第 33 页)例 7取 k = 8 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 29 , 30 , 31 , 32 , 求得 7 = 635. 2nm , EA7 = 0. 014 % 。在例 6 、例 4 、例 7 中 , k = 8 , 即都取 8 个数据 , 但例 6 的数据集中分布在数据组中段 , n6 = 200 ( 环) ; 而例 4 的数据分散分布在全段 , n4 = 900 ( 环) ; 例 7 的数据分别集中分布在头尾两段 , n7 = 1400 ( 环) 。可见 , n6 n4 n7 EA6 EA4 EA7 , 即 n (
22、= n - n ) , EA , 测量结果的精密度逐步提高 。参考文献成正维 1 大学物理实验 M 1 北京 :高等教育出版社 ,2002 ,261张兆奎 ,缪连元 ,张立 1 大学物理实验 M 1 北京 :高等教育出版社 ,2001 ,261任鸣放 ,陈金全 1 大学物理实验 M 1 重庆 :重庆大学出版社 ,2002 ,231同 1 ,p3.王云才 ,李秀燕 1 大学物理实验教程 M 1 北京 :科学出版社 ,2003 ,281吴泳华 ,霍剑青 ,熊永红 1 大学物理实验 ,第一册 M 1 北京 :高等教育出版社 ,2001 ,471杜义林 1 大学物理实验教程 M 1 合肥 :中国科技大学出版社 ,2002 ,251李恩普 ,邢凯 ,曹昌年等 1 大学物理实验 M 1 北京 :国防工业出版社 ,2004 ,241同 5 ,p161.12345678910 同 1 ,p2.
