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1、2013学年奉贤区调研测试 高三数学试卷（理科） 2014.1. （考试时间：120分钟，满分150分） 一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-13题每个空格填对得4分，14题每空填对得2分否则一律得零分.1、设, 则= 2、函数= 3、执行如图所示的程序框图若输出，则输入角 4、已知是公比为2的等比数列，若，则= 5、函数图像上一个最高点为, 相邻的一个最低点为,则 6、的三内角所对边的长分别为，设向量, ，若,则角的大小为 7、已知函数，若且，则的取值范围是 8、已知定点和圆4上的动点，动点满足，则点的轨迹方程为 9、直角的两条直
2、角边长分别为3,4，若将该三角形绕着斜边旋转一周所得的几何体的体积是,则 10、数列，如果是一个等差数列，则 11、在棱长为的正方体中,是的中点, 若都是上的点, 且，是上的点, 则四面体的体积是 12、函数的定义域,它的零点组成的集合是,的定义域,它的零点组成的集合是，则函数零点组成的集合是 （答案用、的集合运算来表示）13、已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，若函数只有4个零点，则取值范围是 14、已知函数，任取，定义集合:. 设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则 (1) 若函数，则= （2） 若函数，则的最大值为 二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个
3、正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、空间过一点作已知直线的平行线的条数（ ）（A）0条 （B）1条 （C）无数条 （D）0或1条16、设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）（A）是奇函数 （B）是奇函数第17题图（C）是偶函数 （D）是偶函数17、 椭圆的内接三角形（顶点、都在椭圆上）的边分别过椭圆的焦点和，则周长（ ）（A）总大于 （B）总等于 （C）总小于 （D）与的大小不确定18、*设双曲线上动点到定点的距离的最小值为，则的值为（ ）（A） （B） （C） 0 （D）1三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题
4、必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、如图，正三棱锥中，底面的边长为2，正三棱锥的体积为，为线段的中点，求直线与平面所成的角（结果用反三角函数值表示）。（12分）20、已知函数 （1）求方程的解集；（8分）（2）当，求函数的值域。（6分）21、在直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于两点（1）线段的长是3，求实数；（9分）（2）若点在第四象限，当时，判断|与|的大小，并证明（5分）22、投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得101000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加
5、，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（1）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求；(4分）（2）公司预设的一个奖励方案的函数模型：；试分析这个函数模型是否符合公司要求；（6分）（3）求证：函数模型是符合公司的一个奖励方案（6分）。23、已知数列的各项均不为零，且对任意，都有（1）设若数列是等差数列，求；（5分）（2）设当时，求证：是一个常数；（6分）（3）当时，求数列的通项公式（7分）2013学年奉贤区调研测试高三数学试卷（理科）参考答案一. 填空题 (本大题满分56分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 311. 12. 1
6、3. 14. (1) 2 (2) 2二选择题（本大题满分20分）15. D16. D17. C18. A三 解答题（本大题满分74分）19. 如图，连接AM，过点P作PH垂直于AM于H正三棱锥PABC中 3分又PH为平面PMA中的一条直线知由且知 5分为直线PM与平面ABC所成的角（或其补角） 6分因为正三棱锥底面的边长为2，体积为所以由知 8分，所以 9分中 11分得，故直线与平面所成的角为（或或） 12分20. （1）解法一：由，得 1分由，得，（） 4分由，得，（） 7分所以方程的解集为 8分解法二： 4分由，得， 所以方程的解集为 8分（2）因为 所以 所以 12分所以 14分21.
7、解：（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长半轴为2的椭圆， 2分， 3分故曲线的方程为 4分设，其坐标满足消去并整理得， 5分 6分 8分， 9分（2） 10分 12分因为A在第四象限，故由知， 从而又， 13分故，即在题设条件下，恒有 14分22. 解：（1）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，是增函数；恒成立；恒成立 4分（2）对于函数模型：当时，是增函数， 5分则显然恒成立 6分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而， 8分不恒成立 9分故该函数模型不符合公司要求 10分（3）对于函数模型时， 显然单调递增 11分成立恒成立 12分方法一（分析法）：欲证：时，
8、恒成立等价于，恒成立等价于恒成立 （*） 13分又在单调递增故，所以（*） 成立 14分所以时，恒成立 15分符合公司的模型 16分方法二：设，=单调递增，所以单调递减 14分 恒成立 恒成立 15分符合公司的模型 16分23. 解：(1) 由题意得： 1分 2分 3分 5分（2）计算，猜想 7分欲证明恒成立只需要证明恒成立 即要证明恒成立 即要证明恒成立 （*） 9分 10分（*）左边=（*）右边=所以(*)成立 11分方法二：计算，猜想 7分 9分由于，上式两边同除以，得所以， 11分所以 是常数 11分（3）计算，类比猜想 12分 由于，上式两边同除以，得所以， 所以 是常数 13分所以 14分 猜想 15分用数学归纳法证明：假设则 17分所以对一切 18分
