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1、北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（理科）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。第I卷（选择题 共40分）一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 设U=R，集合，则下列结论正确的是A. B. C. D. 2. 双曲线的焦距为A. 6B. 12C. 36D. 3. 设二项式的展开式中常数项为A，则A=A. -6B. -4C. 4D. 6 4. 如图所示的程序框图表示求算式“”之值，则判断框内不能填入A. ？B. C. ？D. ？ 5. 已知有唯一的零点，则实数
2、的值为A. 0B. -1C. -2D. -3 6. 设为非零常数，则“与解集相同”是“”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条件D. 充分而不必要条件 7. 设集合，集合，若，则实数的取值范围是A. B. C. D. 8. 已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分）二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 复数的虚部为_。 10. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是_。 11. 如图，ABC内接于O，点D在OC的延长线上，A
3、D与O相切，割线DM与O相交于点M，N，若B=30，AC=1，则DMDN=_。 12. 某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案。方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时）50元0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时）30元0.05元/分钟（无上限）若某用户每月上网时间为66小时，应选择_方案最合算。 13. 数列的前项和记为，若，则数列的通项公式为_。 14. 圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图装置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A
4、走过的路径的长度为_。三、解答题。（本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 15. （本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，满足，且。（I）求C的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。 16. （本小题满分13分）如图，四棱锥中，PA平面ABCD，ABC=BAD=90，AD=2PA=2AB=2BC=2。（I）求三棱锥的外接球的体积；（II）求二面角与二面角的正弦值之比。 17. （本小题满分13分）设集合，从S的所有非空子集中，等可能地取出一个。（I）设，若，则，就称子集A满足性质，求所取出的非空子集满足性质的概率；（II）所
5、取出的非空子集的最大元素为，求的分布列和数学期望。 18. （本小题满分14分）如图，已知椭圆的左焦点为F（，0），过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线与椭圆W交于不同的两点A、B，延长BF交椭圆W于点C。（I）求椭圆W的离心率；（II）若MAC=60，求直线的斜率。 19. （本小题满分13分）已知定义在上的函数，。（I）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（II）若且对任意的恒成立，求的最大值。 20. （本小题满分14分）给定正奇数，数列：是1，2，的一个排列，定义E（，）为数列：，的位差和。（I）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和；（II）若位差和E（，）=4，求满足
6、条件的数列：，的个数；（III）若位差和，求满足条件的数列：的个数。参考答案：一、选择题。（共8小题，每小题5分，共40分） 1. A2. B3. B4. D5. B6. A7. C8. D 7. 提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（）位于直线的下方，即，由此解得。原题等价于函数的最大值小于2，即。 8. 提示：为R上的减函数，故，从而，所以，得。二、填空题。（共6小题，每小题5分，共30分） 9. -110. 11. 312. 乙 13. 14. 提示：A走过的路径由9段圆心角均为的劣弧组成，其中6个劣弧所在圆的半径为1，3个劣弧所在圆的半径为，所以点A走过的路径的长度为。三
7、、解答题。（共6小题，共80分） 15. （本小题满分13分）解：（I）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，（4分）因为，所以0，从而，即。（6分）（II）由余弦定理，得，又，所以，于是，（11分）当时，取到最大值。（13分） 16. （本小题满分13分）解：（I）连接AC，则ACCD，又PA平面ABCD，PACD，CD平面PAC，又PC平面PAC，PCD=90，（2分）而PAD=90，从而三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E。（4分）直径，所以三棱锥P-ACD外接球的体积。（6分）（II）建立坐标系，以点A为坐标原点，分别为轴正方向，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0
8、），P（0，0，1）。设平面PBC的法向量，则即=（1，0，1）由（I）知CD平面PAC，故平面PAC的一个法向量为=（-1，1，0），（8分）所以。二面角B-PC-A的大小为，其正弦值为，（10分）由CD平面PAC，得平面PCD平面PAC，二面角A-PC-D为直二面角，其正弦值为1，（12分）综上，二面角BPCA与二面角APCD的正弦值之比为。（13分） 17. （本小题满分13分）解：可列举出集合S的非空子集的个数为：个。（2分）（I）满足性质的非空子集为：，共7个，所以所取出的非空子集满足性质的概率为：。（6分）（II）的可能值为1，2，3，4，5。12345P（11分）。（13分） 1
9、8. （本小题满分14分）解：（I）由题设，解得，（3分）所以椭圆W：，离心率。（5分）（II）设直线的方程为。联立得，由直线与椭圆W交于A、B两点，可知，解得，设点A，B的坐标分别为，则，（8分）因为F（-2，0），设点A关于轴的对称点为C，则C（），所以，又因为，所以B，F，C共线，从而C与C重合，连接MC，则，（12分）则MAC为等边三角形，所以直线的斜率，符合，综上，直线的斜率为。（14分） 19. （本小题满分13分）解：（I），则，故在上单调递增，（3分）而，所以存在唯一的零点。（6分）（II）由（I）存在唯一的零点显然满足：，且当时，；当时，当时，等价于，设。则，故与同号，因此当
10、时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，（10分）故，由题意有，又，而，故的最大值是3。（13分） 20. （本小题满分14分）解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）（II）若数列：，的位差和E（，）=4，有如下两种情况：情况一：当，且，其他项（其中）时，有种可能；（5分）情况二：当分别等于，或，或，其他项（其中）时，有种可能；（7分）综上，满足条件的数列：的个数为。（8分）例如：时， 情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4； 情况二：形如3，2，1，
11、4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3； 形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3； 形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。（III）将去绝对值符号后，所得结果为112233的形式，其中恰好有个数前面为减号，这表明，（10分）此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1，2个2，2个和1个。（11分）上面的讨论表明，题中所求的数列是使得E（）最大的数列，这样的数列在时，要求从1，2，中任选一个数作为，将剩余数中较大的个数的
12、排列作为，的对应值，较小的个数的排列作为，的对应值，于是所求数列的个数为。综上，满足条件的数列的个数为（14分）例如：时，E（）。此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3。若E（）=12，此时时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为，将剩余数中较大的2个数的排列作为，的对应值，较小的2个数的排列作为的对应值，于是所求数列的个数为。4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1
13、；3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1。题目背景：假设现在有种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1，2，鉴别师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这种物品进行排列依次编号为，其中是1，2，的一个排列，那么可以用数列：的位差和E（）=，来评判鉴别师的能力。当E（）越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱；当E（）=0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确；第二问，位差和E（）=4时，给出数列：的情况；第三问，说明位差和E（）最大值为，且给出取得最大值时，数列：的情况。
