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1、北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。第I卷（选择题 共40分）一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数，若是纯虚数，则实数的值为（ ）A. B. 1C. 2D. 4 3. “”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为，则在判断框中应填入关于的判断条件是（ ）A
2、. B. C. D. 5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（ ）A. B. C. D. 6. 已知有唯一的零点，则实数的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D. 0 7. 如图，直线与圆及抛物线依次交于A、B、C、D四点，则（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16 8. 已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分）二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 不等式组表示的平面区域的面积为_。 10. 设平面向量，若，则=_。 11. 在等差数列中，则_。 12
3、. 直线被圆截得的弦长为_。 13. 已知，且，则的值为_。 14. 已知数集具有性质P：对任意，其中，均有属于A，若，则_。三、解答题。（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. （本小题共13分）设数列的前项和为，且。（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足，求数列的通项公式。 16. （本小题共13分）在ABC中，分别是角的对边，满足，且。（I）求C的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。 17. （本小题共14分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起，使A点移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上。（I）求证：BC；（I
4、I）求证：平面平面；（III）若AB=10，BC=6，求三棱锥的体积。 18. （本小题共13分）设，已知函数。（I）当时，求函数的单调区间；（II）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围。 19. （本小题共13分）已知椭圆的左焦点为，过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线与W交于不同的两点A、B，延长BF交W于点C。（I）求椭圆W的离心率；（II）求证：点A与点C关于轴对称。 20. （本小题共14分）已知定义在上的函数（I）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（II）若，且对任意的1恒成立，求的最大值。参考答案：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. A2.
5、D3. A4. B5. D6. C7. B8. A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 110. 511. 12. 13. 14. 30三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （共13分）解：（I）因为，则，所以当时，整理得，由，令，得，解得。所以是首项为1，公比为2的等比数列，可得（6分）（II）因为，由，得，由累加得，当时也满足，所以。（13分） 16. （共13分）解：（I）由，得，又，所以由正弦定理得。因为，所以，从而，即。（6分）（II）由余弦定理，得，又，所以，于是。当时，取得最大值（13分） 17. （共14分）解：（I）因为在平面上的射影O在CD上，
6、所以平面BCD。又BC平面BCD，所以BC。又BCCO，CO，平面，平面，所以BC平面。又平面，所以。（5分）（II）因为矩形ABCD，所以。由（I）知BC。又平面，所以。又，所以平面。（10分）（III）因为，所以。因为CD=10，所以。所以。（14分） 18. （共13分）解：（I）当时，则，由，得，或，由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（0，2）。（6分）（II）依题意，对，这等价于，不等式对恒成立。令，则，所以在区间上是减函数，所以的最小值为。所以，即实数的取值范围为。（13分） 19. （共13分）解：（I）由题意，解得。所以椭圆。离心率。（5分）（II）设直线的方程为。联立得。由直线与椭圆W交于A、B两点，可知，解得。设点A，B的坐标分别为（），则，。因为F（-2，0），设点A关于轴的对称点为C，则C（），所以，。又因为，所以B，F，C共线，从而C与C重合，故点A与点C关于轴对称。（13分） 20. （共14分）解：（I）由，可得，故在上单调递增，而，所以存在唯一的零点。（7分）（II）由（I）存在唯一的零点显然满足：，且当时，；当时，。当时，等价于。设，则，故与同号，因此当时，；当时，。所以在上单调递减，在上单调递增，故。由题意有，又，而，故的最大值是3。（14分）
