求非简并态微扰的三级能量修正与二级修正波函数.doc

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1、学号：14081601096毕业论文题 目：求非简并态微扰的三级能量修正与二级修正波函数作 者吴江华届 别2012学 院物理与电子学院专 业物理学指导老师苏卡林职 称教授完成时间2012年5月 摘 要对于具体物理问题的薛定谔方程，像这样可以准确求解的问题是很少的。在经常遇到的许多问题中，由于体系的哈密顿量比较复杂，往往不能求得精确的解，而只能求近似解。因此，量子力学中用来求解问题的近似的方法，就显得非常重要。本文主要是在量子力学教程中已经求得的非简并态下二级能量修正值与一级修正波函数的基础上，进一步求得非简并态下能量修正值至三级和波函数修正值至二级。并把非简并态微扰理论应用于解决一些实际问题。

2、关键词：薛定谔方程；哈密顿量；近似解；波函数Abstract In this paper, we mainly study the ground-state energy of the helium atom. By using the double parameters variational method, and selecting an appropriate test wave function, we calculate the helium atom ground-state energy and compare it with the experimental values.

3、Then we compare the perturbation method result with the double parameters variational method result, and we find that the superiority of the double parameters variational method is obvious.Keyword: The variational method；Helium atoms；Ground-state energy目 录摘 要IIAbstractII目 录III第一章 绪 论11.1引言11.2 选题的依据

4、和意义11.2.1 选题的依据11.2.2 选题的意义11.3 本文的主要研究内容2第二章 非简并定态微扰理论介绍32.1非简并定态微扰理论32.2非简并定态微扰理论的计算步骤42.2.1 能量和波函数的一级修正值计算42.2.2能量和波函数的二级修正值计算52.2.3能量的三级修正值6第三章 微扰法求解落体偏东问题73.1落体偏东问题的简单介绍73.2求解基本思想73.3落体偏东问题的计算公式7第四章微扰法在硬弹簧系统中的应用104.1硬弹簧系统简介104.2求解基本思想104.3求解过程10第五章 微扰法解决一维近自由电子模型145.1一维近自由电子简介145.2一维近自由电子的求解过程1

5、4参考文献18致 谢19第一章 绪 论1.1引言 体系的能量本征值问题，除了少数体系（例如谐振子，氢原子等）外，往往不能严格求解。因此，在处理各种世界问题时，除了采取适当的模型以简化问题外，往往还需要采用合适的近似解法。例如微扰法，变分法，绝热近似，准经典近似等。各种近似方法都有其优缺点和使用范围，其中应有最广泛的近似方法就是微扰论。l.2 选题的依据和意义1.2.1 选题的依据在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以精确求解的问题是很少的。在经常遇见的许多问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求得精确的解，而只能求近似解。此时微扰法就显得十分重要。而在微扰理论中，非简并定态微

6、扰是最简单的一中情况，而且应有也是最广泛的。例如固体物理中的近自由电子近似模型的原理依据就是量子力学中的非简并定态微扰理论。在周世勋先生编著的量子力学教程中只介绍到非简并定态微扰下的二级能量修正和一级修正波函数，在高阶能量修正中明显不够。本文的主要内容就是在课本的基础上拓展，将能量修正推算到三级，波函数修正推算到二级。1.2.2 选题的意义微扰理论是一种方法，一种模型，一种工具，为其他学科的发展奠定了基础。本文的主要意义就在于提供非简并定态近似的一般算法，并将其应用到一些难以解决的实际问题。在一定的范围内，这种方法可以得出令人相当满意的解。l.3 本文的主要研究内容本文的主要内容就是在量子力学

7、教程的基础上进一步拓展，将能量的修正值推算到三级修正，将波函数的修正值推算到二级修正，最后将非简并定态微扰理论应用于解决一些实际宏观问题。例如用微扰法求解一维近自由电子近似模型，微扰法求解落体偏东问题，微扰法在硬弹簧系统中的应用。第二章 非简并定态微扰理论介绍2.1非简并定态微扰理论当量子体系的哈密顿算符不是时间的显函数时，通常只需要求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。但是除少数特例外，定态薛定谔方程很难严格求解，因而只能求助于近似方法，微扰方法是最常用的近似方法。微扰方法解决问题的基本物理思想是：首先把基本系统加以简化，使得简化系统的方程是可以精确求解的，然后再把真是系统没有考虑的因素考虑进

8、来，作为对简化系统的“微扰”，在简化系统的基础上，以逐步逼近的精神的到真是系统的近似解。设为系统的哈密顿算符，将它分为两部分： (1)其中成为未含微扰项的哈密顿算符，它的本征方程为： （2） 通常方程（2）能够严格求解，其本征态称为未扰态， 通常很小，常称为加在上的微扰项。利用已经解出的未扰态能谱和态函数，求定态方程： （3）的近似解，称为微扰法。为了清楚的看到是小量，记=,并记是小量，在计算完毕后让，将和都按得方次展开： （4）代入方程（3）中：将左右两边展开，并令的同级项相等，得到：零级方程： （5）一级方程： （6）二级方程： （7）三级方程： （8）已知和的情况下，求解方程（6）可得和

9、；再已知和，和的情况下求解方程（7）可得和；再已知和，和和和的情况下求解方程（8）可得和，这就是逐级近似的思想。2.2非简并定态微扰理论的计算步骤 2.2.1 能量和波函数的一级修正值计算 值得注意的是，如果是方程（6）的解，则（其中为任意常数）也是方程（6）的解。我们将按照的本征函数展开 （9）由于加上后任然是方程（6）的解，所以我们可以选取使得上面等式中不含，即 （10）换句话说就相当于（9）是中 （11）将方程（10）带入方程（7）中得 （12）再利用方程（5）可得 （13）用左乘上式后对整个空间积分，并采用内积符号有 （14）利用的正交归一性，有 （15）其中 （16）是在零级近似波函

10、数中的微扰矩阵元，再根据符号的性质（15）式可化为 （17）当时，上式左边为零，因此可得 （18） 可见能量的一级修正值等于微扰算符再未微扰态中的平均值。当时，（17）式可以化为 （19）代回（10）式得： （20） 2.2.2能量和波函数的二级修正值计算 将按照的本征函数展开，有 （21）将(21)式和（9）式代入方程（7）得： （22）利用方程（5）有 （23）用左乘上式后对整个空间积分，利用的正交归一性，则有 （24）再根据符号的性质，得 (25) 当时，上式左边为零,再利用（11）式，可得能量的二级修正值为： （26）上式利用到了厄米算符的性质，当时，有（25）式有 （27）再利用（1

11、8）式和（19）式可得： （28） 至此，还有一个问题尚未解决，这就是还没有确定，特别指出的是不能像一级近似的情况取为零，而是要根据二级近似下的波函数的归一化来确定。为此，用狄拉克符号将（21）式改写为： （29）用左乘上式两边，可得 （30）上式两边取共轭，则有 （31）在用狄拉克符号将（10）式改写为 （32）用左乘上式两边，可得 （33）对上式两边去共轭得 （34） 对（32）式两边取共轭 （35）上式两边同时乘以（32）式的 （36）最后再利用和的归一化条件，省略三级以上的高阶小量，并利用（30），（31），(33)，（34）和（36）式得 （37）因此有 （38）所以 （39）将（1

12、9）式带入上式得 （40）至此我们可以求出波函数的二级修正： （41）2.2.3能量的三级修正值用左乘方程（8）然后对整个空间积分可，采用内积符号可得： （42） 由于是厄米算符故方程（42）的左边等于0利用的归一性（42）式可化为 （43） 上式右边第一项为 （44） 第二项为 （45）第三项为 （46）所以 （47）第三章 微扰法求解落体偏东问题 3.1落体偏东问题的简单介绍落体偏东是证明地球自转的一个重要试验，通常是利用初始条件求解地面坐标系中落体的运动微分方程得到偏东的计算公式。再本章采用微扰的方法来研究这个问题，是微扰思想应用于理论力学中解决实际问题的一个典范。3.2求解基本思想假设

13、系统的哈密顿量,以为哈密顿量的运动微分方程已经解出，则是小量，称为微扰哈密顿量，简称微扰。系统的轨道方程应能由以为哈密顿量的轨道方程经的小修正而得到，这种近似求解的方法就叫做微扰法。3.3落体偏东问题的计算公式质量为的物体从高为处自由释放，如果地球静止不动，那么物体将会沿竖直方向自由下落，但是如果地球自转，它的动力学方程为： （1）设： （2）其中，表示地球自转角速度的一级近似下质点的轨道，表示地球无自转时的轨道，表示正比于的一个小修正。 地球无转动时，质点的动力学方程为： （3） 且，时， ，得（3）式得解为： （4） 地球以自转时，把（2）式代入（1）式得： （5）是正比于的小量，因此是的

14、二阶小量，忽略不计，把（3）式代入（5）式得： （6）根据初始条件，时，（6）式得解为： （7）把（4）式（7）式代入代入（2）式得： （8）可见在考虑地球自转角速度一级近似的情况下，落体偏东的距离为： （9）与理论力学课本上的结果一致 第四章 微扰法在硬弹簧系统中的应用4.1硬弹簧系统简介 在普通物理学中我们了解到了劲度系数为的轻弹簧组成的简谐振子的振动方程为：。所谓的硬弹簧系统就是弹簧的劲度系数不仅仅只是一个常数，它还是位移的函数，像这样的弹簧组成的振子的振动方程一般非常复杂。4.2求解基本思想 弹簧的劲度系数为，其中是常数，是一个小正数。像这样的一个实际系统还是很接近可以严格求解的理想系

15、统，所以能用已知系统的严格解作为出发点，来求解域它们接近的待求系统的近似解，实际上也是将待求系统的近似解转化为去计算对已知理想系统的严格解的修正值。这种方法称为微扰法，是量子力学中近似方法的一种最基本的方法。4.3求解过程 质量为的物体在非线性硬弹簧的作用下做自由振动，弹簧的劲度系数为，其中是常数，是一个小正数。其实当为负数，而绝度值又较小时，属于软弹簧系统，当时，为线性振动。 当物体运动时，其运动微分方程为： （1）令，那么上式可化为： （2）由微扰理论可以将真实的振动展开为的幂级数： （3）其中为谐振动解，也称为零级解，为一级近似解，为二级近似解，以此类推。将振动频率也展开为幂级数的新式：

16、 （4）其中为谐振动的频率，为频率所谓一级近似解，为频率的二级近似解将（3）式和（4）式代入方程（2）中，使得的同次幂的系数为零，于是有：零级方程： (5)一级方程： （6）二级方程： （7）为了便于计算，设初始条件为： （8） （9）由（5）式结合初始条件可得零级解为： （10）在这里可以看出硬弹簧的零级近似解与间歇振动的一般形式一致。将（10）式代入（6）式得： （11）由于上式右边第一项的存在，使得的包括与成正比的一项，这显然是不合理的。因为振幅随时间的延长不会无限增大，则因使上式中的系数为零，于是有： （12）（11）式满足（8），（9）的解为： （13）我们将得到准确到一级的近似解为

17、： （14）一级近似频率为： (15)将（10），（12），（13）代入方程（7）中得： （16）类似于一级近似的情况，令上式右边第一项的系数也为零得： (17)(16)式满足（8），（9）的解为： （18）于是准确到二级的近似解为： （19）二级近似频率为： （20）第五章 微扰法解决一维近自由电子模型5.1一维近自由电子简介所谓近自由电子近似,是假定周期场的起伏比较小,作为零级近似,可以用势场的平均值代替V(x), 把周期起伏做为微扰来处理。 一维周期场5.2一维近自由电子的求解过程零级近似的波动方程为：它的解便是恒定场中自由粒子的解：L=Na引入周期性边界条件可以得到 k 只能取下列值容

18、易验证波函数满足正交归一化条件正是由于零级近似下的解为自由电子，故称为近自由电子近似按照非简并微扰理论的结果, 本征值的一级和二级修正为： 波函数的一级修正为具体写出和都需要计算，由于和两态之间的正交关系：现在证明, 由于 V(x)的周期性,上述矩阵元服从严格的选择定则,将按原胞划分写成对不同原胞 n, 引入积分变数并考虑到 V(x) 的周期性可以把前式写成现在区分两种情况而上式中的分子同时，分母由于所以不为零，矩阵元恒为零。综合上述两种情况，我们得到，如果，则：否则：根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成：二级微扰能量为：值得特别注意的是, 当，也就是时，表示任意的一个整数，也就是说，当

19、k 为/a 整数倍时, 。参考文献 1 周世勋.量子力学M. 北京：高等教育出版社,1979.2 余凤军.氦原子及类氦原子基态的二参数变分法研究J,大学物理,2008,27(5)3 马二俊.类氦原子体系基态能量变分法的数值研究J,大学物理,2003,23(6)4 陈小波.应用双参数法对氦原子基态能级的研究J,太原师范学院学报, 2006,5(4)5 杨汉嵩,李元杰.氦原子组态能级的变分法计算J.黄河科技大学学报.2007,9(4)6陈玉红,李延龙. He原子基态能量与波函数的变分计算J,甘肃工业大学学报,2003,29(4)7 胡先权,许杰,马勇,殷霖.四参数法计算氦原子基态能级J.云南大学学

20、报（自然科学版）,2005,27(5A)8李青仁.用变分法求解氦原子的基态能级J.松辽学刊（自然科学版），1998，(4)9 杨铜锁.氦原子及类氦离子基态能级与波函数研究J.陕西师范大学学报（自然科学版）2002,30(2)10孟现柱.氦原子及类氦原子基态能量的经验公式J.光谱实验室,2004,21(5)11 刘玉孝, 陈玉红,张丽杰. He原子非相对论基态能量的变分计算_英文_J,原子与分子物理学报,2005，22(2)12C.Le Sech,G.Hadinger,M.Auber-Frcon. Variational calculations in a halfspace for the i

21、nteraction of ground and excited state helium atom with its mirror imageJ.ZEITSCHRIFT FR PHYSIKD,1994.致 谢 本人承蒙苏卡林教授的悉心指导，才能顺利完成此论文。老师严谨的治学态度，务实的工作作风，孜孜不倦的学习精神令我敬佩至深，受益非浅。苏院长从繁忙的工作中一次又一次抽出宝贵的时间来给我们的论文写作做精心的指导，不厌其烦地为我们解答各种问题，我内心对苏老师充满了感激。在此，我对他致以最诚挚的谢意。 同时，在本论文的写作过程中，罗文华等老师也给我提出了许多修改意见，给予了我极大的关心与帮助，在此，我也对他们表示深深的感谢。其次我要感谢我的同学和朋友，他们给予了我无私的帮助和无穷的精神动力。在我遇到知识上的或技术上的难点时，他们总是能给我及时的援助，对他们的帮助我特别感谢。 最后，对关心、支持我的亲人和老师致以最衷心的感谢。