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1、东莞市2014届高三理科数学模拟试题(一)命题：汪红兵 审稿与校对：梅开萍、杨波参考公式：如果事件、互斥，那么表示底面积，表示底面的高，柱体体积 ，锥体体积 一、选择题：共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求学1.已知全集UR，集合, ,则A(U B)()A(0,1) B C(1, 2) D (0,2) 2. 设、，若，则下列不等式中正确的是A B C D3. 设是等差数列,若则数列前8项和为（ ）A128 B.80 C.64 D.564.已知函数则函数的零点为A和1 B和0 C D5.给出下列三个结论：（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；（2
2、）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；（3）命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为A B C D6.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象A关于点对称B关于直线对称C关于点对称 D关于直线对称7. 已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为( ）A B C D8. 设，为整数（m0），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为若，则的值可以是A2011 B2012 C2013 D2014二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分9.某中学为了解学生数学课程的学习情况
3、，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_ （第9题） （第10题） 10.某几何体的三视图如图，则它的体积是_11. 的展开式中x3的项的系数是（用数字作答）。12. 已知集合Ax|x22x30 ，Bx|ax2bxc0，若ABx|3x4，ABR，则的最小值为13. 请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足，那么.证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以 ，从而得，所以.根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为 .（不必
4、证明）14.(坐标系与参数方程选做题)来已知直线（为参数且）与曲线(是参数且)，则直线与曲线的交点坐标为 . 15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DEAB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）已知， 求的最小正周期； 设、，求的值17、（本小题满分12分） 某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：，据此绘制了如图所示的频率分布直方图. 50706080100400分数
5、频率/组距0.0150.0050.0450.02090（1）求成绩在区间的频率；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在90，100内的学生人数为，求的分布列与均值.18. （本小题满分14分）如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形，平面，(1) 求证：平面平面；(2) 若二面角为直二面角，求直线与平面所成的角的正弦值19（本小题满分14分）如图(7)所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|2|AC| (1)求椭圆E的方程；(2) 在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理
6、由（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值20（本小题满分14分）已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值；（3）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围21（本小题满分14分）已知数列中，且为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和；（3）证明对一切，有东莞市2014届高三理科数学模拟试题(一)参考答案一 选择题：每小题5分，共40分.序号12345678答案ABCDD B D A 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.600 1
7、0. 8 11. 80 12. ;13. 14（1，3）; 15. .三. 解答题：16. 解：2分，4分，的最小正周期5分因为，6分，所以，7分，8分，因为，所以，9分，所以10分，11分，12分。17. 解：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为， 3分 （2）由已知和（1）的结果可知成绩在区间内的学生有人，成绩在区间内的学生有人，4 分依题意，可能取的值为0，1，2，3 5 分所以的分布列为0123P .10分则均值E= .12分18.（本小题满分14分）（1）矩形中，-1分平面，平面,平面，-2分同理平面,-3分又u平面平面-4分（2）取的中点.由于面, ,又是菱形，是矩
8、形，所以，是全等三角形， 所以，就是二面角的平面角-8分解法1（几何方法）：延长到，使,由已知可得，是平行四边形，又矩形，所以是平行四边形，共面，由上证可知，,相交于，平面，为所求.由,得等腰直角三角形中，,可得直角三角形中,解法2几何方法）：由，得平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角. -12分连结，设则在中，用余弦定理知 -14分解法3（向量方法）：以为原点，为轴、为轴建立如图的直角坐标系，由则，平面的法向量， -12分. -14分19解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为-2分由椭圆的对称性知|OC|OB| 又，|BC|2|AC|ACBC，|OC|A
9、C| AOC为等腰直角三角形，点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(1，1) ，-4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 所求的椭圆E的方程为-5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上，-7分点Q即直线与椭圆E的交点，直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，满足条件的点Q存在，且有两个-9分【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，-7分又点Q在椭圆E上，-由式得代入式并整理得：，-方程的根判别式，方程有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个-9分】（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,O、M、P、N四点在同一圆上，-10分且圆的直径为OP,则圆心为，
10、其方程为，-11分即-即点M、N满足方程，又点M、N都在上，M、N坐标也满足方程-得直线MN的方程为，-12分令得，令得，-13分，又点P在椭圆E上，即=定值.-14分【解法二：设点则-10分直线PM的方程为化简得-同理可得直线PN的方程为-11分把P点的坐标代入、得直线MN的方程为，-12分令得，令得，-13分，又点P在椭圆E上，即=定值-14分】20解：（1），且 又， 在点处的切线方程为：， 即 4分（2）的定义域为， 令得当时，是增函数；当时，是减函数； 在处取得极大值，即 8分（3）（i）当，即时，由（）知在上是增函数，在上是减函数，当时，取得最大值，即又当时，当时，当时，所以，的图像与的图像在上有公共点，等价于，解得，又因为，所以 （ii）当，即时，在上是增函数，在上的最大值为，原问题等价于，解得，又 无解综上，的取值范围是 14分21解：（1）由已知得，由题意，即， 当n为奇数时，；当n为偶数时，.所以. 4分（2）解法一：由已知，对有，两边同除以，得，即，于是，=，即，所以=，又时也成立，故，.所以， 8分解法二：也可以归纳、猜想得出，然后用数学归纳法证明（3）当，有，所以时，有=.当时，. 故对一切，有.14分
