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1、长春市普通高中2015届高三质量监测（二）数 学（文 科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则（ ）A B C D2、复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3、在区间上随机取一个实数，使得的概率为（ ）A B C D4、已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）A B C D5、若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）A B C D6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D7、已知平面向量，满足，则（ ）A B C D8、下面左图是某学习小组学生数学考试成
2、绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为、，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）A B C D9、已知函数，若其图象是由图象向左平移（）个单位得到，则的最小值为（ ）A B C D10、设，若直线与圆相切，则的最小值是（ ）A B C D11、设数列的前项和为，且，为常数列，则（ ）A B C D12、若是双曲线（）的右焦点，过作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于，两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、若函数，则 14、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线
3、交抛物线于，两点，为坐标原点，则的面积为 15、若三棱锥的三条侧棱，两两互相垂直且长都相等，其外接球半径为，则三棱锥的表面积为 16、已知函数为偶函数且，又，函数，若恰好有2个零点，则 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）在中，求角的值；设，求18、（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示已知、三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求，的值；该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代
4、金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形，且，点为中点求证：平面平面；求点到平面的距离20、（本小题满分12分）在中，顶点，、分别是的重心和内心，且求顶点的轨迹的方程；过点的直线交曲线于、两点，是直线上一点，设直线、的斜率分别为，求证：21、（本小题满分12分）已知函数（）若函数在处取得极值，求的值；在的条件下，求证：；当时，恒成立，求的取值范围请考生在第22、23、
5、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过点作圆的割线与切线，为切点，连接，的平分线与，分别交于点，其中求证：；求的大小23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；试判断曲线与是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，当时，求不等式的解集；对任意恒有，求实数的取值范围长春市普通高中2015届高三
6、质量监测（二）数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D 2.D 3.C 4.A 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.C简答与提示：1. 【命题意图】本题主要考查集合交集的运算，属于基础题. 【试题解析】D 由题意可知或，所以. 故选D.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】D. 故选D.3. 【命题意图】本题考查解三角函数与几何概型等知识，属于基础题.【试题解析】C 在区间上，当时，由几何概型知，符合条件的概率为.故选C.4. 【命题意图】本题考查含有一个绝
7、对值的函数的单调区间问题，属于简单题.【试题解析】A 函数在上是单调函数，所以，解得.故选A.5. 【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.【试题解析】D由题意可知，在处取得最小值，在处取得最大值，即. 故选D.6. 【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求. 【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为. 故选D.7. 【命题意图】本题考查向量模的运算. 【试题解析】B . 故选B.8. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题. 【试题解析
8、】B由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.9. 【命题意图】本题主要考查学生对三角函数图像的掌握情况，属于基础题.【试题解析】C，函数的图象向左平移个单位后的解析式为，从而，有的最小值为. 故选C.10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题. 【试题解析】B 由直线与圆相切可知，整理得，由可知. 故选B.11. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于较难题.【试题解析】B 由题意知，当时，从而，有，当时上式成立，所以. 故选B.12. 【命题意图】本题主要考查双曲
9、线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题. 【试题解析】C 由题可知，过I、III象限的渐近线的倾斜角为，则，因此的面积可以表示为，解得，则. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16.简答与提示：13. 【命题意图】本题考查导数的运算.【试题解析】由，得.14. 【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的基本运算能力.【试题解析】抛物线焦点为，直线方程为，与抛物线方程联立得两交点纵坐标差的绝对值为，从而的面积为.15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查
10、，具有一定的难度.【试题解析】由三棱锥的外接球半径为2，可知，从而三棱锥的表面积为.16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题. 【试题解析】由题意可知是周期为4的偶函数，对称轴为直线. 若恰有2个零点，有，解得.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) (3分) (6分)(2)因为，而，且为锐角，可求得
11、. (9分)所以在中，由正弦定理得，. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识.本题主要考查数据处理能力.【试题解析】(1)由图可知，. (4分)(2) 利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. (6分)令高消费的人为，潜在消费的人为，从中取出三人，总共有：10种情况，(8分)其中为获得代金卷总和为200元的情况，(10分)因此，三人获得代金券总和为200元的概率为. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、点到平面的距离等问题
12、. 【试题解析】解：(1) 取中点，连结、是中点，又，四边形为平行四边形，平面，平面，平面，平面平面. (6分)（2）由（1）知，所以平面，即点到平面的距离为，在中，由，得，所以. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解：(1) 已知，且,，其中为内切圆半径，化简得：，顶点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆（去掉长轴端点），其中进而其方程为. (5分) (2) 证明：当直线斜率存在时，设直线且， 联
13、立可得，. (8分)由题意：，. 当直线斜率不存在时，综上可得. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：（1），由题意可得，解得经检验，时在处取得极值，所以 (3分)（2）证明：由（1）知，令由，可知在上是减函数，在上是增函数所以，所以成立 (8分)（3）由知，所以恒成立等价于在时恒成立令，有，所以在上是增函数，有，所以. (12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三
14、角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可知，则，则，又，则. (5分)(2) 由，可得，在中，可知. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 对于曲线有，对于曲线有.(5分)(2) 显然曲线：为直线，则其参数方程可写为（为参数）与曲线：联立，可知，所以与存在两个交点，由，得. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解：(1)当时，所以的解集为 （5分）(2)由恒成立，有，解得所以的取值范围是 （10分）
